小学数学六 正比例和反比例优秀一课一练

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第6讲 正比例和反比例热点难点一网打尽



知识点一：正比例的意义及应用
（1） 正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，
如果这两种量相对应的两个数 的比值（在除法中是叫做商）一定，那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。
（2） 如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关的量，用 k 表示它们的比值（一定），正比例关系式可用x/y=k。
（3） 判断两种量是否成正比例的应用方法：
、判断两个是否相关联；、判断这两个量的比值是否一定，比值一定就成正比例关系； 反之不成正比例关系。（简说：用除法，商一定，成正比）
知识点二：正比例的图像
正比例图像是一条直线。从图像中，可以直观看到两种量的变化情况，由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。
知识点三：反比例的意义及应用
（1） 反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量相对应的两个数的积一定，那么这两个量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系。
（2） 如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关的量，用 k 表示它们的比值（一定），反比例关系式可用x×y=k。
（3） 判断两种量是否成反比例的应用方法： 1、判断两个是否相关联；
2、判断这两个量的积是否一定，积一定就成反比例关系；反之 不成反比例关系。（简说：用乘法，积一定，成反比）
知识点四：解题方法：
（1） 判断题目中相关联的量成什么关系，列出等量关系式；
（2） 设未知数，列方程；
（3） 解方程并检验写答。

考点1：正反比例的辨别

例1．（2019春•古浪县校级期中）判断下面的两个量成正比例、反比例还是不成比例．
①圆的周长和半径．　 　
②圆的面积和半径．　 　
③正方形的周长和边长．　 　
④圆柱的侧面积一定，圆柱的高和底面的半径．　 　
⑤一个自然数和它的倒数．　 　
⑥比例尺一定，图上距离和实际距离．　 　．
【思路分析】①圆的周长半径（一定），是比值一定，所以圆的周长和半径成正比例关系；
②圆的面积公式，也就是圆的面积只是与半径的平方成正比例关系，和半径不成比例关系；
③因为正方形的周长边长，可得：周长边长，它们的比值一定，所以正方形的周长与边长成正比例关系；
④因为圆柱的底面周长高底面半径高圆柱的侧面积（一定），是对应的乘积一定，所以圆柱的高与底面半径成反比例关系；
⑤因为0没有倒数，所以这个自然数不包括0，这个自然数它的倒数（一定），即对应的乘积一定，所以这个自然数与它的倒数成反比例关系；
⑥因为图上距离：实际距离比例尺（一定），所以比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例关系．
【规范解答】解：由思路分析知：
①圆的周长和半径．成正比例关系；
②圆的面积和半径．不成比例关系；
③正方形的周长和边长．成正比例关系；
④圆柱的侧面积一定，圆柱的高和底面的半径．成反比例关系；
⑤一个自然数和它的倒数．成反比例关系；
⑥比例尺一定，图上距离和实际距离．成正比例关系．
故答案为：成正比例关系；不成比例关系；成正比例关系；成反比例关系；成反比例关系；成正比例关系．
【名师点评】此题主要考查正比例的意义，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．

1．（2019•郴州模拟）甲、乙是两个相关联的量，，和，，，，均不为是两组相对应的值，如下表．
甲


乙


（1）如果甲、乙成正比例，那么　　　 　　 　　 　．
（2）如果甲、乙成反比例，那么　 　　 　　 　　 　．
【思路分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值也就是商一定，它们的关系叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，它们的关系叫做反比例关系．
【规范解答】解：（1）如果甲、乙成正比例，那么，即；
（2）如果甲、乙成反比例，那么；
故答案为：、、、，、、、．
【名师点评】规范解答此题的关键要理解正反比例的意义．
2．（2019春•青龙县期末）、、三个相关联的量，并有．
（1）当一定时，与成　反　比例关系．
（2）当一定时，与成　 　比例关系．
（3）当一定时，与成　 　比例关系．
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：、、三个相关联的量，并有．
（1）当一定时，与成 反比例关系．
（2）当一定时，与成 正比例关系．
（3）当一定时，与成 正比例关系．
故答案为：反，正，正．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
3．（2019春•金州区校级月考）判断下面各题中的两个量，哪些成正比例？哪些成反比例，哪些不成比例？填入横线内．
（1）正方形的周长与边长．　成正比例　
（2）小丽步行上学的平均速度与所花时间．　 　
（3）一个人的身高和年龄．　 　
（4）三角形的面积一定，它的底和高．　 　
（5）一捆100米长的电线，用去的长度和剩下的长度．　 　．
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：
（1）因为正方形的周长边长，所以正方形的周长边长（一定），即正方形的周长和它的边长的比值一定，符合正比例的意义，所以正方形的边长和周长成正比例；

（2）小丽每天步行上学的速度和时间是两种相关联的量，它们与小丽家到学校的距离有下面的关系：
速度时间家到学校的距离（一定）；已知小丽到学校的距离一定，也就是小丽每天步行上学的速度和时间的乘积一定，符合反比例的意义，所以小丽每天步行上学的速度和时间成反比例．

（3）通常在生长期，人的身高是随着年龄的增长而增长，但是生长期过了后，骨膜会闭合，停止长高；
即人的身高与年龄的比值是不一定的，所以一个人的年龄与身高不成比例．

（4）三角形的底高面积（一定），是乘积一定，它的底和高成反比例．

（5）因为用的长度剩下的长度一捆电线的长度，所以用的长度与剩下的长度的比值和乘积都不一定，所以用的长度和剩下的长度不成比例．
故答案为：成正比例，成反比例，不成比例，成反比例，不成比例．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
考点2：正比例的图像及应用

例2．（2019•新都区）乘车人数与所付的车费如下表：
人数人
0
1
2
3
4

25

车费元
0
5
10
15
20



（1）仿照图中已经描出的两个点，根据上表中数据再描出各个点，然后连接各点，你发现了什么？
（2）乘车人数与所付车费有什么关系？如果有25人乘车，车费是多少元？

【思路分析】（1）根据表中的数据，进行描点、然后连线即可；
（2）根据所付车费人数每人的车费（一定），乘车人数与所付车费成正比例；根据每人的车费不变，用每人的车费乘以人数即可得车费是多少元．
【规范解答】解：（1）如图：

（2）所付车费人数每人的车费（一定），乘车人数与所付车费成正比例；


（元
答：如果有25人乘车，车费是125元．
【名师点评】本题主要考查比例在日常生活中的应用，要正确判断哪两种量成什么比例．考查了学生综合运用知识解决问题的能力．

1．（2019•怀化模拟）如图各图反映了、两种量的关系．
图　　中，、成正比例．

【思路分析】根据正比例、反比例图象的特点，正比例的图形是一条直线，反比例的图形是一条曲线．据此规范解答即可．
【规范解答】解：因为正比例的图形是一条直线，所以图中，、成正比例．
故答案为：．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握正比例、反比例的意义，正比例、反比例图象的特点．
2．（2019春•泗洪县期中）一种药水是由药粉和水按照的质量比配制而成的．
（1）补充表格．
（2）根据表格中的数据在下面的方格纸上描点连线．
药粉克
1
2
4
6
8
10
水克
200
400




（3）12克药粉需要加入多少克水？要把2.5千克水配成药水，需要药粉多少克？

【思路分析】（1）通过观察统计表可知：水与药粉的比值一定，所以水的质量与药粉的质量成正比例，据此补充完成统计表．
（2）根据统计表中的数据在方格纸上描出对应的点，完成正比例的图象．
（3）已知1克药粉需要兑200克水，那么12克药粉需要加水克，2.5千克水配成药水，需要药粉2.5千克的，根据一个数乘分数的意义，用乘法规范解答．
【规范解答】解：（1）填表如下：
药粉克
1
2
4
6
8
10
水克
200
400
800
1200
1600
2000
（2）作图如下：

（3）（克，
2.5千克克，
（克，
答：12克药粉需要加水2400克，要把2.5千克水配成药水，需要药粉12.5克．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义，并且能够根据正比例的意义解决有关的实际问题．
3．一辆自行车每时行．
（1）填表．
时间时
1
2
3
4
5
6

路程
15
　30　
　　
　　
　　
　　

（2）根据表中数据先在图中描出时间和路程对应的点再依次连接各点．
（3）时间和路程成正比例吗？说明理由
（4）利用图象估计3.5时行多少千米？行约需多少时？

【思路分析】（1）根据速度时间路程，列式计算；
（2）根据统计表中的数据，先在图中描出时间和路程所对应的点，再把它们按顺序连起来即可；
（3）因为自行车行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例；
（4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出自行车3.5小时行500千米；行驶360千米用1.8小时
【规范解答】解：（1）（千米），（千米），（千米），（千米），（千米）
填表如下：
时间时
1
2
3
4
5
6

路程
15
30
45
60
75
90

（2）根据数据连线后如下图：


（3）时间和路程成正比例；因为自行车行驶的速度一定，也就是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例．
（4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出自行车3.5小时约行52.5千米；行驶70千米用小时；

答：3.5小时行驶52.5千米．行驶70千米用小时．
故答案为：30；45；60；75；90．
【名师点评】此题考查根据统计表中的信息，绘制成正比例关系的两种量的图象，再根据观察图象得出3.5小时行多少千米和行70千米需要多少小时．

考点3：用正比例解应用题

例3．（2019•保定模拟）一列火车从甲城开往乙城，前3小时行驶210千米，照这样计算，再行4.5小时就可以到达乙城，甲乙两城共多少千米？（用比例解）
【思路分析】根据题意知道，速度一定，路程和时间成正比例，由此列式规范解答即可．
【规范解答】解：设甲乙两城共千米．


；
答：甲乙两城共525千米．
【名师点评】规范解答此题的关键是弄清题意，再根据速度，路程，时间三者的关系，判断哪两种量成何比例，然后找准对应量，列式规范解答即可．

1．（2019春•大同期中）在比例尺是地图上，量得北京到杭州的铁路长4.7厘米，这条铁路实际长多少千米？（用两种方法）
【思路分析】（1）方法一：根据“图上距离比例尺实际距离”代入数值进行规范解答即可；
（2）方法二：运用比例的知识，进行规范解答，设这条铁路实际长厘米，根据比例的知识得：进行规范解答即可；
【规范解答】解：方法一：
，
，
（厘米）；
164500000厘米千米；
方法二：设这条铁路实际长厘米，则：
，
，
；
164500000厘米千米；
答：这条铁路实际长1645千米．
【名师点评】规范解答此题应根据比例尺和图上距离、实际距离的关系进行规范解答或运用比例的知识进行规范解答．
2．（2019春•中山市校级月考）法国巴黎的埃菲尔铁塔高．北京的“世界公园”里有一座埃菲尔铁塔的模型，它的高度与原塔高度的比是．这座模型高多少米？（用比例解）
【思路分析】由题意可知：埃菲尔铁塔的模型的高度与原塔的高度的比值是一定的，则埃菲尔铁塔的模型高度与原塔的高度成正比例，据此即可列比例求解．
【规范解答】解：设这座模型高米，
则，
，
；
答：这座模型高32米．
【名师点评】此题主要考查正比例的意义，即若两个相关联量的比值一定，则这两个量成正比例，于是可以列比例求解．
3．（2019•长沙自主招生）某工程队要铺设一条公路，前20天已铺设了2.8千米，照这样计算，剩下的4.2千米，还要多少天才能铺完？（用比例解）
【思路分析】根据题意知道，工作效率一定，工作量和工作时间成正比例，由此列式规范解答即可．
【规范解答】解：设还要天才能铺完．


；
答：还要30天才能铺完．
【名师点评】规范解答此题的关键是，弄清题意，根据工作效率，工作时间和工作量三者的关系，列式规范解答即可．
考点4：用反比例解应用题

例4．（2019•竞秀区模拟）铺地砖：

（1）小芳家的客厅是一个长方形，按原计划选用边长是4分米的方砖需250块．如果改用边长5分米的方砖来铺需多少块？（用比例解）
（2）从价格方面考虑，选用哪种地砖较合适？（边长4分米的每块12.8元，铺每平方米手工费13元；边长5分米的每块22元，铺每平方米手工费8元）．
【思路分析】（1）根据题意知道小芳家客厅的面积是一定的，一块方砖的面积方砖的块数小芳家客厅的面积（一定），由此判定一块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，设出未知数，列出比例规范解答即可．
（2）先用一块方砖的面积方砖的块数求出小芳家客厅的面积，再用客厅的面积铺每平方米的手工费，算出铺这两种不同边长方砖各自的手工费；再用需要转的块数每块砖的价格算出买各自边长方砖的总钱数，再把各自的手工费和买各自边长方砖的总钱数合起来，最后比较即可．
【规范解答】解：（1）设用边长5分米的方砖来铺需块，
，
，
，
，
答：改用边长5分米的方砖来铺需160块．
（2）小芳家客厅的面积：（平方分米）平方米，
用边长是4分米的方砖花的钱数：（元，
手工费：（元，
总共花钱数：（元；
用边长5分米的方砖花的钱数：（元，
手工费：（元，
总共花钱数：（元，
，
所以选用边长是4分米的方砖较合适．
答：选用边长是4分米的方砖较合适．
【名师点评】规范解答此题的关键是判断出一块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，还要注意单位要统一，要想判定用那种合适，就要先算出用砖钱数及手工费，共花多少，再进行比较即可．

1．（2019•大英县）某工厂四月份天）计划生产一批零件，平均每天要生产400个才能完成任务，实际上前6天就生产了3000个．照这样计算，完成原计划任务要用多少天？（分别用正、反比例解）
【思路分析】（1）根据题意知道总工作量一定，工作效率和工作时间成反比例，由此列式规范解答即可．
（2）根据“前6天就生产了3000，知道工作效率一定，工作时间和工作量成正比例，由此列式规范解答即可．
【规范解答】解：（1）设完成原计划任务要用天．


；
（2）设完成原计划任务要用天．


；
答：完成原计划任务要用24天．
【名师点评】规范解答此题的关键是，弄清题意，根据工作效率，工作时间，和工作量之间的关系，先判断哪两种量成何比例，再找准对应量，列式规范解答即可．[来源:学§科§网]
2．（2019•康县）某厂生产一批水泥，原计划每天生产150吨，20天可以完成任务．实际每天比原计划增产，实际可以少用几天？（用比例解）
【思路分析】根据“实际每天比原计划增产，”知道的单位“1”是实际每天生产水泥的吨数，即实际每天生产的水泥是原计划的，由此求出实际每天生产水泥的吨数；再根据生产一批水泥的总量一定，即工作总量一定，因此工作效率与工作时间成反比例，列出比例求出实际的工作时间，进而求出实际可以少用的时间．
【规范解答】解：实际每天生产水泥的吨数：，
，
（吨，
设实际可以用天完成，
，
，
，
实际可以少用的天数：（天，
答：实际可以少用5天．
【名师点评】关键是根据题意先求出实际的工作效率，再根据工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例，列出比例求出实际的工作时间，进而求出实际可以少用的时间．
3．（2019春•馆陶县期末）刘师傅要加工一批零件，每小时加工40个，3小时可以完成，如果要提1小时完成任务，工作效率需提高百分之几？（用比例的方法解）
【思路分析】根据一批零件的总个数一定，即工作总量一定，工作时间与工作效率成反比例，由此列出比例求出提前1小时完成任务时的工作效率，进而求出工作效率需提高百分之几．
【规范解答】解：设提前1小时完成任务时的工作效率为个，
，
，
，
；
，
，
；
答：工作效率需提高．
【名师点评】关键是判断出工作时间与工作效率成反比例，再根据基本的数量关系解决问题．


1．（2019春•新洲区月考）下面　　中两种量成正比例关系，　 　中两种量成反比例关系．
．甲、乙两地相距120千米，汽车每小时所行路程和时间
．圆的周长和圆周率
．总钱数一定，花了的钱和剩余的钱
．正方体一个面的面积和它的表面积．
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：、甲、乙 两地相距120千米，汽车每小时所行路程时间甲、乙 两地相距120千米（一定），所以成反比例；
、圆的周长圆周率圆的直径，由于圆周率是定值，所以不成比例；
、花了的剩余的钱总钱数（一定），是和一定，所以不成比例；
、正方体的表面积一个面的面积（一定），所以成正比例．
故答案为：，．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
2．（2019春•阿瓦提县校级期中）当路程一定时，速度与时间成　反　比例．
当比例尺一定时，图上距离与实际距离成　 　比例．
当煤的总吨数一定时，用去的吨数与剩下的吨数　 　比例．
【思路分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：（1）速度时间路程（一定），是乘积一定
所以当路程一定时，速度与时间成反比例．
（2）图上距离：实际距离比例尺（一定），是比值一定
所以当比例尺一定时，图上距离与实际距离成正比例
（3）用去的吨数剩下的吨数煤的总吨数（一定），既不是乘积一定也不是比值一定．
所以当煤的总吨数一定时，用去的吨数与剩下的吨数不成比例．
故答案为：反，正，不成．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
3．（2019•福建模拟）如果，、均不为那么和成　正　比例；如果，那么和成　 　比例．
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：如果，、均不为，即，是比值一定，则和成正比例；
如果，即，是乘积一定，那么和成反比例．
故答案为：正，反．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
4．（2019春•禹城市期中）在式子中，如果一定，和成　正　比例；如果一定，那么和成　 　比例．
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：因为子中，如果一定，
即比值一定，所以和成正比例；
因为
所以，所以如果一定，即乘积一定，所以和成反比例．
故答案为：正，反．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
5．（2019•吴江区）如果，和成　反　比例；如果，和成　 　比例
【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：如果，则（一定），则和成 反比例；
如果，即（一定），所以和成 正比例
故答案为：反，正．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．


6．（2019春•晋中期末）同一时间、同一地点测得树高和影长的数据如表：
树高
2
3
4
6
影长
1.6
2.4
3.2
4.8
（1）在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们连起来．
（2）连线以后观察，它们是在一条直线上吗？　在　，说明树高和影长成　 　关系．
（3）不计算，利用图象判断，树高8米时，影长　 　米？影长4米时，树高　 　米？

【思路分析】（1）先依据所给数据描出对应点，进而可以连接各点，再观察图象的特点即可；
（2）通过图象特点，即可发现规律；
（3）依据树高和影长的比例关系，即可判断树高8米时，影子的长度；以及影长4米时，树高的长度．
【规范解答】解：（1）所作图象如下图，观察发现：表示树高和对应影长的点，都在一条直线上．

（2）连线以后，发现表示树高和对应影长的点，都在一条直线上，这说明树高和影长成正比例关系，
因为随着树的高度的增加，影长也在增加，且树高与影长的商是一定的，所以树高和影长成正比例关系；
（3）设树高8时，影长为米，影长时，树高米，
则有


；





答：树高时，影长6.4米，影长时，树高5米．
故答案为：在、正比例； 6.4，5．
【名师点评】规范解答此题的关键是明白：如果两个量的商一定，则说明这两个量成正比，据此即可逐步求解．
7．（2019•太原模拟）如图的图象表示一幅地图的图上距离和实际距离的关系．
（1）图上距离和实际距离成　正　比例．
（2）这幅地图的比例尺是　 　．
（3）在这幅地图上量得两地的图上距离是12厘米，两地的实际距离是多少千米？

【思路分析】（1）由于正比例的图象是一条直线，通过观察图象可知：图上距离和实际距离成正比例．
（2）根据比例尺的意义，比例尺，据此求出这幅图的比例尺．
（3）根据实际距离图上距离比例尺，据此规范解答即可．
【规范解答】解：（1）2厘米：50千米
厘米：5000000厘米


4厘米：100千米
厘米：10000000厘米


因为比例尺（一定）[来源:Zxxk.Com]
所以图上距离和实际距离成正比例．

（2）2厘米：50千米
厘米：5000000厘米

，
答：这幅地图的比例尺是．

（3）

（厘米），
30000000厘米千米，
答：两地的实际距离是300千米．
故答案为：正比例；．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握正比例、反比例的意义、比例尺的意义及应用．
8．（2019秋•玄武区期末）实践活动：旗杆有多高？
操场上，同学们正在阳光下测量竹竿、木棒的高度以及它们影子的长度，测量数据如下表：

实际高度
影长
实际高度与影长的比值
竹竿 1
2
0.5

竹竿 2
1.6
0.4

木棒 1
1
0.25

（1）计算并填写表格；
（2）仔细观察表格中竹竿、木棒的实际高度与影长的比值，你有什么发现？
（3）根据你的发现想一想，如果这时同学们测出旗杆的影长是 3.2 米，那么旗杆的实际高度应是　12.8　米．
【思路分析】（1）写出实际高度与影长的比，再求出比值即可；
（2）仔细观察表格中竹竿、木棒的实际高度与影长的比值，发现比值是比值一定，所以实际高度与影长之间成正比例；
（3）根据实际高度与影长成正比例，列式计算规范解答即可．
【规范解答】解：（1）

，


，


，
填表如下：

实际高度
影长
实际高度与影长的比值
竹竿 1
2
0.5
4
竹竿 2
1.6
0.4
4
木棒 1
1
0.25
4
（2）仔细观察表格中竹竿、木棒的实际高度与影长的比值，，发现比值是比值一定，所以实际高度与影长之间成正比例；

（3）（米；
答：旗杆的实际高度应是12.8米，
故答案为：12.8．
【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断，进而解决问题．
9．（2019•衡水模拟）如图是某厂甲、乙两个车间各生产600个零件过程中，生产零件的个数与生产时间的关系图：
（1）从图上可以看出两个车间生产零件的个数分别与它们所用的时间成　正　比例．
（2）乙车间生产　 　天后赶上甲车间生产的个数，甲、乙两个车间完成任务时，　 　车间所用的时间多
（3）当乙完成任务时，甲还有　 　个没做，　 　车间工作效率高，高　 　．

【思路分析】（1）判断生产的零件数与时间是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例；
（2）从图上可以看出；
（3）由图意可知，甲的工作效率：（个，乙的工作效率：（个，据此规范解答即可．
【规范解答】解：（1）因为两种量是否是对应的比值一定
所以两个车间生产零件的个数分别与它们所用的时间成正比例．
（2）乙车间生产9天后赶上甲车间生产的个数，甲、乙两个车间完成任务时，甲车间所用的时间多．
（3）（个
（个



答：高．
故答案为：正，9，甲，50，乙，25．
【名师点评】本题考查了比例的有关知识，解题的关键是从折线统计图中得到进一步解题的相关信息．
10．（2019春•民乐县校级月考）小李师傅生产零件的情况如下．
时间时
1
2
4
6
8
12
数量个
25
50
100
150


（1）完成如表．
（2）把上表中的数据在下面的方格纸上表示出来．
（3）连接各点，你发现什么？
（4）表中的数量和时间有什么关系？
（5）估计一下，2.5小时大约做多少个零件？5.5小时呢？
【思路分析】（1）根据工作总量工作时间工作效率填表．
（2）根据统计表完成统计图．
（3）根据完成的统计图思路分析．
（4）根据正比例的意义思路分析．
（5）根据工作总量工作时间工作效率进行估算．
【规范解答】解：（1）
时间时
1
2
4
6
8
12
数量个
25
50
100
150
200
300
（2）

（3）我发现加工零件的时间和数量成正比例关系．
（4）加工零件的时间和数量成正比例关系
（5）（个
（个
答：2.5小时大约做63个零件，5.5小时大约做138个零件．
【名师点评】本题考查的是正比例意义的运用，准确掌握正比例的意义是规范解答本题的关键．

11．（2019春•新北区校级期末）在比例尺是的地图上，两地间的距离是16厘米．
（1）两地间的实际距离是多少千米？
（2）一列火车由到用了3小时，火车每小时行多少千米？
【思路分析】（1）要求两地间的实际距离是多少千米，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值进行规范解答即可；
（2）要求火车的速度，根据“路程时间速度，代入数值规范解答即可．
【规范解答】解：（1）（厘米）；
96000000厘米（千米）；
（2）（千米）；
答：两地间的实际距离是960千米，火车每小时行320千米．
【名师点评】（1）此题属于对比例尺知识的考查，有公式可用，根据图上距离、实际距离和比例尺之间的关系进行规范解答即可；
（2）根据路程、速度和时间三者之间的关系进行规范解答即可．
12．（2019春•天心区校级期中）一个房间，用边长3分米的方砖铺地，需要432块，如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？
【思路分析】根据题意知道房间的面积一定，方砖的面积和方砖的块数成反比例，由此列式规范解答即可．
【规范解答】解：设需要块．


；
答：需要243块．
【名师点评】规范解答此题的关键是弄清题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，再找准对应量．
13．（2019•东莞校级模拟）从儿童节那天开始，小明读名著《红楼梦》．开始的4天他读完了32页，照这样计算，这个月小明一共可以读完多少页？（用比例规范解答）
【思路分析】抓住“照这样计算”是解题的关键，“照这样计算”意思是小明平均每天看的页数是一定的，即看的页数与看的时间的比的比值是一定的；看书的页数与看的时间成正比例关系，由此规范解答即可．
【规范解答】解：设小明一个月天）可以页书，
，
，
，
；
答：这个月小明一共可以读完240页．
【名师点评】此题属于正比例应用题，解题的关键是理解“照这样计算”这句话的意思，判断出两种相关联的量成正比例还是成反比列；如果是比值一定，那么这两种相关联的量就成正比例，如果是积一定，那么这两种相关联的量就成反比列；由此设未知数为，用比例规范解答即可．
14．（2019•当涂县）小兰的身高，她的影子长是．如果同一时间，同一地点测得一棵树的影子长，这棵树有多高？
【思路分析】同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等，也就是小兰的身高与影子的比等于这棵树的高与影子的比，设这棵树的高为，组成比例，解比例即可．
【规范解答】解：设这棵树的高为米，
，
，
，
．
答：这棵树有2.5米．
【名师点评】此题考查用比例的知识解应用题，设出未知数，组成比例然后解比例．
15．（2019春•云霄县期中）某小区维修线路，需停电半小时，妈妈找来一根长20厘米的蜡烛，点燃8分钟后，还剩15厘米，请问，这根蜡烛够燃烧到送电吗？（用比例知识规范解答并简要说明理由）

【思路分析】根据题意知道蜡烛每分钟燃烧的长度一定，所以蜡烛的长度与蜡烛燃烧的时间成正比例，由此列出比例求出20厘米的蜡烛燃烧所用的时间，再与0.5小时进行比较，即可得出答案．
【规范解答】解：20厘米的蜡烛燃烧所用的时间为分钟，
，
，
，
，
，
因为半小时分钟，
，
所以这根蜡烛够燃烧到送电；
答：这根蜡烛够燃烧到送电．
【名师点评】规范解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例规范解答即可．
16．（2019•黔西县）某人步行4小时走了22.4千米，照这样的速度，如果再走3小时，一共可以走多少千米？（用比例解）
【思路分析】根据题意知道，速度一定，路程和时间成正比例，注意时间某人步行4小时，如果再走3小时，一共走了小时，求7小时走的路程，由此列式规范解答即可．
【规范解答】解；设一共可以走千米，
，
，
，
，
．
答：一共可以走39.2千米．
【名师点评】规范解答此题的关键是，弄清题意，根据路程，时间和速度三者的关系，列式规范解答即可．
17．一批零件计划每天生产42套，20天完成，实际每天多生产14套，结果提前几天就完成了任务，（用比例解）[来源:学*科*网]
【思路分析】根据题意知道，总工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，由此列式规范解答即可．
【规范解答】解：设可以提前天完成．


，
，
；
答：可以提前5天完成．
【名师点评】规范解答此题的关键是，弄清题意，根据工作效率，工作时间和工作量三者的关系，判断哪两种量成何比例，然后找出对应量，列式规范解答即可．
18．一个筑路队铺一条公路，原计划每天铺1.6千米，30天铺完，实际每天比原计划多铺0.8千米，实际多少天完成？（用比例解）
【思路分析】由题意可知：这条公路的长度是一定的，即每天修的长度与需要的天数的乘积是一定的，则每天修的长度与需要的天数成反比例，据此即可列比例求解．
【规范解答】解：设实际天完成，
则，
，
；
答：实际20天完成．
【名师点评】此题主要考查利用反比例的意义解决实际问题，即若两个相关联量的乘积一定，则这两个量成反比例，于是可以列比例求解．