2023北京东城高三二模数学（含答案）

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2023北京东城高三二模数    学2023.5本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题  共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则(A) ⫋                      (B)            (C)                                   (D) （2）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（A）                                     （B）              （C）                                    （D）（3）已知数列中，，，为其前项和，则（A）                                     （B）              （C）                                      （D）（4）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为(A)                         (B)              (C)                                          (D)（5）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （A）                                     （B）                  （C）                  （D）（6）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（A）种                   （B） 种               （C）种                                   （D）种 （7）设函数 若为增函数，则实数的取值范围是（A）                                     （B）              （C）                  （D）（8）“ ”是“函数为偶函数”的    （A）充分而不必要条件                          （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件               （D）既不充分也不必要条件（9）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（A） 个                                    （B）2 个             （C） 个                                     （D）无数个（10）设，其中为自然对数的底数，则（A）                                （B）（C）                                （D） 第二部分（非选择题   共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。 （11）已知向量满足，与的夹角为，则      ;．（12）函数在一个周期内的部分取值如下表：则的最小正周期为     ； _______． （13）若，则实数的一个取值为__________.（14）如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，() 的两部分，则   .       （15）定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：①      若为递增数列，则存在最大值；②      若为递增数列，则存在最小值；③      若，且存在最小值，则存在最小值；④      若，且存在最大值，则存在最大值.其中所有错误结论的序号有_______． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在△中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求及△的面积.条件 ①： ；条件 ②：；条件 ③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （17）（本小题14分）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.（Ⅰ）设为的中点，求证：；（Ⅱ）若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.    （18）（本小题13分）某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：  学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7第一次82897892926581第二次83907595936176（Ⅰ）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；（Ⅱ）设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差．从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下：  （i）求的分布列和数学期望；（ii）设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）已知焦点为的抛物线经过点．（Ⅰ）设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；（Ⅱ）设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． （20）（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最大值； （Ⅲ）设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由. （21）（本小题15分）已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为(约定空集的元素个数为0).（Ⅰ）若，求及；（Ⅱ）若，求证：互不相同；（Ⅲ）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.
参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）A          （5）D  （6）C       （7）B         （8）C          （9）C         （10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）     （11）                                     （12）                  （13）(答案不唯一)                        （14）（15）① ③ ④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，        ，因为，所以所以.,.                                               ………………6分（Ⅱ）选条件①：   因为，由正弦定理得，由余弦定理得，解得.所以．                            由解得.                                                ………13分  选条件②：．已知由正弦定理得，因为，        所以,.所以． （17）（共14分）解：（I）由题设知因为平面 平面，平面 平面，，所以平面．因为平面，所以.因为为等边三角形，是的中点，所以.因为，所以平面．所以.                                                ………………6分（II）设，.取的中点，的中点，连接，，则，.由（I）知平面，所以平面，所以，.如图建立空间直角坐标系，则，，，．所以， ，，，.设平面的法向量为，则即令，则，.于是.因为直线和平面所成角的正弦值为，所以，整理得，解得或.因为，所以，即.                                                ………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为                                                                         ………3分（Ⅱ）（i）随机变量可能的取值为0，1，2．这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，，3，1，，.；；．则随机变量的分布列为：012的数学期望．                              ………11分（ii）.                                                    ………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为抛物线过点，所以，即．故抛物线的方程为，焦点，准线方程为. 所以                                          ………………6分（Ⅱ）设直线的方程为．由 得．由有．设则，．设的中点为，则.到准线的距离，        依题意有，即，整理得，解得，满足．            所以直线过定点．                           ………………15分 （20）（共15分）解：（Ⅰ），，.所以曲线在点处的切线方程为.                         ………………5分（Ⅱ）令，则，当时，，在上单调递增.因为，，所以，使得.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．，，所以.                                 ………………11分（Ⅲ）满足条件的的最大整数值为. 理由如下：不等式恒成立等价于恒成立.令， 当时，，所以恒成立.当时，令， ， ，与的情况如下：1所以当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，所以的值域为.因为，所以的最小值小于且大于．所以的最大整数值为.                                           ………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）由题设知，.  ………………4分（Ⅱ）依题意，则有因此         又因为所以所以互不相同.                                   ………………9分（Ⅲ）依题意由或，知或.令，可得或，对于成立，故或.①当时，，所以.②当时，或.当时，由 或，有，.同理，所以.当时，此时有，令，可得或，即或.令，可得或. 令，可得. 所以.若，则令，可得，与矛盾.所以有.不妨设，令，可得，因此. 令，则或.         故.所以.综上，时，.时，.时，.                           ………………15分