中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习04（含答案）

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中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习041.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F.求证：AE＝CF.      2.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．(1)求证D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD是什么四边形，并证明你的结论．      3.已知平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝12，BD＝13．求证：平行四边形ABCD是矩形.      4.如图，在△ABC中，D.E分别是AB.AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；[来%(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积.    5.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD.（1）求证：△ADE≌△CBF.（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论.  6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．(1)求证：四边形CDAF为平行四边形；(2)若∠BAC＝90°，AC＝AF，且AE＝2，求线段BF的长．      7.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，过点F作FG∥CE，且FG＝CE，连结DG，EG，BG，CG.(1)试判断四边形EGFC的形状；(2)求证：△DCG≌△BEG；(3)试求出∠BDG的度数．      8.为判断命题“有三条边相等且一组对角相等的四边形是菱形”的真假，数学课上，老师给出菱形ABCD如图1，并作出了一个四边形ABC′D.具体作图过程如下：如图2，在菱形ABCD中，①连接BD，以点B为圆心，以BD的长为半径作圆弧，交CD于点P；②分别以B.D为圆心，以BC.PC的长为半径作圆弧，两弧交于点C′.③连接BC′、DC′，得四边形ABC′D.依据上述作图过程，解决以下问题：(1)求证：∠A=∠C′；AD=BC′.(2)根据作图过程和(1)中的结论，说明命题“有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是________命题.(填写“真”或“假”) 9.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°.得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求∠ACE的度数；(3)求证：四边形ABFE是菱形.      10.如图1，2，四边表ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。⑴如图1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是          ；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是              ；③请证明你的上述两猜想。⑵如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。     
0.中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习04（含答案）答案解析  一         、解答题1.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠AED＝∠CFB，∴△ADE≌△CBF，∴AE＝CF. 2.证明：(1)∵AF∥BD，∴∠AFE＝∠DCE．∵E是AD的中点，∴AE＝DE．  又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC(AAS)． ∴DC＝AF．  又∵AF＝BD，∴BD＝DC．∴D是BC的中点．     (2)四边形AFBD是矩形．  证明：∵AF＝BD，AF∥BD， ∴四边形AFBD是平行四边形．   ∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．  ∴四边形AFBD是矩形．3.解：∵AB＝5，AD＝12，BD＝13．∴AB2＋AD2＝BD2，∴∠BAD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形. 4. (1)证明：∵D.E分别是AB.AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；(2)解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8. 5.（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=CF.在△AED和△CFB中，AD=BC,∠A=∠C,AE=CF.∴△AED≌△CFB（SAS）；（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形.证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.∵E是AB的中点，∴DE=0.5AB=BE.由题意可知EB∥DF且EB=DF，∴四边形BFDE是平行四边形.∴四边形BFDE是菱形. 6.解：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE，∴AF＝BD，∵AD是BC边中线，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∴四边形CDAF是平行四边形，(2)如图过F点作FG⊥AB交BA的延长线于点G．∵∠CAB＝90°，AD是BC边中线，∴AD＝CD又∵AC＝AF，AF＝CD，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ABC＝30°，又∵AF∥BC，∴∠ABC＝∠FAG＝30°∵AE＝2，∴AD＝AC＝AF＝4，∴在Rt△FAG和Rt△CAB中，FG＝2，AG＝2，AB＝4，∴GB＝AG＋BG＝6∴在Rt△FBG中，BF＝4． 7.解：(1)∵FG∥CE且FG＝CE，∴四边形EGFC是平行四边形．(2)证明：∵在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，AD∥BC，∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB＝30°，∴AB＝BE，∠CEF＝30°.又∵∠DCB＝180°－120°＝60°，∴∠CFE＝30°.∴∠CEF＝∠CFE.∴CF＝CE.∵四边形EGFC是平行四边形，∴CF∥EG，CF＝EG.∴∠CEG＝∠DCB＝60°，CE＝EG.∴△CEG是等边三角形，∠BEG＝120°.∴CG＝EG，∠ECG＝60°.∴∠DCG＝120°，∴∠DCG＝∠BEG.又∵DC＝AB＝BE，∴△DCG≌△BEG.(3)解：∵△DCG≌△BEG，∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，∴∠BGD＝∠EGB＋∠DGE＝∠CGD＋∠EGD＝∠EGC＝60°，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°  8.证明：连接BP，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，∠A=∠BCD，根据题意得：BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，∴AD=BC′，在△BPC和△BDC′中，，∴△BPC≌△BDC′(SSS)，∴∠BCD=∠C′，∴∠A=∠C′；(2)由(1)可知四边形ABC′D中，AB=AD=BC′，∠A=∠C，但四边形ABC′D不存在，易证A.D.C′共线，所以有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是真命题.故答案为：真. 9.证明：(1)∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝∠CAE＝100°，又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝AD＝AE，在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE(SAS).(2)解：∵∠CAE＝100°，AC＝AE，∴∠ACE＝40°；(3)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°.∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝140°，∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝140°，∴∠BAE＝∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形. 10.解：⑴①DE=EF；②NE=BF。③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴ DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB(或截取AN=AE)，连结NE，点N就使得NE=BF成立(图略)此时，DE=EF.