精品解析：北京市第八中学2022-2023学年高二下学期期中练习数学试题（解析版）

2022-2023学年度第二学期期中练习题

年级：高二科目：数学

考试时间120分钟，满分150分

一､选择题（共10小题.每小题4分.井40分.在每小题列出的四个选项中.选出符合题目要求的一项）

1. 在等差数列中，，则值为（    ）

A. 50 B. 100 C. 150 D. 200

【答案】D

【解析】

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】因为数列为等差数列，所以，

又因为，所以，

故选：D.

2. 可以化简为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列求和公式计算可得.

【详解】.

故选：C

3. 已知随机变量，，那么（    ）

A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布的性质计算可得.

【详解】因为，所以，又，

所以.

故选：B

4. 已知，随机变量的分布列如下，当增大时（ ）

A. 增大，增大 B. 减小，增大

C. 增大，减小 D. 减小，减小

【答案】B

【解析】

【分析】

利用数学期望和方差公式得出关于的函数，根据函数单调性判断和的变化情况．

【详解】解：，

当增大时，减小，

，

在上随的增大而增大，

故选：B．

【点睛】熟记期望和方差的公式，并能进行准确的运算，是求解的关键.

5. 已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件概率公式计算即可.

【详解】设事件A：答对A题，事件B：答对B题，

则，

.

.

故选：B.

【点睛】本题考查了条件概率的计算，属于基础题.

6. 在用数学归纳法证明的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.

【详解】当时，左边，

当时，左边，

则.

故选：D.

7. 设函数在R上可导，其导函数为，已知函数的图象如图所示，有下列结论：

①有极大值

②在区间上是增函数

③的减区间是；

④有极小值.

则其中正确结论的个数是（    ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【答案】C

【解析】

【分析】根据，的正负求出的正负，可得函数的单调性及极值，判断选项.

【详解】当时，由的图象可知，所以，

当时，由的图象可知，所以，

当时，由的图象可知，所以，

即函数在上递增，在上单调递减，

所以有极大值.

故①③正确，②④错误.

故选：C

8. 函数的单调递增区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求得函数的导数，令，即可求解函数的递增区间.

【详解】由题意，函数，可得，

令，即，解得，

所以函数递增区间是.

故选：C.

9. 已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果

【详解】由数列是等比数列，可假设，

则，

可知，但数列不是递增数列，

若数列是递增等比数列，由定义可知，，故

“”是“是递增数列”的必要不充分条件

故选：B

10. 设函数定义域为D，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

构造函数，可得，则在定义域内正负号不变时满足性质，若有唯一变号零点时不满足性质，则通过计算即可判断.

【详解】可化为，

令，

则，，

若在定义域内正负号不变，那么是的变号零点，则在的两侧的单调性不一致，因此满足性质；

若有唯一变号零点，那么取，则在定义域内的正负号不变，进而函数在定义域内单调，因此不满足性质.

对于A，，则，所以满足性质；

对于B，，则有唯一变号零点0，所以不满足性质；

对于C，，则，所以满足性质；

对于D，，则，所以满足性质.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题.

二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. 某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是，把次品误判为正品的概率是．如果一箱产品中含有件正品，件次品，现从中任取件让该质检员检验，那么出现误判的概率为___________．

【答案】0.09

【解析】

【详解】取得正品的概率为，则取得正品且误判的概率为；

取得次品的概率为，则取得次品且误判的概率为，

故出现误判的概率是．

12. 若数列满足，则通项公式为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，利用累加法即可求解.

【详解】因为，

所以当时，

，

当时，，满足，所以，

故答案为：.

13. 若数列的前项和为,则的通项公式是_______．

【答案】

【解析】

【分析】利用与的关系即得.

【详解】因为，

所以，，

当时，，

所以，

∴是以3为首项，为公比的等比数列，

所以．

故答案为：．

14. 点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由解析式可分析两函数互为反函数，则图象关于对称，则点到的距离的最小值的二倍即为所求，利用导函数即可求得最值.

【详解】因为与互为反函数，两函数图象关于对称，

设点为，则到直线的距离为，

设，则，令，即，

所以当时，即单调递减，

当时，即单调递增，

所以，则，

所以最小值为.

故答案为：

15. 设是集合且中所有的从小到大排成的数列，即，……将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

（1）则这个三角形数表的第四行的数分别为__________.；

（2）__________.

【答案】    ①. 17,18,20,24    ②. 16640

【解析】

【分析】根据题意找出规律即可求解.

【详解】根据数列中的项与集合中的元素的关系，

数列的第一项对应，

数列的第二项对应，

数列第三项对应，

数列第四项对应，

数列第五项对应，

数列第六项对应，

由此可得规律，数表中的第行对应

用记号表示的取值，那么数列中的项对应的也构成一个三角表：

因此第四行的数是；；；；

由，知在第十四行中的第9个数，

所以，

故答案为：17,18,20,24；16640.

三､解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步㯃或证明过程）

16. 为等差数列的前项和，且，公差不为零，若成等比数列，求：

（1）数列的通项公式及实数的值；

（2）若数列满足，求数列的前项和；

（3）若数列满足，求的和.

【答案】（1），   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质即可得到等差数列的公差，从而得到其通项公式，再列出方程即可得到；

（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果；

（3）根据题意，由数列与其前项和的关系即可得到其通项公式，然后结合等差数列的前项和公式即可得到结果.

【小问1详解】

因为，成等比数列，设等差数列公差为，

则，即，化简可得，

因为，即，所以，

因为成等比数列，所以，

则，求得.

【小问2详解】

因为，所以，

所以

【小问3详解】

因为，

设数列的前项和为，即，

当时，，

所以，

当时，，不满足上式，

所以，

则是以为首项，以为公差的等差数列，

所以

17. 某地区教委要对高三期中数学练习进行调研，考查试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分：第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：

第一空得分情况

第二空得分情况

（1）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率作为该同学相应的各种得分情况的概率，试求该同学这道题的得分的分布列与数学期望；

（2）从该地区高三学生中，随机抽取2位同学，以样本中各种得分情况的频率作为概率，求这2人中恰好有一个同学得满分的概率.

【答案】（1）分布列见详解，数学期望为3；   

（2）0.3648.

【解析】

【分析】（1）根据表中得分情况先算出频数估计概率，分析得出该生这道题的得分的取值可以为：0,2,3,5，分别求出概率列出分布列，求出数学期望即可；

（2）先找出学生得满分的概率和得不到满分的概率，再求解2人中恰好有一个同学得满分的概率.

【小问1详解】

由表格数据分析知学生得0分的频率为，

得2分的频率为：，得3分的频率为：，

得5分的频率为：

由题意分析得的取值可以为：0,2,3,5，

则，，，.

故的分布列为：

所以的数学期望为：

【小问2详解】

由题意知某位学生要得满分的概率为：，

得不到满分的概率为：，

所以随机抽取2位同学，这2人中恰好有一个同学得满分的概率为：
 

.

18. 某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：

（1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；

（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管．

①求的值；

②从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测．记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望．

（3）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论）

【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析；期望为；（3）．

【解析】

【分析】（1）求出销售价格低于元的频率，用频率来衡量概率；

（2）①利用分层抽样的定义求解即可，②随机变量的可能取值为，然后求出各自对应的概率，即可列出分布列，求出期望；

（3）求出平均值比较即可

【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件．

由题设，．

（2）①由题设，品牌的牙膏抽取了管，

品牌的牙膏抽取了管，

所以．

（ⅱ）随机变量的可能取值为．

；

；

．

所以的分布列为：

的数学期望为．

（3）．

（理由：，设品牌的市场占有额为，市场占有额分别为，则

）

19. 已知函数.

（1）当时，求函数的增区间；

（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.（其中）

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递增区间；

（2）依题意可得函数在区间上的最大值小于等于，求出函数的导函数，分、、、、五种情况讨论，分别得到函数的最大值，即可求出参数的取值范围.

【小问1详解】

因为，，

所以，

当时，，令，解得或，

所以函数的单调递增区间为，．

小问2详解】

不等式在区间上恒成立，

即函数在区间上的最大值小于等于，

当时，则，当时，

所以在上单调递减，所以，符合题意；

当时，

令，得，，

当时则当时，

所以在上单调递减，所以，所以，解得，

当时，所以当时，

所以在上单调递增，所以，

所以，不等式组无解，不符合题意；

当时，所以当时，

所以在上单调递增，所以，

符合题意，

当时，则，

当时，对成立，函数在区间上单调递减，

所以函数在区间上的最大值为，

所以不等式在区间上恒成立，

当时，，随的变化情况如下表：

所以函数在区间上的最大值为或，

此时，，

所以．

所以当时，不等式在区间上恒成立．

综上可得.

20. 已知函数，直线．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；

（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由．

【答案】（Ⅰ）极小值，无极大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点．

【解析】

【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出函数定义域再求导，得令，解得的值，画出 当变化时，与的变化情况表所示，可得函数的单调区间，从而得到函数有极小值，无极大值

（Ⅱ）对于是否存在问题，先假设存在某个，使得直线与曲线相切，先设出切点，再求，

求得切线满足斜率，又由于过点，可得方程显然无解，所以假设不成立． 所以对于任意，直线都不是曲线的切线.

（Ⅲ）写出“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.

由分离系数法得，令，得，其中，且.考察函数，其中，求导得到函数的单调性，从而得到方程根的情况，命题得证

试题解析：函数定义域为，

求导，得，

令，解得．

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，

所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅱ）证明：假设存某个，使得直线与曲线相切，

设切点为，又因为，

所以切线满足斜率，且过点，所以，

即，此方程显然无解，所以假设不成立．

所以对于任意，直线都不是曲线的切线.

（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.

由方程，得.

令，则，其中，且.考察函数，其中，

因为时，所以函数在单调递增，且.

而方程中， ，且.

所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，

故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.

考点：导数的单调性与导数及导数的几何意义.

21. 给定项数为的数列，其中.若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，例如数列.因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.

（1）分别判断下列数列

①.

②.

是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；

（2）若项数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；

（3）假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值.

【答案】（1）①是，重复五项为0，0，1，1，0；②不是   

（2）11，理由见解析   

（3）1

【解析】

【分析】（1）观察数列特点看元素是否按次序对应相等即可判断数列是否为5阶可重复数列；

（2）项数为的数列一定是3阶可重复数列，数列的每一项只可以是0或1，则连续3项共有8种不同的情况，分别讨论，，时情况可得结论；

（3）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是：“5阶可重复数列”，则存在，使得与按次序对应相等，或与按次序对应相等，经分析可得.

【小问1详解】

记数列①为，因为与按次序对应相等，

所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0，0，1，1，0;

记数列②为，因为、、、、、没有完全相同的，

所以不是“5阶可重复数列”.

【小问2详解】

因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形.

若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”；若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；则3≤m< 10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列. 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是11.

【小问3详解】

由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是：“5阶可重复列”，即在数列的末项后再添加一项0或1，则存在，使得与按次序对应相等，

或与按次序对应相等，

如果与不能按次序对应相等，

那么必有，使得、与按次序对应相等.

此时考虑和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列是“5阶可重复数列”，这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾；

所以与按次序对应相等，从而.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，因此理解新定义是解题的关键之一，同时需要使用分类讨论的思想与方法是关键点之二，其三本题推理过程中反证法思想的应用也是解题的关键.