人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课文ppt课件

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课文ppt课件，共51页。PPT课件主要包含了素养目标·定方向，关键能力·攻重难，典例1，①③④⑤，典例2，典例3，典例4，典例5，课堂检测·固双基等内容，欢迎下载使用。

5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.3　利用导数解决与函数有关的问题
【对点训练】❶设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是___________．(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.[解析]　方法一：令f(x)＝x3＋ax＋b，则f ′(x)＝3x2＋a.对于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)极小值＝f(1)＝－5<0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；
对于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝4>0，f(x)极小值＝f(1)＝0，函数f(x)的图象与x轴有两个交点，故x3＋ax＋b＝0有两个实根；对于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)极小值＝f(1)＝b－2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f ′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；
对于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f ′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根．
方法二：根据题意，直线y＝－b和函数f(x)＝x3＋ax的图象有且仅有一个公共点．先考虑a＝－3的情形，此时f ′(x)＝3x2－3，于是f(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2，如图所示．
于是当b<－2或b>2时符合题意，故①③符合题意．再考虑a≥0的情形，此时f ′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)单调递增，且值域为R，必然符合题意，故④⑤符合题意．
[规律方法]　构造函数法证明不等式一般地，待证不等式的两边都含有同一个变量，可通过构造函数，转化为函数的最值问题来证明，其一般步骤如下：1．移项，使不等式的一边为0，将另一边构造为“左减右”或“右减左”的函数．2．利用导函数研究所构造的函数的单调性．3．借助构造函数的单调性可证结论成立．
(1)(2022·龙凤高二检测)函数f(x)＝ex－kx，当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则k的取值范围是(　　)A．k≤1　　B．k≤2
[规律方法]　分离参数法恒成立的问题求参数范围，可根据题意化简，参变分离，转化为最值问题．1．在某区间上，f(x)≥m恒成立，则函数f(x)的最小值大于等于m.2．在某区间上，f(x)≤m恒成立，则函数f(x)的最大值小于等于m.
[分析]　代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求最值．
[规律方法]　解决优化问题时应注意的问题(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数在给定区间内只有一个极值点，则根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
利用参变分离时忽视自变量的取值范围设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对任意的x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为____．
[误区警示]　本题上述解法中有两处错误．(1)是在参数分离的过程中，要在不等式两边同时除以x3才能实现参数的分离，若x的取值范围在正数区间上，可以避免讨论；若x的取值范围中包含零或负数，则需要进行分类讨论．(2)是换元后未求新元t的范围，t的范围不再是[－1，1]．
1．函数f(x)＝(x2＋tx)ex(实数t为常数，且t<0)的图象大致是(　　)[解析]　由f(x)＝0得x2＋tx＝0，得x＝0或x＝－t，即函数f(x)有两个零点，排除A，C，函数的导数f ′(x)＝(2x＋t)ex＋(x2＋tx)ex＝[x2＋(t＋2)x＋t]ex，当x→－∞时，f ′(x)>0，即在x轴最左侧，函数f(x)为增函数，排除D．
3．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(　　)
5．给定函数f(x)＝ex－x.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]的解的个数．
[解析]　(1)函数的定义域为R，f ′(x)＝ex－1，令f ′(x)＝0，解得x＝0.f ′(x)，f(x)的变化情况如表所示：所以，f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1.也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞)．
(2)由(1)可知，函数的最小值为1.
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f ′(x)→＋∞；当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x.根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示．