辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年度高考适应性测试（三）（三模）数学参考答案

东北育才学校2022-2023学年度高考适应性测试（三）

数学参考答案

一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）

二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）

三、填空题（每题5分，共20分）

13．50    14．        15．    16．（，）

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．【详解】（1）因为数列的前项和为，且，

当时，；

当时，，当时也满足；

所以；

又因为数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项，

所以，则，则.

（2）由（1）可得，，

令①

所以②

②可得，

所以

令，

即，

令，

则

则

（3）设，则，

则

18．【详解】（1）因为，

所以由正弦定理可得，

又，所以，即，

因为，所以.

（2）若选条件①：，由正弦定理知,可得，

故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；

若选条件②：，

由余弦定理可得，，

即，所以满足条件的三角形唯一.

设边上的高为，由等面积法可知,

即，解得，

故边上高线的长为.

若选条件③：，由正弦定理可得，即，

所以，可得或，有两解，不符合题意.

综上，应该选②，边上高线的长为.

19．【详解】（1）由题意知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为，

每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为，

综上可知，每位员工被认定为“暂定”的概率为

．

（2）设每位员工测试的费用为X元，则X的可能取值为90，150，

由题意知，， ，

所以随机变量X的数学期望为

（元），，

令，，

则，

所以当时，；当时，；

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，即（元）.

所以此方案的最高费用为（万元），

综上可知，若以此方案实施估计不会超过预算．

20．【详解】（1）∵平面AOS截球T的截面圆与直线AO相切于F，

∴，

记P是平面内不在直线OA上的点，平面TFP截球T的截面圆与直线FP相切于点F，

∴，

∵平面内直线AO，FP相交于点F，

∴TF⊥平面，

∵直线TF平面AOS，

∴平面AOS⊥平面，

∴．连TO，TM，

∴，，

∴球T的半径且，

∴.

（2）在平面AOS内圆锥的另一条母线与球T的切点记为N点

∵，

∴

以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过O与TF平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图.

∵OM，OF与球T相切，

∴，

∴，，

设交线C上任意点，记圆锥S的母线SP与球T相切于E．

∵PF与球T相切于点F，

∴，，

∴，

即（1），

两边平方整理得：（2），

两边平方整理得：（3），

易知：（3）（2）（1），

∴交线C在坐标平面xOy中方程为，

∴交线C是以F为焦点，O为顶点的抛物线.

21．【详解】（1）因为，所以，

由题意可得，所以，所以双曲线C的方程为.

（2）（i）设，直线AB的方程为，

由，消元得．

则，且，

（法一）∴

；

（法二）由韦达定理可得，即，

∴

，即与的比为定值．

（ii）设直线：，代入双曲线方程并整理得

，

由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，

由韦达定理得：，解得．

因为点A在双曲线的右支上，所以，

又点A在第一象限，所以，同理可得，

由（i）中结论可知，

得，所以，

故，

故的取值范围为.

22．【详解】（1）当时，，求导得：，，而，则，

所以在点处的切线方程是.

（2）当时，，对于在中的任意一个常数，假定存在正数，使得成立，显然有，

令，求导得：，

当时，，当时，，即在上递减，在上递增，

则当时，，

令，求导得：，即在上单调递增，

，即，

所以存在正数，使得.

（3）依题意，，求导得：，

令，，即在上单调递增，

因，当时，，即，函数在上单调递增，不存在极值，

当时，，，从而存在，使得，即，

当时，，，当时，，，因此，是函数的极小值点，满足，

，则，

因函数在上单调递减，而当时，，则由得，

令，求导得，当在上单调递减，

，，当且仅当时取“=”,即，，

于是得，，，

因此，，

所以.