2022-2023学年湖北省武汉市青山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市青山区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市青山区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 3.  在平行四边形中，，则的度数为(    )A.  B.  C.  D. 4.  以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，5.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定平行四边形为矩形的是(    )
 A.  B.
C.  D. 7.  已知，，则代数式的值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，连接，若，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 9.  在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，正方形的边长为，对角线与交于点，点，分别在，的延长线上，且，，为的中点，连接，交于点，连接，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  计算：          ．12.  一木杆在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，木杆折断之前高______ 米．13.  如图，平行四边形两对角线，相交于点，且，若的周长为，则 ______ ．
 14.  已知是整数，则自然数所有可能的值的和为______ ．15.  如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，则下列结论：；；；的最小值为其中正确的是______ 填写序号
 16.  如图，在中，，点为边上一动点，，连接，与交于点，，，，若，则 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：
；
．18.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，．
求的长；
求证：．
19.  本小题分
如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且．
求证：．
20.  本小题分
如图，在矩形中，点为对角线中点，过作，交于点，交于点，连接，．
试判断四边形的形状，并说明理由；
若，，求的长．
21.  本小题分
如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点为内一点仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

在图中，画格点，连接，，使得四边形为平行四边形，并在边上画点，使直线平行四边形的面积；
在的条件下，在图中，画的角平分线，再画点关于直线的对称点．22.  本小题分
无人机目前广泛应用于各个行业，在某地有，，三个无人机起降点三个起降点在同一水平面上，其中在的北偏东方向上，与的距离是米，在的南偏东方向上，与的距离是米．
求点与点之间的距离；
若在点的正上方高度为米的空中有一个静止的信号源，信号覆盖半径为米，每隔秒会发射一次信号，此时在点的正上方同样高度处有一架无人机准备沿直线向点飞行，无人机飞行的速度为每秒米．
若计划无人机在飞往处的过程中维持高度不变，飞行到点的正上方后再降落，试求无人机在飞行过程中，最多能收到多少次信号？信号传播的时间忽略不计
无人机在按原计划飞行秒后，因紧急情况需要飞到点处，请直接写出此时无人机飞到点需要的最短时间为______ 秒
23.  本小题分
如图，为正方形的边上一点，以为腰作，连接交于点，连接求证：为的中点；
如图，在菱形中，于点，以为腰作等腰，且使，连接交于点，连接求证：为的中点；
如图，为正方形内一点，以为腰作等腰，延长交于点，，若，，则 ______ ．
 24.  本小题分
已知，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，且，满足：，点为边上的一个动点，连接．

求点的坐标；
如图，以为腰作等腰，连接并延长，交轴于点，求点坐标；
如图，以为边作菱形，且，对角线，交于点，连接，当长度最小时，直接写出的面积．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，
所以、、都不是最简二次根式，而为最简二次根式．
故选：．
利用二次根式的性质化简得到，，，从而可对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式是解决问题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：在实数范围内有意义，
，解得．
故选D．
根据二次根式有意义的条件；列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：在平行四边形中，，
又，
所以，
故选：．
由平行四边形的对角相等即可求得．
本题考查了平行四边形的性质：对角相等，掌握此性质是关键．
 4.【答案】 【解析】解：、不能构成三角形，错误；
B、；
C、不能构成三角形，错误；
D、．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形．
 5.【答案】 【解析】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
 ，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减法则和乘除法则直接计算判断对错即可．
此题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：、，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
B、在平行四边形中，，又，则，则平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
C、，，又，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
D、能判定平行四边形平行四边形为菱形，不能判定它为矩形，故此选项符合题意．
故选：．
根据矩形的判定方法进行分析即可．
本题考查了平行四边形的性质，矩形与菱形的判定，掌握矩形的判定方法是关键．
 7.【答案】 【解析】解：当，时，；




；
故选：．
根据题意将、的值分别代入，求出和的值，最后计算可得答案．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入．
 8.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
点是中点，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
是等边三角形，
，
中，由勾股定理得：；
故选：．
根据菱形的性质和勾股定理证明是等边三角形，即可求解．
本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
 9.【答案】 【解析】解：连结，过点作，
则，
，，
由网格可知：，，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．

连结，可得是等腰直角三角形，过点作，则有，即，，解题即可．
本题考查等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，取中点，连接，

为的中点，点为中点，
是的中位线，，
，，
，
，，
是的中线，即，为的中点，
是的中位线，
，．
正方形边长为，
，
，即为中点．
又，，
，
是的中位线，
，
．
．
在中，，
故选：．
过点作于点，取中点，连接根据三角形中位线的判定和性质，可求出和的长，再求出的长，最后利用勾股定理求解即可．
本题综合考查了正方形的性质、中位线的判定和性质、勾股定理等内容．解决本题的关键是能作出辅助线构造三角形的中位线．
 11.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查二次根式的性质，同时还要掌握绝对值的代数意义．
根据二次根式的性质：和绝对值的代数定义求解．
【解答】
解：．
故答案为：．  12.【答案】 【解析】解：一棵垂直于地面的大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树杆底部米处，
折断的部分长为，
折断前高度为米．
故答案为：．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
 13.【答案】 【解析】解：平行四边形两对角线，相交于点，
，，
，
，
，
；
故答案为：．
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可求出的值，然后根据周长可求出的值，即为的值．
此题考查平行四边形的性质，解题关键是平行四边形的对角线互相平分．
 14.【答案】 【解析】解：是整数，则．
．
自然数所有可能的值为、、、，
所以所有可能的值的和为．
故答案为：．
根据二次根式的定义可知，直接列出所有可能的值再求和即可．
此题考查二次根式的定义，解题关键是明确．
 15.【答案】 【解析】解：如图所示，连接，交于点，

，，
，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
即正确；
≌，
，
，
，
，
即正确，
延长，交于，交于点，

由得，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
即正确；
为对角线上的一个动点，
当时，最小，
，，
，
，
由知，，
的最小值为，
即不正确，
综上，正确，
故答案为：．
连接，交于点，由题意得，即可得四边形为矩形，得，，用即可得≌，即可判断；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得，即可判断，延长，交于，交于点，由得，，根据题意和角之间的关系得，即可判断，根据垂线段最短得当时，最小，根据勾股定理得，即可得的最小值为，即可判断．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
 16.【答案】 【解析】解：延长，过点作，交的延长线于点，如图所示：

，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
即，
解得：或舍去，
在中根据勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：．
延长，过点作，交的延长线于点，证明≌，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据勾股定理求出．
本题主要考查了三角形全等的判断和性质，勾股定理，余角的性质，平行线的判断，平行四边形的判断和性质，作出辅助线，构造全等三角形证明≌是解题的关键．
 17.【答案】解：

；


． 【解析】将二次根式都化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
根据多项式乘多项式的计算法则去括号，然后合并同类项和同类二次根式即可．
此题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 18.【答案】解：，
，
在中，
，，
，
，
，
证明：在中，
，，，
，
，
，
． 【解析】利用勾股定理计算可得；
利用勾股定理的逆定理可得，根据内错角相等，两直线平行得以证明．
本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，平行线的判定，掌握勾股定理和以及逆定理是解题的关键．
 19.【答案】证明：
在中，且，
，
，
四边形是平行四边形，
． 【解析】由条件可证明四边形为平行四边形，可证得结论．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键．
 20.【答案】解：四边形为菱形，理由如下：
四边形为矩形，
，
，
为中点
，
，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
设的长度为，
由得四边形为菱形，
，
四边形为矩形，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的长度为． 【解析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定即可；
设的长度为，根据菱形的性质和勾股定理即可求解．
本题考查了平行四边形的性质和菱形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
 21.【答案】解：如图，点和点即为所求；
如图，射线和点即为所求． 【解析】将点向左平移个单位长度，即可得到点；连接点和四边形对角线的交点，并延长，交于点，点和点即为所求；
将点向左平移个单位长度得到点，连接，与相交于点；将点向左平移个单位长度，连接，与相交于点，连接并延长，交于点，直线和点即为所求．
本题主要考查了格点作图，平行四边形的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质以及平行四边形和全等三角形的判定，并利用相关性质和定理完成作图．
 22.【答案】 【解析】解：依题意有：，，，

，
在中，由勾股定理得：，
米，
答：点与点之间的距离为米；
过作于，

，
米，
，
故分别在和上找点和点使，
在中，由勾股定理得：，
米，
同理得：米，
当无人机处在段时能收到信号，由无人机的速度为，
则无人机飞过此段的时间为：秒，
无人机收到信号次数最多为：次，
无人机飞到点后再沿飞行到，此时飞行的时间最短，
由勾股定理得：米，米，
无人机飞行的距离为米，飞行的最少时间为：秒．
故答案为：．
由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点与点之间的距离；
过作于，由面积关系可求得的长，判断出，分别在和上找点和点使，分别求得、的长，可求得此时无人机飞过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；
无人机飞到点后再沿飞行到，此时飞行的距离为米，则可求得最少飞行的时间．
本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，勾股定理的应用是关键．
 23.【答案】 【解析】证明：过点作交于点，

四边形为正方形，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，，
，
四边形为正方形，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
为的中点；
证明：如图，设、交点为，连接、，
四边形为菱形，

，
为等腰三角形，
，
设，
，
，
≌，
，，
，
，，
四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
为的中点；
解：如图，连接，延长交于点，过作于点；

四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
，
，
≌，
，，，
，
即，
，
，
，
由勾股定理得：，，
，
；
设的边上高为，则，
，
由勾股定理得：，
，
，，
，
是等腰直角三角形，设，
则，，
，即，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
；
故答案为：．
过点作交于点，首先证明≌，其次证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论成立；
连接、，由已知可证明≌，其次证明是等腰三角形，则可证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论成立；
连接，延长交于点，过作于点；首先由可证明≌，则可得，；设的边上高为，则由面积关系可求得；易得是等腰直角三角形，设，则，，由面积关系可求得，则可求得的值，从而求得，最后求得结果．
本题是特殊四边形的综合，考查了正方形与菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，灵活运用以上知识是解本题的关键．
 24.【答案】解：依题意有：，且，
得．
，得．
点的坐标是；
过点作于点，交于点，

则．
设．
四边形是矩形，点的坐标是，
，，．
．
是等腰直角三角形，
且．
．
．
在和中．
，
≌．
，．
，
，
四边形是矩形．
同理：四边形是矩形
，，．
，．
．
，
，
，
点的坐标是；
作射线，
四边形是菱形，且，
，
四边形是菱形，
，
，
点、、、四点共圆，
，
点在的射线上，
当时，长度最小，此时，
点到的距离，
此时，的面积．
 【解析】根据二次根式有意义的条件求解即可；
过点作于点，交于点，利用证明≌，推出，，，据此求解即可；
作射线，求得，推出点在的射线上，当时，长度最小，根据含度角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查了圆周角定理，坐标与图形，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．