2022-2023学年山东省济南市东南片区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市东南片区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示，直线、被直线所截，与是(    )

A. 内错角
B. 同位角
C. 同旁内角
D. 对顶角

2.  石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，被认为是本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，请将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是(    )

A. 每小时用电量 B. 室内温度 C. 设置温度 D. 用电时间

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  自来水公司为某小区改造供水系统，如图沿路线铺设管道，与主管道衔接，路线最短，工程造价最低，根据是(    )

A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

6.  如图，已知，，如果只添加一个条件不加辅助线使≌，则添加的条件不能为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图所示，、、是的三条高，，，，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  是一个完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9.  如图，在中，，，点为边上一点，过点作交延长线于点，交延长线于点，若满足，那么的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程米与甲出发的时间秒的函数图象，则乙在途中等候甲用了秒．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  角的余角是______

12.  如图，点是长方形纸片的边上一点，沿折叠纸片交于点，，则的度数是______ ．

13.  在中，，，若第三边的长是偶数，则的周长是______ ．

14.  已知，则的值为          ．

15.  如图，的面积为第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到第二次操作：分别延长，，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到，按此规律，最少经过______ 次操作，得到的三角形面积超过．

16.  如图，，、、分别平分、、以下结论：；；；其中正确的结论有______ 写出正确结论序号．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
；
；
．

18.  本小题分
先化简再求值：，其中．

19.  本小题分
填空并完成以下证明：
如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由．
解：与的大小关系是______．
证明：已知
______
______
______
______

______
____________
______

20.  本小题分
如图，为上一点点，分别在两侧，，．
证明：≌；
若，求的度数．

21.  本小题分
看电影逐渐成为人们喜欢的一种休闲娱乐方式，某影院观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：

按照表格所示的规律，当排数为时，此时座位数为______ ；
写出座位数与排数之间的关系式：______ ；
按照上表所示的规律，某一排可能有个座位吗？说说你的理由．

22.  本小题分
如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由地到地，行驶过程中的时间与路程图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
______ 先出发，提前______ 小时；
运动过程中甲的速度为：______ 千米小时，乙的速度为：______ 千米小时；
请直接写出在甲的行进过程中，当甲、乙两人相距千米时，自变量的值是多少？

23.  本小题分
感知与探究：如图，直线，过点作请直接写出，，之间的数量关系：______ ；
应用与拓展：如图，直线若，，，借助第问中的结论，求的度数；
方法与实践：如图，直线若，，则 ______ 度
 

24.  本小题分
我们将进行变形，如：，请同学们根据以上变形解决下列问题：
已知，，则 ______ ；
若满足，求的值；
如图，在长方形中，，，点、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和， ______ ， ______ ；用含的式子表示若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．

25.  本小题分
如图，已知中，，，，点为的中点．
如果点在线段以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度．
若点以中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出：经过多少秒，点与点第一次相遇？点与点第次相遇在哪条边上？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：直线、被直线所截，与是内错角．
故选：．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可得到答案．
本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
把小于的正数用科学记数法写成的形式即可得出结论．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，
自变量是设置温度，
故选：．
根据自变量的定义即可得出答案．
本题考查了常量和变量，掌握自变量是主动发生变化的量是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：沿路线铺设管道和主管道衔接，路线最短，工程造价最低，其根据是垂线段最短．
故选：．
从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，据此可得结论．
本题主要考查了垂线段的性质，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，即．
又，
可以添加，此时满足；
添加条件，此时满足；
添加条件，此时满足；
添加条件，不能证明≌．
故选：．
根据图形可知证明≌已经具备了一个角和一对相等边，因此可以利用、、证明两三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查三角形的面积，关键是根据同一三角形面积相等来分析．
根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】

解：因为、、是的三条高，，，，
所以可得：，
可得：．
故选A．

8.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
本题考查了对完全平方式的应用，注意：完全平方式有和两个．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
证明≌，得，再证，则，然后由等腰三角形的性质得，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据图象可以得到：甲共跑了米，用了秒，则速度是：米秒；
甲跑秒时的路程是：米，则段的长是米，时间是：秒，则速度是：米秒；
甲跑米用的时间是：秒，则甲比乙早出发秒．
乙跑米用的时间是：秒，则乙在途中等候甲用的时间是：秒．
故选：．
首先求得点对用的横坐标，即的值，则段的路程可以求得，时间是秒，则乙跑步的速度即可求得；
本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：角的余角是：．
故答案为：．
利用余角的定义进行求解即可．
本题主要考查余角，解答的关键是明确互余的两角之和为．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
由折叠得：平分，
，
故答案为：．
根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得平分，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
即，
第三边的长是偶数，
，
的周长为，
故答案为：．
先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形的周长．
本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
由可得，再根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】
解：由得，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：与底相等，高为：，故面积比为：，
面积为，
．
同理可得，，，
；
同理可证，
第三次操作后的面积为，
第四次操作后的面积为．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过，最少经过次操作．
故答案为：．
先根据已知条件求出及的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．
考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．
 

16.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，，
，
，
正确；
，
，
平分，，
，
，
正确；
平分，平分，
，，
，，，





，
正确；
，，，，
，
错误；
故答案为：．
根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
本题考查了平行线的判定与性质，掌握三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定与性质，三角形内角和定理的应用是解题的关键．
 

17.【答案】解：


；


；


；


． 

【解析】先算有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后计算乘法，再算加减法即可；
根据单项式的乘除法计算即可；
根据单项式乘多项式、平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
根据完全平方公式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：

，
当时，
原式


． 

【解析】先根据完全平方公式，单项式乘多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】  对顶角相等    同旁内角互补，两直线平行  两直线平行，内错角相等  等量代换    同位角相等，两直线平行  两直线平行，同位角相等 

【解析】解：与的大小关系是．
证明：已知，
对顶角相等，
，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等．
故答案为：；对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
由对顶角相等得，从而可求得，即可判定，即有，可求得，可判定，即有．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，，
，
． 

【解析】利用平行线的性质可得，再利用定理判定≌即可；
由：≌，，得，根据平角定义即可求得的度数．
此题主要考查了三角形全等的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由表格中座位数与排数的变化规律可知，排数每增加排，座位数就增加个，
所以第排的座位数为：个，
故答案为：；
由座位数随着排数增加的变化规律可得，
，
故答案为：；
把代入得，，
解得，不符合题意，
所以不可能某一排个座位．
根据座位数与排数变化规律得出答案；
根据变化规律得出一般性的函数关系式；
把代入解析式计算即可．
本题考查函数关系式，理解题目中的数量关系是正确解答的前提．
 

22.【答案】甲       

【解析】解：由图象可得甲先出发，提前时；
故答案为：甲；；
甲：千米小时，
乙：

千米小时，
故答案为：；；
根据题意，得或，
解得或，
答：在乙的行进过程中，当甲、乙两人相距时，自变量的值或．
由图象可得出甲先出发小时；
根据路程除以时间等于速度，可得出答案；
根据题意列方程解答即可．
本题考查了函数的图象，利用函数的图象解决实际问题，掌握函数图象横纵坐标表示的意义，通过图象得到函数关系式是关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
过点作，

由可得：，
，
，
由可得：，
，，，



，
的度数为；
设与相交于点，

，，
，
，
由得：，
，
，
故答案为：．
利用猪脚模型，进行计算即可解答；
过点作，利用猪脚模型可得：，，从而可得，然后进行计算即可解答；
设与相交于点，先利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用猪脚模型可得：，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，平行公理与推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】  ，  ． 

【解析】解：，，


；
故答案为：．


，
，
，
，，，
，，


，
长方形的面积为，
，
解得舍．
，
．
故答案为：，．




．
根据完全平方公式进行变形求解即可；
将和看作一个整体，然后利用完全平方公式变形求解即可；
根据，，，得出，，得出，根据，将，看作整体，利用完全平方公式的变形公式进行计算即可．
本题考查了完全平方公式的变形公式，掌握完全平方公式、、、之间的关系是关键．
 

25.【答案】解：全等，
因为秒，
所以厘米，
，为中点，
厘米，
厘米，
，
，
，
在与中，
，
≌；
因为，
所以，
因为，
要使与全等，只能，
即≌，
故B，
所以点、的运动时间：秒，
此时厘米秒；
因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，
设经过秒后与第一次相遇，依题意得，
解得秒，
此时运动了厘米，
又因为的周长为厘米，，
所以点、在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇；
设第一次相遇经过秒之后，第次相遇，
，
解得：，
，
，
，
，
，
点在边上． 

【解析】先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明；
因为，所以，又，要使与全等，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度；
因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得；

本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．