精品解析：江西省景德镇一中2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

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景德镇一中2022-2023学年下学期期中考试高二数学试卷命题人：胡皓轩    审题人：邱金龙一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用正负相关与线性相关的强弱进行求解即可【详解】都是正线性相关，所以，并且相关性最强，所以；都是负线性相关并，所以，且相关性强，所以，所以；所以；故选：A2. 设随机变量，若，则（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根据正态分布及求出期望与方差即可判断作答.【详解】因为随机变量，且，所以由对称性知，由正态分布知方差，A正确，BCD错误.故选：A3. 展开式中的常数项为（    ）A. 8 B. 12 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算.【详解】因为的二项展开式为，令，可得；令，可得；所以展开式中的常数项为.故选：B.4. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第10项为（    ）A. 84 B. 83 C. 82 D. 81【答案】B【解析】【分析】根据题意利用累加法结合等差数列运算求解.【详解】设二阶等差数列为，令，则，由题意可得：数列是以首项为1，公差为2等差数列，则，即，所以.故选：B.5. 已知数列中，，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列并求出通项作答.【详解】由，得，而，因此数列是首项为，公比为4的等比数列，则，即，所以.故选：C6. 现有6名同学，其中有甲、乙、丙、丁四人，要求甲、乙两人相邻，且丙和甲不相邻，同时丁需排在甲前面（两人不一定相邻），则总共的排列种数为（    ）A. 96 B. 98 C. 192 D. 196【答案】A【解析】【分析】把甲乙视为一个整体且两者间有前后之分，再与除丙外的另外3人作全排列，由定序确定排列数，然后将丙插入除与甲相邻外的4个间隙中，即可列式计算作答.【详解】把甲乙视为一个整体，且甲乙间的排列为，把这个整体与除丙外的另外3人作全排列，有，而丁需排在甲前面，则除丙外的5人的不排列数为种，上述每个排列形成有5个间隙（甲乙间的间隙除外），把丙插入与甲相邻的间隙除外的4个间隙中，有种，所以不同排列种数为.故选：A7. 现做如下定义：对一个三位数来说，如果其中间一位数比首尾的数字小，则称它为“凹数”，如果其中间一位数比首尾的数字大，则称其为“凸数”．现从1至7共7个数中，选取3个不同的数排成三位数，记其中“凹数”有个，“凸数”有个，则（    ）A. 135 B. 140 C. 150 D. 160【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，按“凹数”、 “凸数”的中间数分类分别求出、即可计算作答.【详解】依题意，符合条件的“凹数”的中间数不可能是6和7，中间数为5的“凹数”个数为，中间数为4的“凹数”个数为，中间数为3的“凹数”个数为，中间数为2的“凹数”个数为，中间数为1的“凹数”个数为，于是；符合条件的“凸数”的中间数不可能是1和2，中间数为3的“凸数”个数为，中间数为4的“凸数”个数为，中间数为5的“凸数”个数为，中间数为6的“凸数”个数为，中间数为7的“凸数”个数为，于是，所以.故选：B8. 递增数列中，，，，若，则正整数的最大值为（    ）A. 1010 B. 1011 C. 2021 D. 2023【答案】D【解析】【分析】根据题意整理可得，利用裂项相消法结合数列单调性分析运算.【详解】因为，可得，整理得，可得，所以，又因为，即，注意到数列为递增数列，则，则，可得，即，所以正整数的最大值为2023.故选：D.二、多选题：本大题共4小题，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的为（    ）A. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；B. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法；C. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；D. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．【答案】ACD【解析】【分析】利用均匀编号分组法可判断A；先将6本不同的书分成三组，然后甲、乙、丙三人任取一组即可判断B；利用挡板法可判断C；分类讨论可判断D.【详解】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙，最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确；对于B，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组，最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人，共有种，故B不正确；对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种；对于D， 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分种情况讨论：①一人本，其他两人各本，共有；②一人1本，一人2本，一人3本，共有种，③每人2本，共有，故共有种.故选：ACD【点睛】本题考查了平均分组、不平均分组问题，挡板法，考查了组合数在生活中的应用，属于基础题.10. 下列说法中正确的有（    ）A. 若随机变量服从正态分布，，则．B. 随机变量，若，，则．C. 将一组数据的每个数据都乘以一个数，再加上一个数后，这组数据的方差变为原来的倍．D. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为，则服从二项分布．【答案】ABD【解析】【分析】对A利用正态分布的对称性即可，对B根据二项分布的均值与方差公式即可判断，对C利用方差的定义和性质即可判断，对D根据二项分布的特点即可判断.【详解】对于A，根据正态分布的对称性知，故A正确；对于B，对于二项分布的均值与方差公式得，解得，故B正确；对于C，将一组数据的每个数据都乘以一个数，则这组数据的方差变为原来的倍，再加上一个常数后，则方差不变，故最终这组数据的方差变为原来的倍，故C错误；对于D，根据二项分布的概念可知随机变量,故选：ABD.11. 下列说法中正确的有（    ）A. 若数列为等差数列，数列的前项和为，则，，成等差数列．B. 若数列为等比数列，且，则为递增数列．C. 若数列的前项和，那么这个数列的通项公式为．D. 数列的前项和为．【答案】AB【解析】【分析】利用等差数列的定义判断A；求出首项及公比范围判断B；举例说明判断CD作答.【详解】对于A，等差数列的前项和为，设其公差为，，，即，，成等差数列，A正确；对于B，等比数列的公比为，由，得，解得或，当时，，即，则为递增数列，当，，有，则为递增数列，所以为递增数列，B正确；对于C，因为，不满足，C错误；对于D，当时，数列的前项和为，而无意义，D错误.故选：AB12. 现有甲、乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6个白球，乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是（    ）A. ，，两两独立．B. 根据上述抽法，从乙取出的球是红球的概率为．C. 以表示由乙箱中取出的是红球的事件，则．D. 在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为．【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，利用利用事件独立性的意义判断A；利用全概率公式求出概率判断B；利用条件概率公式计算判断C；利用概率的乘法公式及互斥事件的概率加法公式计算判断D作答.【详解】依题意，，对于A，事件，，中，任意两个都不可能同时发生，即，因此事件，不独立，同理事件，，事件，都不相互独立，A错误；对于B，从乙箱中取出的是红球的事件为，则，因此，B正确；对于C，由选项B知，，C正确；对于D，取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，取出的两球都是红球的事件可以分拆成2个互斥事件的和，甲箱中取红球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件，，甲箱中取黑球或白球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件，所以所求概率为，D错误.故选：BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 为了判断某高中学生选修文科与性别的关系，现随机抽取名学生，得到如图所示的列联表：已知，．则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为______． 理科文科男女（参考公式：，）【答案】【解析】【分析】计算出的观测值，结合题中信息可得出结果.【详解】因为，则，所以，认为选修文科与性别有关系出错的概率约为.故答案为：.14. 已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据二项展开式可求得，再通过赋值运算求解.【详解】的展开式为；的展开式为；令，可得，，所以，即；对于，令，可得；令，可得；即，所以.故答案为：.15. 已知等差数列的公差为d，随机变量满足，，则d的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据概率的性质结合等差数列运算求解.【详解】由题意可知：，因为数列为等差数列，则，即，可得，解得，所以d的取值范围为.故答案为：.16. 已知数列中，则______．【答案】340【解析】【分析】根据余弦函数结合并项求和以及等差数列求和运算求解.【详解】因为，注意到，可得，所以.故答案为：340.四、解答题：本大题共6小题，共70分．17. 已知的前项和．（1）求数列通项公式（2）求数列的前项和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据前项和与通项之间的关系分析运算；（2）结合（1）中结果，利用裂项相消法分析运算【小问1详解】因为，则有：当时，则；当时，则，可得；综上所述：.【小问2详解】由（1）可得：，当时，则；当时，则，综上所述：.18. 随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费（亿元）和沙漠治理面积（万亩）的相关数据如表所示：年份2017201820192020234524374752 （1）若可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的回归方程．（2）若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．参考公式：回归直线方程，，．【答案】（1）    （2）预测到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．【解析】【分析】（1）根据题中数据和公式运算求解；（2）根据（1）中的回归方程，运算求解即可.【小问1详解】由题意可得：，则，，可得，，所以关于的回归方程为.【小问2详解】由（1）可得：，令，解得，因为，所以，预测到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．19. 为了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨（t）），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于0.6t的亩数；（3）以直方图中的频率估计概率，在所有田地中随机抽取4亩，设这4亩中亩产量不低于1.0吨的亩数为，求随机变量的期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】（1）；    （2）万亩；    （3）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，求出亩产量在各分组区间内的频率，再估计平均亩产量作答.（2）利用（1）的结论，利用正态分布的对称性求出亩产量不低于0.6t的概率，再估计亩数作答.（3）用频率估计概率，求出亩产量不低于1.0吨的概率，利用二项分布的期望公式计算作答.【小问1详解】由频率分布直方图知，亩产量区间的频率依次为，由，得，，所以这100亩水稻平均亩产量的估计值为.【小问2详解】由（1）知，，而，则，，所以估计亩产量不低于0.6t的亩数是（万亩）.【小问3详解】由频率分布直方图及（1）知，亩产量不低于1.0吨的频率为，由频率估计概率，则亩产量不低于1.0吨的概率为，因此4亩中亩产量不低于1.0吨的亩数，所以随机变量的期望.20. 已知数列中，，当时，．（1）求数列的通项公式．（2）求数列的前项和．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）变形给定的递推公式，构造等比数列并利用等比数列通项公式求解作答.（2）利用（1）的结论，利用错位相减法求和作答.【小问1详解】当时，，即有，而，因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则，所以数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）知，，则，于是，两式相减得，因此，所以数列的前n项和为.21. 某工厂生产的10件产品中含有件次品，从中一次任取5件，其中次品恰有件．（1）若，求取出的产品中次品数量不超过1件的概率．（2）记，求当为何值时，取得最大值．【答案】（1）；    （2）4.【解析】【分析】（1）利用古典概率求出的概率，再利用互斥事件的概率公式求解作答.（2）根据给定条件，求出的表达式，再解不等式即可作答.【小问1详解】依题意，当时，10件产品中含有5件次品，则，，所以取出的产品中次品数量不超过1件的概率.【小问2详解】依题意，，，于是，由，得，解得，因此当或时，，当时，，所以当时，取得最大值．22. 已知数列满足，．（1）证明：数列为递增数列．（2）证明：（3）证明：【答案】（1）证明见解析；    （2）证明见解析；    （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用单调递增数列定义判断作答.（2）对给定的递推公式变形，取倒数并裂项，借助裂项相消法和及不等式的放缩法推理作答.（3）利用（2）的信息及结论，借助不等式的放缩法推理作答.【小问1详解】数列满足，则，由，知，因此，即，所以数列递增数列.【小问2详解】由，得，由（1）知，，因此，则有，，当且仅当时取等号，取，于是，则，所以.【小问3详解】由（2）知，，当时，，因此，而，于是，所以.【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.