2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区八校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区八校九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  四个有理数，，，，其中最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的平方根为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  我国在到三年中，各级政府投入医疗卫生领域资金达亿元人民币．将“亿元”用科学记数法表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

4.  如图，表示这个图形面积的代数式是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列命题：同位角相等；如果，那么；若关于的方程的解是负数，则的取值范围为；相等的圆周角所对的弧相等其中假命题有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  若不等式组有解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，菱形的面积是正方形的面积的倍，连结，则：(    )

A.
B.
C.
D.

10.  关于的二次函数与轴有两个交点，，关于的方程有两个非零实数根，，则下列关系式不成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  有三辆车按，，编号，李、张两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐一辆车的概率为______ ．

13.  已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长是______．

14.  已知和有相同的外心，，则的度数是______ ．

15.  二次函数是常数，当时，，则的取值范围为______ ．

16.  已知与在同一平面内，点，不重合，，，，则长为           ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：，圆圆的解答如下：
解：由得，所以．
由得，所以．
所以原不等式组的解集为．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

18.  本小题分
为了喜迎亚运，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如图的统计图和图，请根据有关信息，解答下列问题：

本次接受随机抽样调查的学生人数为______ ，图中的值是______ ；
求本次调查获取到样本数据的众数和中位数；
根据样本数据，若学校计划购买双运动鞋，建议购买号运动鞋多少双？

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，平分，已知，，．
求证：；
求．

20.  本小题分
如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点和点．
求正比例函数和反比例函数的解析式；
将直线向下平移个单位长度，与反比例函数的图象相交于点和点．
求点的坐标；
点是轴上一点，当线段与线段之差达到最大时，求点的坐标．

21.  本小题分
在中，，，点为边上一点，点为延长线上一点，，连结、，并延长交于．
求证：≌；
求证：；
若恰好是的中点，求的长．

22.  本小题分
已知二次函数为常数．
若该函数图象过点，求的值和图象顶点坐标；
在的情况下，当时，求的取值范围；
当，随的增大而增大，，是该函数图象上的两个点，对任意的，，，总满足，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，在正方形中，点为边上的动点点与点、不重合，过点、、作圆，交于点．
求证：；
延长，交于点，连结．
若，，求的长；
若，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为正数大于，负数小于，两个负数，绝对值大的反而小，
且，
所以，
因此，四个有理数，，，，其中最小的是．
故选：．
根据有理数大小比较法则比较即可．
本题考查有理数大小的比较，熟练运用有理数大小比较法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故选：．
如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，平方根，关键是掌握算术平方根，平方根的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
首先把亿化为，再用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图可得，
阴影部分的面积为：，
故选：．
根据图形，可以发现阴影部分的面积为或，然后计算即可．
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．
 

5.【答案】 

【解析】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方体．故选B．
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
 

6.【答案】 

【解析】解：连结、，则，
是边长为的等边三角形，
，，
，分别切于，点，
，，
，
，
，
，
故选：．
连结、，由，分别切于，点，得，，则，所以，即可根据勾股定理求得，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、切线的性质定理、切线长定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题；
如果，那么，所以是真命题；
关于的方程的解是，因为，，解得，且，即是假命题；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以是假命题．
所以假命题是，个．
故选：．
分析是否为假命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，不能推出结论的，即假命题．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元一次不等式组的解法求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
先解出两个不等式，根据已知不等式组有解，即可求出的取值范围．
【解答】
解：
由得，
由得，
不等式组有解，
，即，
的取值范围是，
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：连接，，它们相交于点，则垂直平分，连接，也垂直平分线段，

点、、、、在同一条直线上，
设正方形的面积为，则菱形的面积为，
，
在中，，
，
菱形的面积，
，
，
，
：：，
故选：．
连接，，它们相交于点，则垂直平分，连接，也垂直平分线段，设正方形的面积为，则菱形的面积为，根据正方形与菱形的性质可得和的长，即可得到答案．
此题考查的是正方形的性质、菱形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由可得，
，为抛物线与轴的交点横坐标，
图象是由向上平移个单位所得，
如图，

，选项A正确，
由抛物线的对称性可得，选项D正确，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，选项C正确．
故选：．
由可得，则图象是由向上平移个单位所得，作出图象，通过抛物线与轴的交点位置求解．
本题考查抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将方程问题转化为图象交点的问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两位老师同坐一辆车的结果有种，
两位老师同坐号车的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两位老师同坐号车的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：设扇形的半径是，
扇形的面积为，圆心角为，
，
解得：负数舍去，
所以扇形的弧长为：，
故答案为：．
设扇形的半径是，根据扇形的面积公式得出，求出半径，再根据弧长公式求出弧长即可．
本题考查了扇形的面积计算和弧长公式，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：和有相同的外心，设外心为，则和外接圆的半径都为，
和是同一外接圆，
当点和在的异侧时，，
，
，
当点和在的同侧时，，
综上所述：的度数是或，
故答案为：或．
证明和是同一外接圆，分两种情况：当点和在的异侧和同侧，根据圆内接四边形的性质和圆周角的性质即可求得结论．
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，能够正确画出图形，分类讨论是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，，
解得，，
二次函数图象与轴的交点坐标为，，
抛物线开口向上，
当时，总有，，解得；
当时，时，满足，，解得，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
先解方程得到二次函数图象与轴的交点坐标为，，由于抛物线开口向上，所以当时，满足条件，解得；当时，只有时满足条件，解得，然后综合两种情况得到的取值范围．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

16.【答案】或或 

【解析】

【分析】
本题考查含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
分，在的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形．
【解答】
解：如图，当，同侧时，过点作于．

在中，，，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
当，异侧时，过作于，
是等边三角形，，
，，
在中，，
是等边三角形，
，
的长为或或．
故答案为：或或．  

17.【答案】解：解答过程有错误．
由得，所以．
由得，所以．
所以原不等式组的解集为． 

【解析】正确去分母和去括号，求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：人，
图中的值为：．
故答案为：，；
在这组样本数据中，出现了次，出现次数最多，
这组样本数据的众数为；
将这组样本数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都为，
中位数为；
双．
答：建议购买号运动鞋双．
根据条形统计图和扇形统计图求出总人数，由扇形统计图以及单位，求出的值；
找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
用计划购买的总鞋数乘号运动鞋所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，

，
，，
，
是直角三角形，，
；
解：，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，，推出，再根据角平分线性质得出，推出，得出，由勾股定理的逆定理即可得出结论；
由平行线得出，由勾股定理求出，得出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定、三角函数等知识点，证明是解题的关键．
 

20.【答案】解：反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，
，，
，
正比例函数和反比例函数的解析式分别是，；
由知：直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，与反比例函数的图象相交于点和点，
直线的解析式为，
将代入，得，
整理得，
解得：或，
经检验，与都是分式方程的解，
当时，，
；
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
即直线与轴的交点为，
点是轴上的一点，
当线段与线段之差达到最大时，点在直线与轴的交点处，最大值为的长，点的坐标为，理由如下：
在轴上任意取异于的点，连接，，如图，

在中，，
当线段与线段之差达到最大时，点在直线与轴的交点处，点的坐标为． 

【解析】将点代入反比例函数与正比例函数即可；
由平移的性质知，直线的解析式为，联立与，解方程即可；
首先利用待定系数法求出直线的解析式为，当线段与线段之差达到最大时，点在直线与轴的交点处，求出点的坐标即可．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数图象平移的性质，直线与双曲线的交点问题，三角形三边关系等知识，利用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，是延长线上一点，
，
在和中，
，
≌；
证明：≌，
，
，
，
，
；
解：是的中点，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据全等三角形的判定定理证明≌即可；
根据全等三角形的性质解答即可；
由勾股定理求出的长，证出，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是证明≌．
 

22.【答案】解：，
顶点为，
把点代入中得：，
解得：，
抛物线的顶点为；
由得二次函数解析式为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时函数在时取最小值为，
在时取最大值为，
故的取值范围；
由题意得，抛物线开口向上，
当，随的增大而增大，
对称轴，即，
，，
时，最小为，
时，最大为，
所以，解得，
综上所述． 

【解析】设为点，把点代入中，求得即可；
求得对称轴为直线，故当时取最小值，时取最大值，据此即可求得的取值范围；
由题意，即可得到，，从而求得，，根据二次函数图象上点的坐标特征求得时，最小为，时，最大为，即可得到，即可求得．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，

四边形是正方形，
，，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
；
解：连接，
四边形是正方形，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
延长到使，

，，
≌，
，，
，
，
，
，
≌．
，
，
，，
，
，
，
设，，
，
，
，，
；
由知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
连接，根据正方形的性质得到，根据圆周角定理得到是圆的直径，求得，得到，延长到使，根据全等三角形 到现在得到，，，解直角三角形得到结论；
由知，根据平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论．
本题是圆的综合题，考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．