高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理授课课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理授课课件ppt，共46页。PPT课件主要包含了2排列与组合，21排列，素养目标•定方向，必备知识•探新知，基础知识，知识点1，N＝m＋n，m×n，知识点2，知识点3等内容，欢迎下载使用。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理．通过本章的学习，要能够结合具体实例，识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用，并能够运用这些原理来解决简单的实际问题．通过本章的学习，会运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题，并能够运用它们解决简单的实际问题，特别是概率中的某些问题．
分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有__________种不同方法．推广到一般情形：完成一件的事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
思考1：(1)定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事？(2)各种方案之间有何关系？每一类方案中各种方法之间有何关系？提示：(1)能，每一类中的每一种方法都能独立完成这件事．(2)各种方案之间相互独立，并且任何一类方案中任何一种方法也相互独立．
分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_______种不同的方法．推广到一般情形：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法．
思考2：(1)定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事？(2)根据定义完成一件事的方法数怎样计算？提示：(1)不能，每一步中的每一种方法都不能独立完成这件事．(2)从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用．使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，首先弄清楚是“分类”还是“分步”，其次搞清楚“分类”或“分步”的标准，做到合理分类，准确分步．思考3：分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别？提示：分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情．
在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的有多少个？[分析]　根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论．[解析]　方法一：分析个位数分类如下．个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故有8个满足条件的两位数；
个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故有7个满足条件的两位数；同理，个位是7的有6个满足条件的两位数，个位是6的有5个满足条件的两位数，…，个位是2的只有1个满足条件的两位数．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．方法二：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
方法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出．12，13，14，15，16，17，18，19，23，24，25，26，27，28，29，34，35，36，37，38，39，45，46，47，48，49，56，57，58，59，67，68，69，78，79，89.共有36个满足条件的两位数．
[规律方法]　应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事” 指的是什么事，怎样才算是完成这件事．(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．(3)确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；②不同类中的方法不能相同，即不重复，无遗漏．
【对点训练】❶ (1)为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女生18人中选取1名学生作代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有_____种．(2)某校开设物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数为_____.(用数字填写答案)
[解析]　(1)完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有N＝38＋18＝56(种)不同的选法．(2)可分为3类，第1类，只选化学不选生物学，需再从物理、思想政治、历史、地理中选择2门，有6种选法；第2类，只选生物学不选化学，同样也有6种选法；第3类，化学和生物学都选，需再从其他4门中选择1门，有4种选法，所以共有6＋6＋4＝16种选法．
由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？[分析]　(1)数字各不相同，且百位上的数字不可为0；(2)数字可以重复，但百位上的数字不可为0.
[解析]　(1)分三步完成．第一步：排百位，1，2，3三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步：排十位，除百位上已用的，其余三个数字都可以，有3种不同的方法；第三步：排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数字都可以，有2种不同的方法．故可组成无重复数字的三位数共3×3×2＝ 18(个)．
(2)分三步完成．第一步：排百位，1，2，3这三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步：排十位，0，1，2，3这四个数字都可以，有4种不同的方法；第三步：排个位，0，1，2，3这四个数字都可以，有4种不同的方法．故可组成可以有重复数字的三位数共3×4×4＝48(个)．
[规律方法]　利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．(2)计数：逐一求出每一步中的方法数．(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
【对点训练】❷ (1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(　　)A．56B．65C．30D．11(2)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个101，111，121，…，191，202，…，999.则5位回文数有______个．
[解析]　(1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．(2)第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相同，有9种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字相同，有10种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个数字，有10种选法，故5位回文数有9×10× 10＝900，故答案为900.
现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？[分析]　要分清是“分类”还是“分步”．(1)是分类；(2)是分步；(3)是先分类后分步．
[解析]　(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122(种)选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000(种)选法．
(3)①高一和高二各选 1人作为中心发言人，有50×42＝2 100(种)选法；②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260(种)选法；③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500(种)选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法．
[规律方法]　利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．
【对点训练】❸ 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由2个顶点确定的直线与含有4个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)A．60B．48C．36D．24[解析]　长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个)“平行线面组”．
如图所示，要给A，B，C，D四个区域分别涂上三种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？
[解析]　A，B，C，D四个区域依次涂色，分4步．第1步，涂A区域，有3种选择；第2步，涂B区域，有2种选择；第3步，涂C区域，它与A，B区域颜色不同，有1种选择；第4步，涂D区域，它与A，C区域颜色不同，有1种选择．所以根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(种)．
[规律方法]　涂色问题的两种解决方案：(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计算．若图形不是很规则，往往从某一区域开始进行涂色，选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，对每一类再进行分步．(2)首先根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理．然后在每一类的涂色方案的计算上需用到分步乘法计数原理．最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数．对于涂色(立方体)问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．
【对点训练】❹ 将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有_____种．
[解析]　分别用a，b，c代表3种农作物，将试验田从左到右依次编号为①②③④⑤.先种①号田，有3种种植方法，不妨设种植a.
再种②号田，可种植b或c，有2种种植方法，不妨设种植b.若③号田种植c，则④⑤号田分别有2种种植方法，则不同的种植方法共有2×2＝4(种)．若③号田种植a，则④号田可种植上b或c.(1)若④号田种植c，则⑤号田有2种种植方法；(2)若④号田种植b，则⑤号田只能种植c，有1种种植方法．综上所述，不同的种植方法共有3×2×(4＋2＋1)＝42(种)．
分步标准不清致错甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有_____种．
[错解]　分四步完成这件事．第一步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或3个，因此，共有4种不同情况．同理，第二、三、四步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有4种不同情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4×4＝256(种)．
[辨析]　用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题时，哪类对象必须“用完”就以哪类对象作为分步的依据．本题中要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”，而错解中可能出现某一学科冠军被2人、3人甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．[正解]　由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．
第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4 ＝64(种)．
1．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P的个数是(　　)A．4B．5C．6D．7[解析]　由集合M中的元素作为点P的横坐标，集合N中的元素作为点P的纵坐标，在第一象限的点P共有2个，在第二象限的点P共有2个，由分类加法计数原理可得点P的个数为2＋2＝4.
2．将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)A．2 160B．720C．240D．120[解析]　第1张有10种分法，第2张有9种分法，第3张有8种分法，根据分步乘法计数原理得，共有10×9×8＝720种分法．
3．(2022·江苏扬州高二检测)有4名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填报一所大学，则这4名高中毕业生报名的方案数为(　　)A．12B．7C．34D．43[解析]　4名高中毕业生报考3所大学，可分4步，每步有3种选择，则这4名高中毕业生报名的方案数为3×3×3×3＝34.
4．(四川高考题)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)A．144个B．120个C．96个D．72个[解析]　根据题意，需分两类解决：第一类，万位填4时，比40 000大的偶数有2×4×3×2＝48(个)；第二类，万位填5时，比40 000大的偶数有3×4×3×2＝72(个)．根据分类加法计数原理，可知比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．