安徽省芜湖市2023届高三下学期5月教学质量统测数学试题（含答案）

安徽省芜湖市2023届高三下学期5月教学质量统测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集，若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

3．已知向量，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

4．皖江明珠，创新之城——芜湖，正加快建设省域副中心城市.为了烘托“七一”节日氛围，需要准备10000盆绿植作装饰.已知栽种绿植的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为，下底面圆直径约为，母线长约.假定每一个花盆装满营养土，请问需要营养土（    ）立方米？（参考数据：，，）

A．863.50 B．8.64 C．1584.39 D．15.84

5．记的内角的对边分别为，，，若，则为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

6．已知（），（），（），则（    ）

A． B． C． D．

7．函数在区间的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，底面同心的圆锥高为，，在半径为3的底面圆上，，在半径为4的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点到平面的距离为（    ）

A． B． C．2 D．

二、多选题

9．一个不透明的袋子里，装有大小相同的个红球和个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是（    ）

A．取出个球，取到红球的概率为

B．取出个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为

C．取出个球，第二次取到红球的概率为

D．取出个球，取到红球个数的均值为

10．已知，下列说法正确的有（    ）

A． B．

C． D．

11．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（    ）

A． B．切线：

C． D．

12．双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且在第一象限，，的内心分别为，，其内切圆半径分别为，，的内心为.双曲线在处的切线方程为，则下列说法正确的有（    ）

A．点、均在直线上 B．直线的方程为

C． D．

三、填空题

13．已知，则______.

14．在某次高三体检中，12位同学的身高（单位：）分别为，则这组数据的上四分位数为______.

15．已知椭圆的中心为，上存在两点，，满足是以半焦距为边长的正三角形，则的离心率为______.

16．拓扑学中，所谓“树”是指这样一种图形：在平面中，任意两点都可以连线，从而可以形成连通.若两点之间的连通没有回路，且任意两点之间没有不同的通路，则称两点具有唯一的连通.如图：两个点、三个点唯一的连通均有一种，四个点唯一的连通有2种，五个点唯一的连通有3种，平面里六个点唯一的连通有______种.

四、解答题

17．如图，四棱锥，其中为正方形，底面，，，分别为，的中点，，在棱，上，且满足，.

(1)求证：直线与直线相交；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

18．已知函数，且.

(1)求的最大值；

(2)从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.

①为函数图象与轴的交点，点，为函数图象的最高点或者最低点，求面积的最小值.

②为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围.

19．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭.主持人知道金蛋在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到元参与奖.无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人。

(1)求前位抽奖人抽中金蛋人数的分布列和方差；

(2)为了增加节目效果，改变游戏规则.当抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子.与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会.如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖.若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉择呢？

20．已知等差数列，等比数列，且，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)将数列和中的项合并，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前100项和.

21．已知函数（）.

(1)若的零点有且只有一个，求的值；

(2)若存在最大值，求的取值范围.

22．已知动圆过定点，且与直线相切.

(1)求动圆圆心轨迹的方程；

(2)设过点的直线交轨迹于，两点，已知点，直线，分别交轨迹于另一个点，.若直线和的斜率分别为，.

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）设直线，的交点为，求线段长度的最小值.

参考答案：

1．C

2．C

3．B

4．D

5．D

6．B

7．B

8．A

9．ABD

10．AD

11．ABD

12．ABD

13．/

14．173.5/

15．或

16．6

17．(1)证明见解析

(2)

18．(1)

(2)①；②．

19．(1)分布列见解析；

(2)抽奖人应改变选择

20．(1)，

(2)8903

21．(1)

(2)

22．(1)

(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3；