安徽省亳州市2023届中考数学专项突破模拟题库（二模）含解析

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安徽省亳州市2023届中考数学专项突破模拟题库（二模）
【原卷 1 题】 知识点 相反数的定义

【正确答案】
C
【试题解析】


1-1（基础） 2020的相反数是（ ）
A.2020 B. C. D.
【正确答案】 C

1-2（基础） 的相反数是（　　）
A.2 B. C. D.
【正确答案】 A

1-3（巩固） -2021的绝对值的相反数是（ ）
A.-2021 B.2021 C. D.
【正确答案】 A

1-4（巩固） 的相反数是（ ）
A.2021 B. C.1 D.
【正确答案】 C

1-5（提升） 现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【正确答案】 A

1-6（提升） 下列说法正确的个数是（ ）
（1）绝对值等于它本身的数一定有无数个
（2）一个数的相反数不可能等于它本身
（3）倒数等于它本身的数有0，1，和
（4）是个非正数
A.0 B.1 C.2 D.3
【正确答案】 B

【原卷 2 题】 知识点 用科学记数法表示绝对值大于1的数

【正确答案】
D
【试题解析】


2-1（基础） 目前世界上最长的大桥，是我国的丹昆特大桥，全桥总长约165000米，是之前吉尼斯世界录所记载的世界第一长桥美国庞恰特雷恩湖桥的四倍长．数字165000用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

2-2（基础） 据中国铁路2月15日发布的新闻稿，2023年铁路春运圆满结束，全国铁路累计发送旅客348000000人次，数348000000用科学记数法记为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

2-3（巩固） 在合肥各区县2021年经济数据中，包河区GDP及人均可支配收入都领先于其他各区，成绩耀眼，包河区GDP达到1547亿元，全体居民人均可支配收入高达6.15万元，其中1547亿用科学记数法表示为（ ）
A.1.547×1012 B.1.547×1011 C.1547×108 D.0.1547×1012
【正确答案】 B

2-4（巩固） 中国疾控中心免疫规划首席专家王华庆在2022年3月25日国务院联防联控机制新闻发布会上表示，我国60岁以上的老年人中有2.12亿人完成了新冠病毒疫苗的全程接种，其中亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

2-5（提升） 中国的“天眼"绝对是我们中国人的骄傲，它可以一眼看穿亿光年以外，换句话来说就是它可以接收到亿光年之外的电磁信号，几乎达到我们人类现在所了解到的宇宙的极限边缘．数据亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

2-6（提升） 袁隆平院士是世界著名的杂交水稻专家，他毕生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，为我国农业发展贡献了巨大的力量，到2022年我国粮食播种面积总产量保持在13000亿斤以上，其中13000亿用科学记数法表示为（　　）
A.1.3×1012 B.1.3×1013 C.13×103 D.13000×108
【正确答案】 A

【原卷 3 题】 知识点 判断简单几何体的三视图

【正确答案】
C
【试题解析】


3-1（基础） “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-2（基础） 如图位置摆放的长方体，它的主视图是（　　）

A.B.C. D.
【正确答案】 D

3-3（巩固） 一个正三棱柱沿底面一顶点及另一底面的中线切割掉一部分后剩余的几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 A

3-4（巩固） 如图，该几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-5（提升） 下列四个几何体中，主视图和左视图可能不全等的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

3-6（提升） 如图所示的几何体中，主视图与左视图均是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

【原卷 4 题】 知识点 合并同类项,同底数幂相乘,幂的乘方运算,同底数幂的除法

【正确答案】
D
【试题解析】


4-1（基础） 下列算式中，结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

4-2（基础） 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

4-3（巩固） 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

4-4（巩固） 下列计算中，正确的是（　　）．
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

4-5（提升） 已知，，，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

4-6（提升） 下列运算正确的是(　　)
A.x3+x2=x5 B.(-x-1)2=x2-2x+1 C.x2·x3=x6 D.(xy3)2=x2y6
【正确答案】 D

【原卷 5 题】 知识点 三角板中角度计算问题,两直线平行内错角相等,根据平行线的性质求角的度数

【正确答案】
A
【试题解析】


5-1（基础） 如图，一副三角板按如图方式摆放，已知，，且，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 A

5-2（基础） 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

5-3（巩固） 将一把直尺和一块含有角的直角三角板按如图所示方式放置，直角三角板的一个顶点在直尺一边上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

5-4（巩固） 小明将含的三角板和一把直尺如图放置，测得，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

5-5（提升） 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，，，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 B

5-6（提升） 将含角的直角三角板如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中．若，则的度数为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 6 题】 知识点 一元二次方程的定义,根据一元二次方程根的情况求参数

【正确答案】
C
【试题解析】


6-1（基础） 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（ ）
A.2 B.1 C.0 D.
【正确答案】 A

6-2（基础） 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
【正确答案】 A

6-3（巩固） 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.且 C. D.且
【正确答案】 C

6-4（巩固） 若关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的正整数a个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【正确答案】 C

6-5（提升） 关于x的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

6-6（提升） 若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（ ）
A.0 B. C. D.
【正确答案】 B

【原卷 7 题】 知识点 同底数幂相乘,幂的乘方的逆用

【正确答案】
C
【试题解析】


7-1（基础） 已知2x＝6，4y＝5，那么2x+2y的值是（ ）
A.11 B.30 C.150 D.15
【正确答案】 B

7-2（基础） 已知，，其中，为正整数，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

7-3（巩固） 已知10x＝m，10y＝n，则102x+3y等于（　　）
A.2m+3n B.m2+n2 C.6mn D.m2n3
【正确答案】 D

7-4（巩固） 若，则用的代数式表示是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

7-5（提升） 已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

7-6（提升） 已知，则的值为（ ）
A.5 B.10 C.25 D.50
【正确答案】 A

【原卷 8 题】 知识点 用勾股定理解三角形,利用垂径定理求值

【正确答案】
D
【试题解析】


8-1（基础） 如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 B

8-2（基础） 如图，是直径，弦于点．若，，则的直径为（　　）

A.5 B.6 C.8 D.10
【正确答案】 D
8-3（巩固） 如图已知的半径为，弦的长为，点P是的延长线上一点，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

8-4（巩固） 如图，的直径过弦的中点E，且，，则的长为（ ）

A. B. C. D.8
【正确答案】 D

8-5（提升） 将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是( )

A. B. C. D.
【正确答案】 B

8-6（提升） 如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　）

A.8 B. C. D.
【正确答案】 C

【原卷 9 题】 知识点 列表法或树状图法求概率

【正确答案】
D
【试题解析】


9-1（基础） 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

9-2（基础） 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

9-3（巩固） “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

9-4（巩固） 广东省2021年高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

9-5（提升） 在一个不透明的盒子里放着三张形状、大小完全一样的卡片，上面分别写着1，，4，张明从盒子中取出一张卡片并记下上面的数字（记为a），然后放回卡片，接着刘强也从盒子中取出一张卡片，并记下上面的数字（记为b），然后放回卡片，则点恰好落在双曲线上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

9-6（提升） 有一枚质地均匀的正四面体骰子，它四个面上分别有数字1、2、3、4，如图2，正五边形的顶点A处有一个点M．点M按以下规则跳动，每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，点M就沿正五边形的边按逆时针方向连续跳几个边长，随机掷两次正四面体骰子后，点M位于点C处的概率为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 B

【原卷 10 题】 知识点 y=ax²+bx+c的图象与性质,二次函数图象与各项系数符号,根据二次函数的图象判断式子符号,抛物线与x轴的交点问题

【正确答案】
B
【试题解析】


10-1（基础） 如图，给出了二次函数y＝ax2+bx+c的图象，关于这个函数有下列四个结论：①b＝﹣4a；②a+b+c＝0；③b2﹣4ac＜0；④直线y＝bx+ac不经过第二象限，其中正确的是（　　）

A.①② B.③④ C.①④ D.②③
【正确答案】 C

10-2（基础） 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中不正确的是(　　)

A.abc<0 B.b=－4a C.4a+2b≥m(am+b) D.a－b＋c>0
【正确答案】 D

10-3（巩固） 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤方程的两实数根为，，则．其中结论正确的个数为（　　）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【正确答案】 B

10-4（巩固） 在平面直角坐标系中，已知二次函数（）的图像如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【正确答案】 C

10-5（提升） 如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：（1）；（2）；（3）点、、是该抛物线上的点，则；（4）；（5）（t为任意实数）；（6），其中正确结论的个数是（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5
【正确答案】 C

10-6（提升） 如图，抛物线与轴交于点，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（　　）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【正确答案】 A

【原卷 11 题】 知识点 综合提公因式和公式法分解因式

【正确答案】

【试题解析】


11-1（基础） 因式分解：=_______．
【正确答案】 4(a+5b)(a-5b)

11-2（基础） 分解因式：______．
【正确答案】

11-3（巩固） 因式分解：______．
【正确答案】

11-4（巩固） 因式分解：2a2﹣4ab+2b2＝_____．
【正确答案】

11-5（提升） 因式分解：_________．
【正确答案】

11-6（提升） 求的最小值___________．
【正确答案】 6

【原卷 12 题】 知识点 用勾股定理解三角形,因式分解法解一元二次方程

【正确答案】

【试题解析】


12-1（基础） 一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
【正确答案】 14

12-2（基础） 一个等腰三角形的两边长是方程的两个根，那么这个等腰三角形的周长是__________．
【正确答案】 10

12-3（巩固） 已知等腰三角形的腰长是方程x2-7x+12=0的一个根，其底边长为6，则底边上的高长为 ________
【正确答案】

12-4（巩固） 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－17x＋60＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________．
【正确答案】 13

12-5（提升） 如图，在中，，于D，若、是关于x的方程的两个根，且，求m的值_______．

【正确答案】 16

12-6（提升） 若方程x2－7x+12=0的两个不相等的实数根，恰好是一个直角三角形的两条边长，则此直角三角形的第三条边长是________．
【正确答案】 5或

【原卷 13 题】 知识点 根据图形面积求比例系数（解析式）

【正确答案】
2
【试题解析】


13-1（基础） 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图象于B，C两点，若的面积是3，则k的值为___________；

【正确答案】 5

13-2（基础） 如图，反比例函数经过的直角边上一点，且，若，则________．

【正确答案】 3

13-3（巩固） 如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是______．

【正确答案】

13-4（巩固） 如图，反比例函数和的图象在第一象限内分别交矩形的顶点和对角线的中点，则的值为______．

【正确答案】 4

13-5（提升） 如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于1，则的值为_________．

【正确答案】 3

13-6（提升） 如图点P、Q、R在反比例函数常数k> 0，x> 0图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1、S2、S3，若OE=DE=CD，S1+S3=28，则S2的值为__________．

【正确答案】

【原卷 14 题】 知识点 用勾股定理解三角形,垂线段最短,根据矩形的性质与判定求线段长,相似三角形的判定与性质综合

【正确答案】

【试题解析】


14-1（基础） 如图，在矩形中，，，E为上一动点，F为延长线一点，且在E点运动中始终保持．
（1）当时，则的长为__________；
（2）在此运动过程中，的比值为__________．

【正确答案】 或0.5

14-2（基础） 如图的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是，同时，点E沿从B向C运动，速度为．动点E到达点C时运动终止．连接．
（1）当动点运动______秒时，与相似；
（2）当动点运动______秒时，．

【正确答案】 或

14-3（巩固） 和的位置如图，，，连接，且，则：

（1）若，则______（用含α的代数式来表示）；
（2）若，则的长为______．
【正确答案】

14-4（巩固） 如图，四边形与四边形是正方形，，，连接、，与相交于点，与交于点．

（1）的长________；
（2）________．
【正确答案】 或

14-5（提升） 如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是AB边上一动点，把△ADP沿DP折叠得△，射线交直线AB于点Q点．
（1）当Q点和B点重合时，PQ长为___________；
（2）当△为等腰三角形时，DQ长为____________．

【正确答案】 或

14-6（提升） 在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=k，连接FE

（1）当k=2时，S△DEF：S△ABC=_______；
（2）取EF的中点G ，连接GA、GC，则GA+GC的最小值为________
【正确答案】 1：9

【原卷 15 题】 知识点 二次根式的混合运算,求特殊角的三角函数值

【正确答案】
5
【试题解析】


15-1（基础） 计算：．
【正确答案】

15-2（基础） 计算：
【正确答案】

15-3（巩固） 计算：．
【正确答案】 0

15-4（巩固） 计算：．
【正确答案】

15-5（提升） 计算：．
【正确答案】

15-6（提升） 计算：
【正确答案】

【原卷 16 题】 知识点 解分式方程

【正确答案】

【试题解析】


16-1（基础） 解方程：．
【正确答案】

16-2（基础） 解分式方程：＝．
【正确答案】 x=-1

16-3（巩固） 解分式方程：
【正确答案】

16-4（巩固） 解方程．
【正确答案】
16-5（提升） 解方程：
（1）；
（2）．
【正确答案】 （1）x＝4；（2）x＝2
16-6（提升） ①的解　 　．
②的解　 　．
③的解　 　．
④的解　 　．…
（1）根据你发现的规律直接写出第⑤，⑥个方程及它们的解．
⑤
⑥
（2）请根据你发现的规律直接写出第个方程及它的解，并通过计算判断这个结论是否正确．
【正确答案】 （1），；，；（2），，计算见解析
【原卷 17 题】 知识点 平移(作图),已知图形的平移，求点的坐标,画旋转图形,求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标

【正确答案】


17-1（基础） 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为，点B的坐标为．

1、将向右平移5个单位长度得到图形，请画出．
2、将绕点顺时针旋转得到图形，请画出．
【正确答案】 1、详见解析 2、详见解析

17-2（基础） 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：

1、若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标；
2、将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出．
【正确答案】 1、见解析，点， 2、见解析

17-3（巩固） 如图，在平面坐标内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）

1、先将向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，请画出；
2、把绕点顺时针方向旋转后得到，请画出并直接写出点的坐标．
【正确答案】 1、见解析 2、图见解析，点的坐标为

17-4（巩固） 在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，的顶点在网格线的交点上，点的坐标为．

（1）画出向上平移4个单位长度得到的，并写出点的对应点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转90°得到的，并写出点的对应点的坐标．
【正确答案】 （1）画图见解析，（-1，3）；（2）画图见解析，（3，1）

17-5（提升） 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，已知格点三角形ABC(顶点为网格线的交点)．
(1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1(点B，C的对应点分别为点B1，C1)，画出△AB1C1；
(2)将△ABC平移，使得点A与点C1重合，得到△A2B2C2(点A，B，C的对应点分别为点A2，B2，C2，画出△A2B2C2)并说明平移过程；
(3)填空：sin∠B1C1B2=_______．

【正确答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）．

17-6（提升） 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．

1、将向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到，请画出；
2、以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出，并标出点的坐标；
3、点P为平面内一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点P坐标．
【正确答案】 1、图形见解析 2、图形见解析； 3、或或

【原卷 18 题】 知识点 图形类规律探索,几何问题(一元一次方程的应用)

【正确答案】

【试题解析】


18-1（基础） 观察下列图形和其对应的等式：

根据以上规律，解决下列问题：
1、写出第5个图形对应的等式是__________．
2、第个图形对应的等式是__________（用含的等式表示），并证明．
【正确答案】 1、
2、，证明见解析

18-2（基础） 将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3；将图3中4个较小的正方形中的一个剪开得到图4，…，照这个规律剪下去：

（1）根据图中的规律补全表．
图形标号
1
2
3
4
…
正方形个数
1
4
　 　
　 　
…
（2）第n个图中有多少个正方形？
（3）第2021个图中有多少个正方形？
【正确答案】 （1）7，10；（2）3n﹣2；（3）6061
18-3（巩固） 用同样规格的黑白两种颜色的正方形．按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：

1、在图②中用了______块白色正方形，在图③中用了______块白色正方形；
2、按如图的规律继续铺下去，那么第个图形要用______块白色正方形；
3、如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2022块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．
【正确答案】 1、8，11 2、 3、不能，见解析

18-4（巩固） 如图所示，用五角星摆成的“上”字：

如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
1、第四、五个“上”字分别需用________　和________　个五角星；
2、第n个“上”字需用____________个五角星；
3、如果一图形共有102个五角星，它是第几个“上”字？
【正确答案】 1、18；22 2、 3、25

18-5（提升） 相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，小金盘压着较大的金盘．如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外．
[问题提出]如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？设h（n）是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数．
[问题探究]
探究一：当n＝1时，显然h（1）＝1．
探究二：当n＝2时，如图①．
探究三：当n＝3时，如图②．

1、探究四：当n＝4时，先用h（3）的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用h（3）的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即h（4）＝ （直接写出结果）．
…
2、[初级模型]若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 次（用含a的代数式表示）．
3、[自主探究]仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．）
4、[最终模型]综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 次．
5、[问题变式]若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动 次．
【正确答案】 1、15 2、（2a+1） 3、63 4、（264﹣1） 5、（364﹣1）

18-6（提升） 图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为，如果图①-④中各有11层.

1、图①中共有___________个圆圈：
2、我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________.
3、我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数求图④所有圆圈中各数的绝对值之和.
【正确答案】 1、66 2、56 3、1179

【原卷 19 题】 知识点 解直角三角形,其他问题（解直角三角形的应用）

【正确答案】

【试题解析】


19-1（基础） 如图，为了测量校园内旗杆顶端到地面的高度，九年级数学应用实践小组了解到国旗的宽度，小组同学在地面上的处测旗杆上国旗、两点的仰角，测得，，求旗杆顶端到地面高度．（结果精确到）参考数据：（，，）

【正确答案】

19-2（基础） 如图，为了测量东西走向的公路桥梁的长度，数学兴趣小组在公路桥南侧选定观测点C，测得A在C北偏西方向上，点B在C的北偏东方向上，若测得米．求公路桥梁的长（精确到1米）．（参考数据，，）．

【正确答案】 约400米

19-3（巩固） 某风景区，风轩亭B在翠微阁A的正南方向，两个景点被一座小山阻隔，计划在A、B之间修建一条直通景观隧道（如图）．为测量A、B两点之间距离，在一条东西方向的公路l上选择P、Q两点分别观测A、B，已知点A在点P的北偏东方向上，点B在点Q的北偏东方向上，米，米，试求A、B两点之间的距离．（精确到1米，其中，）

【正确答案】 米．

19-4（巩固） 数学测绘社团欲测算平台上旗杆的拉绳的长．从旗杆的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡的底部C重合，此时拉绳与水平线所成的夹角，已知斜坡的高米，坡比为（即），米，求拉绳的长．（结果保留1位小数，参考数据：，，）

【正确答案】 米

19-5（提升） 长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB．壶嘴EF=80cm，∠FED=70°

1、求FE与水平桌面l的夹角
2、如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，求此时点F下落的高度．（结果保留一位小数）．
参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．
【正确答案】 1、30° 2、点F下落的高度约为40.3cm

19-6（提升） 如图是某小车侧面示意图，图是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示单位：且，，，箱盖开起过程中，点，，不随箱盖转动，点，，绕点沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，气簧活塞杆随之伸长，已知直线，．

1、求的长度．
2、求的长度．
【正确答案】 1、 2、

【原卷 20 题】 知识点 用勾股定理解三角形,根据等边对等角证明,切线的性质定理

【正确答案】
1）见解析    （2）6
【试题解析】


20-1（基础） 如图，圆是的外接圆，，过点作圆的切线，交的延长线于点．若，求的度数．

【正确答案】

20-2（基础） 如图，在以是直径的半中，C、D为半圆周上两点，且点C为的中点，过点C的切线交延长线交于点E．

1、求证：；
2、连接，若，求证：．
【正确答案】 1、见解析 2、见解析

20-3（巩固） 如图，在中，，，点D为AC边上一点，且，以为直径作交的中点于E，为的切线，交于点F．

1、求证：
2、求的长．
【正确答案】 1、见解析 2、

20-4（巩固） 如图，AB是的直径，是的一条弦，于点M，连接．

1、若，求的度数；
2、，的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：．
【正确答案】 1、 2、见解析

20-5（提升） 如图，为半圆O的直径，为切线，交半圆O于点D，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连接．

1、求证∶；
2、若，，求的长．
【正确答案】 1、见解析 2、

20-6（提升） 如图1，已知是半圆的直径，是半圆的切线，平行于弦．

1、连接，若，求的度数；
2、如图2，过作于，连接与交于点，求证：．
【正确答案】 1、 2、见解析

【原卷 21 题】 知识点 由样本所占百分比估计总体的数量,条形统计图和扇形统计图信息关联,求一组数据的平均数,求中位数

【正确答案】
（1）70；80；80    （2）210人    （3）见解析（答案不唯一，只要合理即可）
【试题解析】


21-1（基础） 某工厂有甲、乙两个分厂，其中甲分厂有名青工，乙分厂有名青工．在全厂这名青工中开展了劳动技能大赛，并按统一标准将比赛成绩从小到大分成，，，，五个等级．两个分厂各自随机抽取了名青工的成绩，分别绘制了如下两种不完整的统计图．

1、补全甲分厂的条形统计图，并求出乙分厂的扇形统计图中等级对应的扇形圆心角的度数；
2、求出甲、乙两分厂抽取的20名青工成绩的中位数分别属于哪个等级？
3、如果，等级的成绩为优秀，请估计该厂甲、乙两个分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率以及全厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率．（结果精确到）
【正确答案】 1、统计图见解析，乙分厂的扇形统计图中B等级对应的扇形圆心角的度数为
2、甲分厂抽取的20名青工成绩的中位数在等级；乙分厂抽取的20名青工成绩的中位数在等级
3、甲分厂的优秀率为，乙分厂的优秀率为，全厂的优秀率为

21-2（基础） 为了解防疫知识宣传教育活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格（），合格（），良好（），优秀（），制作了如图统计图（部分信息未给出）由图中给出的信息解答下列问题：

1、求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图；
2、这次测试成绩的中位数是什么等级？
3、请你根据抽样测试的结果估计该校获得优秀的学生有多少人．
【正确答案】 1、50，图见解析； 2、良好； 3、人．
21-3（巩固） “足球运球”是中考体育必考项目之一，某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．

根据所给信息，解答以下问题
1、在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是__________度；
2、补全条形统计图；
3、所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在__________等级；
4、该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人．
【正确答案】 1、117 2、见解析 3、B 4、30人

21-4（巩固） 为了庆祝党的二十大的顺利召开，也为了让学生更好地铭记历史，某学校在八年级举行党史知识测试，并将测试成绩分为以下4组（x表示成绩，满分100分）：
现随机抽取n位同学的成绩进行统计，制成如下统计图表，部分信息如下：

请根据以上信息，完成下列各题：
1、n=___________；a=___________
2、样本中成绩的中位数在___________组.
3、若成绩不低于90分，则视为优秀等级.已知抽取的样本容量占八年级总学生数的5%，请估计八年级在此次知识测试中大约有多少名学生获优秀等级？
【正确答案】 1、 2、C 3、名学生

21-5（提升） 某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过w吨的部分按4元/吨收费，超出w吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表：请根据以下图表提供的信息，解答下列问题：
表1
组别
月用水量x吨/人
频数
频率
第一组

100
0.1
第二组


n
第三组

200
0.2
第四组

m
0.25
第五组

150
0.15
第六组

50
0.05
第七组

50
0.05
第八组

50
0.05

合计

1

1、观察表1可知这次抽样调查的中位数落在第_______组，表1中m的值为_________，n的值为_______；表2扇形统计图中“用水量”部分的的圆心角为___________．
2、如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为多少吨？
3、利用（2）的结论和表1中的数据，假设表1中同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民3月份的人均水费．
【正确答案】 1、四或0.15或250或72° 2、3 3、8.8元

21-6（提升） 某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）：

1、请根据以上信息，完成下列问题：
①七年级身高在的学生有__________人；
②七年级样本的中位数所在范围是__________，请说明理由；
2、已知七年级共有名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人，并说明理由．
3、体育组对抽查的数据进行分析，计算出各年级的平均身高及方差如下表所示：
年级
七
八
九








那么学生的身高比较整齐是哪个年级？为什么．
【正确答案】 1、①；②，理由见解析 2、人，理由见解析
3、八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小

【原卷 22 题】 知识点 相似三角形的判定与性质综合

【正确答案】
（1）①见解析；②等腰三角形，见解析    （2）见解析
【试题解析】


22-1（基础） 在四边形中，，为对角线，．

1、如图1，求证：平分；
2、如图1，求，，求的长；
3、如图2，若，为的中点，连接、，与交于点，，，求的值．
【正确答案】 1、见解析 2、 3、

22-2（基础） 如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．

1、求证：；
2、若，求证：；
3、如图②，若，，求的值．
【正确答案】 1、见解析 2、见解析 3、

22-3（巩固） 如图1，在中，，点为延长线上一点，．

1、求证：；
2、作，，垂足分别为点，，交于点．
①如图2，当平分时，求的值；
②如图3，连接交于点，当，时，求的长．
【正确答案】 1、证明见解析 2、①；②

22-4（巩固） 已知和有公共的顶点，，，且．与相交于点，连接，．

1、若点，，在一条直线上，如图1，求证：；
2、将绕点逆时针方向旋转一定的角度，的延长线交于点，如图2
①证明：；
②若，求的值．
【正确答案】 1、见解析 2、①见解析；②

22-5（提升） 点在矩形的对角线上，于点，交于点．

1、如图，若平分，求证：；
2、如图，取的中点，若，求的值；
3、如图，过的中点作于点，延长交于点，连接交于点若，求证：．
【正确答案】 1、证明见解析 2、 3、证明见解析

22-6（提升） 如图，是的中线， D是线段上一点（不与点A重合）．交于点F，，连接．如图1，当点D与M重合时，四边形是平行四边形．

1、如图2，当点D不与M重合时，判断四边形的形状，并说明理由．
2、如图3，延长交于点H，若，且．
①求的度数；
②当，时，求的长．
【正确答案】 1、四边形是平行四边形，理由见解析 2、①；②

【原卷 23 题】 知识点 喷水问题(实际问题与二次函数)

【正确答案】

【试题解析】


23-1（基础） 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

1、求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
2、试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
3、在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．
【正确答案】 1、y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） 2、能飞越，理由见解析 3、8.1米

23-2（基础） 某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置（如图）喷水能力最强，水流从处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间符合二次函数关系式．

（1）求水流喷出的最大高度是多少米？此时最高处离喷水装置的水平距离为多少米？
（2）现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其他因素，花盆需至少离喷水装置多少米外，才不会被喷出的水流击中？
【正确答案】 （1）水流喷出的最大高度是米，此时的水平距离为米；（2）花盆需至少离喷水装置米外，才不会被喷出的水流击中.

23-3（巩固） 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高，2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为．

1、①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为_______；
2、若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好起跳点达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【正确答案】 1、①；② 2、能超过点，理由见解析

23-4（巩固） 如图，斜坡长米，坡角为（即），在坡上的A处为喷灌设备的喷水口，喷出的水柱呈抛物线形，按图中的直角坐标系，抛物线可用表示．

1、求出c的值，判断斜坡上点B处能否被水喷到？
2、若要使喷出的水正好落在B处，那么须将A处的喷水口向上竖直提高多少米．假设喷水口向上竖直提高的过程中，抛物线形状始终保持不变．
3、在斜坡上C处有一棵5米高的树，它距离A点水平距离3米（即米），水柱能否越过这棵树？
【正确答案】 1、，点B处不能被水喷到 2、须将A处的喷水口向上竖直提高米
3、水柱能越过这棵树

23-5（提升） 某公园要在小广场上建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．

1、以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
2、张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
3、为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【正确答案】 1、 2、 3、米

23-6（提升） 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．

应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【正确答案】 （1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm


答案解析


1-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据相反数的定义，即可求解．
详解:
2020的相反数是：，
故选C．
点睛:
本题主要考查求一个数的相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
1-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可．
详解:
∵的相反数是2，
故选A．
点睛:
本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键．
1-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据绝对值和相反数的概念求解即可．
详解:
解：-2021的绝对值为2021，
2021的相反数是-2021，
故选：A．
点睛:
本题主要考查绝对值和相反数，解题的关键在于熟练掌握绝对值和相反数的概念．
1-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据相反数的定义求解判断即可
详解:
∵=-1，-1的相反数是1，∴的相反数是是1，
故选C
点睛:
本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义，并灵活求一个数的相反数是解题的关键．
1-5【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析即可．
详解:
解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；故原命题错误；
②若两个数（非0）互为相反数，则它们相除的商等于1；故原命题错误；
③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确；
④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确；
⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．
∴正确的有2个；
故选：A．
点睛:
此题考查了有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则等知识点的运用，属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆．
1-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据倒数的意义，绝对值的性质，相反数的意义，可得答案．
详解:
解：（1）绝对值等于它本身的数一定是非负数，有无数个，故（1）正确；
（2）0的相反数等于0，故（2）错误；
（3）倒数等于它本身的数是±1，故（3）错误；
（4）可以表示正数、负数和0，故（4）错误；
∴正确的个数为1个；
故选：B．
点睛:
本题考查了倒数的意义，绝对值的性质，相反数的意义，解题的关键是掌握所学的定义分别进行判断．
2-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据科学记数法的表示方法进行求解即可．
详解:
，
故选：B．
点睛:
本题考查了科学记数法的表示方法，即可以把一个绝对值大于1的数表示成的形式，其中为整数，熟练掌握知识点是解题的关键．
2-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
详解:
解：348000000用科学记数法记为，
故选：C．
点睛:
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
2-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解:
解： 1547亿=154700000000=1.547×1011
故选：B．
点睛:
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
详解:
解：亿．
故选B．
点睛:
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
2-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
将一个绝对值较大的数用科学记数法表示时，小10的指数n比原数的整数位数少1， ，所以先将130亿还原，再按上法的方法即可求得．
详解:
解:130亿=13000000000=
点睛:
将一个绝对值较大的数用科学记数法表示时，一定要将小数点移至左边第一个不为数的后面，10的指数比原数的整数位数少1．
2-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
详解:
解：13000亿=1300000000000=1.3×1012．
故选：A．
点睛:
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
详解:
解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且在“斗”中能看到侧棱，即看到的图形为 ，
故选C．
点睛:
本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
3-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据几何体主视图的画法，利用“长对正”，即可得到答案．
详解:
解：从正面看，是一行两个相邻的矩形．
故选：D．
点睛:
本题考查了简单几何体主视图的画法，掌握“长对正、宽相等、高平齐”是解题关键．
3-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据俯视图的意义判断即可．
详解:
根据题意，得该几何体的俯视图如图所示：
，
故选A．
点睛:
本题考查了俯视图的意义，注意画图时，看到的棱用实线表示是解题的关键．
3-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据俯视图是从上面看到的图形求解即可．
详解:
解：从上面看，看到的图形是一个长方形，在靠近右侧和靠近中间分别有1条竖直的直线，即看到的图形为
，
故选C．
点睛:
本题主要考查了判断简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
3-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据各个几何体的三视图的图形易求解．
详解:
解：A．圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个等腰三角形，故本选项不合题意；
B．该长方体的主视图和左视图都是矩形，但这两个矩形的长可能不相等，所以主视图和左视图可能不全等，故本选项符合题意；
C．圆柱的主视图和左视图是相同的，都为一个邻边相等的矩形，故本选项不合题意；
D．球体的三视图是完全相同的，故本选项不合题意；
故选：B．
点睛:
此题主要考查了简单几何体的三视图，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出每个几何体的三视图．
3-6【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均是三角形的即可．
详解:
解：A、球的主视图和左视图均为全等的圆，不符合题意；
B、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；
C、圆锥的主视图和左视图均为全等的三角形，符合题意；
D、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，不符合题意；．
故选：C．
点睛:
此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图和左视图所看的位置．
4-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
分别对各选项进行计算求解，然后判断即可．
详解:
解：A中，错误，故不符合要求；
B中，错误，故不符合要求；
C中，错误，故不符合要求；
D中，正确，故符合要求；
故选：D．
点睛:
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除，积的乘方等知识．解题的关键在于正确的运算．
4-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
先计算乘方，再计算除法，即可求解．
详解:
解：．
故选：A
点睛:
本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的乘方，同底数相除的法则是解题的关键．
4-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方运算、积的乘方运算法则进行运算，即可一一判定．
详解:
解：A．，故该选项错误，不符合题意；
B．，故该选项错误，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D． ，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
点睛:
本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方运算、积的乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
4-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂的除法法则一一对每个选项进行判断即可．
详解:
解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意．
故选D．
点睛:
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂的除法，熟记同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂的除法法则是解这道题的关键．
4-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据幂的乘方的逆运算运算、同底数幂的乘法法则即可得出结果．
详解:
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C
点睛:
本题考查同底数幂的乘法法则，幂的乘方的逆运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键．
4-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方即可解答．
详解:
解：A．x2与x3不是同类项不能合并，x2+x3≠x5，故该选项计算不正确；
B. (-x-1)2=x2+2x+1，公式展开不正确；
C．x2•x3=x5，底数不变指数相加，故x2·x3=x6计算不正确；
D．(xy3)2=x2y6积的乘方等于积中每个因式分别乘法，再利用幂的乘方计算正确；
故选D．
点睛:
本题考查了合并同类项，完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方幂的乘方，解决本题的关键是熟记合并同类项，完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方是解题关键．
5-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据可得，再根据直角三角形两个锐角互余求出，最后根据三角形的外角定理，即可求解．
详解:
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．

点睛:
本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等；直角三角形两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
5-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据，可得，根据即可求解．
详解:
解：∵，
∴，
，
故选C．
点睛:
本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
5-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据平行线的性质，得出，求出，得出，根据平行线的性质，即可得出答案．
详解:
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．

点睛:
本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等．
5-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
如图，根据平行线的性质，得．根据三角形外角的性质，得，推断出，进而解决此题．
详解:
解：如图．

由题意得，，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
点睛:
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
5-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先根据三角形内角和等于180º求出∠ABC和∠EDF的度数，再根据平行线的性质可得∠ABD=∠EDF，利用角的和差即可求出∠CBD的度数．
详解:
∵△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，
∴∠ABC=180º-90º-60º=30º．
∵△DEF中，∠F=90º，∠E=45º，
∴∠EDF=180º-90º-45º=45º．
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45º．
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC
=45º-30º
=15º．
故选B
点睛:
本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理和平行线的性质定理是解题的关键．
5-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据题意，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据邻补角互补，计算即可得出答案．
详解:
解：，
，
是含角的直角三角形，
，
，
，
．
故选：D．
点睛:
此题考查了直角三角形两锐角互余、邻补角互补，解题的关键在理清角之间的数量关系．
6-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
详解:
解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有选项A符合题意，
故选A．
点睛:
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
6-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据有两个不相等的实数根即可得到，即可得到答案．
详解:
解：∵x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
满足题意，
故选：A
点睛:
此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
6-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由于k的取值范围不能确定，故应分和两种情况进行解答．
详解:
解：①当时，，解得；
②当时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程有实数根，
∴，解得，
由①、②得，k的取值范围是．
故选：C．
点睛:
本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分和两种情况进行讨论．
6-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由关于的一元二次方程有实数根，可得 且，再解不等式组结合为正整数，即可得到答案．
详解:
解： 关于的一元二次方程有实数根，
且
且．
又为正整数，
，，，
所以满足条件的值有个，
故选：C
点睛:
本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的情况求解参数的范围是解题的关键．
6-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．又存在，即，，利用根与系数的关系，从而最后确定的取值范围．
详解:
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：，
∵，，
又∵，
∴，，
则：，
∴，即：，
解得：，
综上，的取值范围为：．
故选：B．
点睛:
此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到，．
6-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，进而推出，则，，即可推出，然后代入，得到，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．
详解:
解：∵是方程的两个相等的实数根，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴不符合题意，
∴
∴符合题意，
故选B．
点睛:
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
7-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先逆用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则，把代数式变形后代入求值．
详解:
解：2x+2y
=2x×22y
=2x×4y
=6×5
=30．
故选：B．
点睛:
本题考查了幂的运算，掌握法则的逆用是解决本题的关键．
7-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
先逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则将变形为，再将，，代入即可计算．
详解:
解：，，




故选：A．
点睛:
本题主要考查了同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练运用同底数幂的乘法及幂的乘方的运算法则是解题的关键．
7-3【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
逆用幂的乘方和同底数幂的乘法，进行计算即可．
详解:
解：102x+3y＝，
故选：D．
点睛:
本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法的逆用，掌握运算法则是解题的关键．
7-4【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由可得，代入即可．
详解:
∵，
∴，
∴=．
故选A．
点睛:
本题考查了幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键，即（m，n为正整数），特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
7-5【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
首先根据幂的乘方运算的逆用可得，，，，再根据指数相等时，底数越大，幂就越大，据此即可解答．
详解:
解：，，，
，
，
，
故选：A．
点睛:
本题考查了幂的乘方运算的逆用，有理数大小的比较，熟练掌握和运用幂的乘方运算的逆用是解决本题的关键．
7-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据同底数幂的除法先求出的值，再代入计算即可．
详解:
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：A．
点睛:
本题幂的综合运算，熟悉同底数幂的除法、幂的乘方运算法则是解题的关键．
8-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据垂径定理及其推论判断即可．
详解:
解：∵是的直径与弦交于点，，
根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点，
∴， ，

但不能证明，故选项说法错误，符合题意；
故选：B．
点睛:
本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
8-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案．
详解:
解：连接，

在中，由垂径定理知，
由勾股定理得：
，即，
的直径为10．
故选：D．
点睛:
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
8-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC、BC，根据勾股定理求出OC，然后根据勾股定理即可求出OP．
详解:
解：如图，过O作OC⊥AB于C，

则∠OCP=∠ACO=90°，
∵OC⊥AB，OC过点O，
∴，
∵，
∴，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：，
在Rt△PCO中，由勾股定理得：．
故选：C．
点睛:
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键，注意：垂直于弦（不是直径）的直径平分弦．
8-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
连接，先计算圆的半径为5，再计算，根据垂径定理的推论，勾股定理计算即可．
详解:
如图，连接，
∵，，
∴，

∴，，
∵的直径过弦的中点E，
∴，
∴，
∴，
故选D．
点睛:
本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
8-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
如图（见解析），先利用翻折的性质、直角三角形的性质求出的度数，再根据垂径定理、等腰三角形的性质得出度数，从而得出的度数，最后根据翻折的性质得出，利用扇形的面积公式即可得．
详解:
如图，过点O作，并延长OD交圆O与点E，连接OA、OB、OC
（垂径定理）
由翻折的性质得

（等腰三角形的三线合一）
同理可得



故选：B．

点睛:
本题考查了垂径定理、翻折的性质、扇形的面积公式等知识点，利用翻折的性质得出的度数是解题关键．
8-6【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
连接，利用垂径定理可得是的垂直平分线，则；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论．
详解:
解：如图，连接，
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵P是直径上的动点，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∵(当D，P，F在一条直线上时取等号)，点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，
∴直径，
∴．
故选：C．

点睛:
本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，利用圆的对称性解答是解题的关键．
9-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用列表法进行计算即可．
详解:
解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
















共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故选B．
点睛:
本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
9-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
先画出树状图，从而可得两次摸球的所有可能的结果，再找出两次摸到的球都是红球的结果，然后利用概率公式即可得．
详解:
解：由题意，将2个红球，1个白球分别记为，
画出树状图如下：

由图可知，两次摸球的所有可能的结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，两次摸到的球都是红球的结果有4种，
则所求的概率为，
故选：C．
点睛:
本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
9-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
详解:
解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
点睛:
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
9-4【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
详解:
解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：

共有12种等可能的结果数，其中选中“地理、生物”的有2种，
她在“2”中选地理、生物的概率是，
故选：A．
点睛:
本题考查了的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据题意利用列表法得出所有的可能性，然后确定点在反比例函数图象上的可能，利用概率公式求解即可．
详解:
解：列表如下：

1

4
1







4



∵反比例函数的解析式为，
∴点恰好落在双曲线上的可能性为：，，，
∴点恰好落在双曲线上的概率为：．
故选：C ．
点睛:
本题考查列表法和树状图法、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
9-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先判断出两次掷的数字之和为2或7时，点M位于点C处，根据概率的公式计算即可．
详解:
解：根据题意得：两次掷的数字之和为7或2时，点M位于点C处，列表如下：

1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
由表格可知：共有16种等可能的结果，其中两次掷的数字之和为2或7的结果由3种，故所求概率为，
故选：B．
点睛:
本题考查了概率，解题的关键是判断出两次掷的数字之和为7或2时，点M位于点C处．
10-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
①根据图象与的交点求出对称轴，再利用对称轴的公式确定与的关系；
②根据图象确定时，的值，即可确定与0的关系；
③根据图象与轴的交点的个数，确定与0的关系；
④根据图象确定好三者的值，再确定所经过的象限．
详解:
①由图可知与轴的交点为和，
∴对称轴为：，即，故，所以①正确；
②当时，由图可知，故②错误；
③由图可知，二次函数图象与轴有两个交点，所以，故③错误；
④由图可知，∴，故经过一，三，四象限，不经过第二象限，故④正确；
综上所述，正确的为①④，
故选：C．
点睛:
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，属于基础题，熟知系数对图象的影响是解题的关键．
10-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
先根据抛物线的开口向下可知a<0，与y轴的交点在y轴的负半轴可知c<0，由抛物线的对称轴x=2可得出a、b的关系，再对四个选项进行逐一分析．
详解:
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即
∴4a+b=0，故B正确，不符合题意；；
∴，
∴abc<0，故A正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，a＜0，
∴当时，取得最大值为
对于任意实数，
∴4a+2b+c≥m(am+b)+ c
∴4a+2b≥m(am+b)，
故C正确，不符合题意；
当x=﹣1时，抛物线与y轴的交点在x轴上，即a﹣b+c=0，故D错误， 符合题意．
故选D．
点睛:
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键，二次函数y= ²+bx+c(a≠0)的图象，当a<0时，抛物线向下开口，当a与b同号时(即ab>0，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．
10-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
详解:
解：①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
能得到：，，，，
∴，本选项错误；
②当时，，故本选项正确；
③当时，，对称轴为，即，，
把代入得，，故本选项错误；
④在中，时，y取得最小值，可得，
可得，故本选项正确；
⑤方程的两实数根为，，即对称轴可表示为，
可得，故本选项正确；
故选：B．
点睛:
本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键．
10-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据抛物线的开口方向可判断与的关系，根据抛物线对称轴的位置可判断与的关系，根据抛物线与轴的交点位置可判断与的关系；根据抛物线的对称性，进而对所得结论进行判断即可．
详解:
解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由图可知，点关于对称轴的对称点为，
∵当时，，
∴当时，，
∴，故③错误；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，故④正确；
∵当时，，
由图可知，当时，函数取得最大值，且最大值为：，
∴，
∴，故⑤正确；
∴正确的结论有②④⑤，
故选：C
点睛:
本题主要考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，能够从图像中获取信息是解题的关键．
10-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由抛物线与x轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出（1）正确；根据抛物线的对称轴为，即可得出，即（2）正确；根据抛物线的对称性找出点在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性，即可得出（3）错误；由时，，即可得出，结合，即可得出（4）正确；由方程中结合，即可得出抛物线中，由此即可得出（5）正确；先根据因式分解得到，再求出，即可得出（6）错误．综上即可得出结论．
详解:
解：由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴（1）正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴（2）正确；
∵抛物线的对称轴为，点在抛物线上，
∴．
∵，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，
∴．
∴（3）错误；
∵当时，，且，
∴，
∴，
∴（4）正确；
∵，
∴方程中，
∴抛物线与x轴只有一个交点，
∵图中抛物线开口向下，
∴，
∴，
即．
∴（5）正确．
∵，，
∴，
由图象可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
∴（6）错误．
故选：C．
点睛:
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析6条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，但过程较为繁琐，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键．
10-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据二次函数图像与性质，由抛物线与轴交于点，得到对称轴，从而得到，①正确；由①中，抛物线开口向下及抛物线交轴的正半轴即可确定②错误；根据二次函数最值即可得到，③错误；根据平面直角坐标系中三角形面积的求法，得到，利用二次函数图像与性质即可确定④错误．
详解:
解：∵抛物线与轴交于点，
∴对称轴为直线，即，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
∵抛物线交轴的正半轴，
∴，
∴，故②错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴，开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴（为任意实数），
∴（为任意实数），故③错误，不符合题意；
∵，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
将点代入，
∴，
∴，
过点作轴交于点，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的面积最大，故④不正确，不符合题意；
故选：A．
点睛:
本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图形与性质，平面直角坐标系中求三角形面积等是解决问题的关键．
11-1【基础】 【正确答案】 4(a+5b)(a-5b)
【试题解析】 分析:
先提取公因式4，再利用平方差公式继续分解即可．
详解:
解：

=4(a+5b)(a-5b)．
故4(a+5b)(a-5b)．
点睛:
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先提取公因式m，再运用平方差公式分解即可．
详解:
，
故答案为．
点睛:
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
11-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先提出公因式，再利用完全平方公式，即可求解．
详解:
解：原式

，
故．
点睛:
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
11-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先提取公因式2，再利用完全平方公式计算可得．
详解:
解：原式=．
故
点睛:
本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
11-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
详解:
原式
点睛:
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11-6【提升】 【正确答案】 6
【试题解析】 分析:
先对进行变换，再根据平方的非负性质进行解答即可．
详解:
解：

，
∵，，
∴，即的最小值为6，
故6．
点睛:
本题考查了因式分解、完全平方公式和平方的非负性质，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
12-1【基础】 【正确答案】 14
【试题解析】 分析:
先利用因式分解法求出方程的两根，再结合构成三角形的条件求出第三边的长即可得到答案．
详解:
解：∵，
∴，
∴或，
解得或，
当时，三角形三边长为3，5，6，能构成三角形，则三角形周长为；
当时，三角形三边长为3，5，2，不能构成三角形；
综上所述，该三角形的周长为14，
故14．
点睛:
本题主要考查了解一元二次方，构成三角形的条件，正确求出方程的两个根是解题的关键．
12-2【基础】 【正确答案】 10
【试题解析】 分析:
利用因式分解法求出方程的解得到x的值为2或4，然后分两种情况考虑： 2为腰，4为底边；2为底，4为腰．
详解:
解：方程，
分解因式得：（x-2）（x-4）=0，
可得x-2=0或x-4=0，
解得：，，
当等腰三角形的边长是2、2、4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是4、4、2时，这个三角形的周长是4+4+2=10．
故10．
点睛:
本题考查了因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的性质，解题的关键是求出方程的两根，此题注意分类思想的运用．
12-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
利用因式分解法求出x的值，再根据三角形三边关系确定腰的长度，继而根据等腰三角形的性质及勾股定理求解可得答案．
详解:
解：∵x2−7x＋12＝0，
∴（x−3）（x−4）＝0，
则x−3＝0或x−4＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
若腰长为3，此时三边长度为3、3、6，不符合三角形三边关系；
若腰长为4，此时三边长度为4、4、6，符合三角形三边关系；
底边长的高的长度为，
故
点睛:
本题主要考查解一元二次方程、三角形三边关系、等腰三角形的性质及勾股定理，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
12-4【巩固】 【正确答案】 13
【试题解析】 分析:
通过解方程可求得直角三角形的两条直角边的边长，进而由勾股定理求得斜边的长即可.
详解:
x2－17x＋60＝0，
(x-5)(x-12)=0,
解得：x1=5，x2=12.
∴直角三角形的两条直角边分别为5和12，
∴斜边长==13.
故答案为13
点睛:
此题主要考查一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应用．通过解一元二次方程求出两直角边的长是解题关键.
12-5【提升】 【正确答案】 16
【试题解析】 分析:
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据，可求出，再证，可得．
详解:
解：、是关于x的方程的两个根，
，，
，
，
．
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故16．
点睛:
本题考查一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题的关键是通过证明，推导出．
12-6【提升】 【正确答案】 5或
【试题解析】 分析:
先用因式分解法求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．
详解:
解：解一元二次方程得，，
若3．4分别为直角三角形的两条直角边长，由勾股定理得：直角三角形的斜边长为：，
若4为直角三角形的斜边，则由勾股定理得直角三角形的另一条直角边为：，
故答案：5或．
点睛:
本题考查了解一元二次方程、勾股定理以及分类讨论的思想，在不确定直角三角形直角边的时候，需要按照斜边进行分类讨论．能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
13-1【基础】 【正确答案】 5
【试题解析】 分析:
连接，如图，由于轴，根据三角形面积公式得到，再利用反比例函数系数k的几何意义得到，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．
详解:
解：连接OC、OB，如图，

∵轴，，
∴，
∵，
，
解得
∵，
∴．
故5．
点睛:
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是且保持不变．
13-2【基础】 【正确答案】 3
【试题解析】 分析:
设点C坐标为，，则，，，利用三角形的面积公式列方程求解即可．
详解:
解：设点C坐标为，，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
故3．
点睛:
本题考查坐标与图形性质、求反比例函数的解析式，熟练掌握坐标与图形性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
13-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
延长交y轴于点D，过B作轴，结合反比例函数k的几何意义即可得到答案；
详解:
解：延长交y轴于点D，过B作轴，

∵点A是双曲线，轴，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，轴，轴，
∴，
∵点B在上，
∴，
解得：，
故答案为；
点睛:
本题考查反比函数k的几何意义，解题的关键是根据平行四边形对角线将四边形分成两个全等的三角形得到面积．
13-4【巩固】 【正确答案】 4
【试题解析】 分析:
利用点是线段的中点，利用点的坐标表示点的坐标和点的坐标，再代入反比例函数的解析式求解即可．
详解:
解：设点
则点，点，点
点是线段的中点，
，即
∵点在反比例函数图象上，代入得：
，即
又∵点在反比例函数图象上，
∴代入点得：
故4．
点睛:
本题主要考查矩形的性质以及反比例函数，熟练掌握矩形的性质以及运用中点公式整体代入求解的值是解决本题的关键．
13-5【提升】 【正确答案】 3
【试题解析】 分析:
作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA=1，进而根据题意求得S△AOE=，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
详解:
解：作AE⊥BC于E，连接OA，

∵AB=AC，
∴CE=BE，
∵OC=OB，
∴OC=CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴，
∵，OC=OB，
∴，
∴，
∵OC=CE，
∴，
∴，
∵()，
∴，
故3．
点睛:
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
由题意可得：，由OE=DE=CD可得，再分别表示出S2、S3，根据S1+S3=28列方程求出k的值，即可得出S2的值．
详解:
由题意可得：，
OE=DE=CD，
，
同理可得：，
，
，
S1+S3=28，
，
解得：k=，
．
故．
点睛:
本题主要考查反比例函数k的几何意义，掌握k的几何意义并灵活运用是解题关键．
14-1【基础】 【正确答案】 或0.5
【试题解析】 分析:
根据矩形的性质和，可得，可证明，
（1）根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，即可求解；
（2）根据，可得，即可求解．
详解:
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（1）∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
故
（2）∵，
∴．
故
点睛:
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明是解题的关键．
14-2【基础】 【正确答案】 或
【试题解析】 分析:
（1）分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质求解即可；
（2）如图所示，过点E作于F，证明，求出，，则，再证明，得到，即，解方程即可．
详解:
解：（1）由题意得，则，
在中，由勾股定理得，
当时，
∴，即，
解得；
当时，
∴，即，
解得；
综上所述，当或时，与相似，
故或；
（2）如图所示，过点E作于F，则，
∴，
∴，即，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
故．

点睛:
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
14-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
（1）由，证明，得到，再根据是等腰直角三角形可得，即可得出结果；
（2）证明，可得，，从而证明是等腰三角形，得出，利用，，求出，，设，，在中利用勾股定理即可求解．
详解:
解：（1），，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
（2），
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是等腰三角形，
，
∵，即，
，
，，
设，，
在中，利用勾股定理得，
即，解得，
∴．
点睛:
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质证明三角形相似或全等是解题的关键．
14-4【巩固】 【正确答案】 或
【试题解析】 分析:
（1）根据题意，易证，得到、关系，即可得到答案．
（2）作交于点，设与的交点为，然后证明、、，求得与的关系，即可得到答案．
详解:
（1）四边形与四边形是正方形





，，则，
，
，则



解得
故答案为；
（2）如图，作交于点，设与的交点为



，




，


，
，




解得







故答案为
点睛:
本题主要考查了相似及全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14-5【提升】 【正确答案】 或
【试题解析】 分析:
（1）画出点Q与B重合时的图象，根据折叠的性质得到相等的边，设，则，在中利用勾股定理列式求出结果；
（2）分情况讨论，利用等腰三角形“三线合一”的性质，结合相似三角形的性质和判定，列式求出DQ的长．
详解:
解：（1）如图，当点Q与B重合时，
∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，解得，
故答案是：；

（2）①如图，当A´D=A´C=8时，过点作于点M，
由等腰三角形“三线合一”的性质得DM=DC=3，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则，解得；

②如图，当A´C=DC=6时，过点C作于点N，
由等腰三角形“三线合一”的性质得DN=DA´=4，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，则，解得；

③∵，，
∴，
故答案是：或．
点睛:
本题考查折叠问题，解题的关键是掌握勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，以及相似三角形的性质和判定．
14-6【提升】 【正确答案】 1：9
【试题解析】 分析:
（1）根据，可得，根据相似三角形的性质求解即可；
（2）作关于的对称点，连接，，，当三点共线时，取得最小值， 此时为的中位线，是直角三角形，勾股定理求解即可．
详解:
（1），

S△BFD：S△ABC



S△DEF：S△ABC=1：9
（2）如图， 作关于的对称点，连接，
则


当三点共线时，取得最小值， 此时为的中位线，

为中点，










.
，

即的最小值为
故1:9，
点睛:
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
15-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
分别根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
详解:
解：



点睛:
本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则是解题的关键．
15-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
详解:
解：



点睛:
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
15-3【巩固】 【正确答案】 0
【试题解析】 分析:
根据实数的混合运算法则进行计算即可．
详解:


．
点睛:
本题考查了实数的混合运算、二次根式的性质和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
15-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
针对绝对值，二次根式化简，零指数幂，特殊角的三角函数值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
详解:
解：原式
．
点睛:
本题考查了绝对值，二次根式的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
15-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
分别计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减即可．
详解:
解：


．
点睛:
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键．
15-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先按照特殊角的三角函数值、负整数次幂、算术平方根、零次幂化简，然后再计算即可．
详解:
解：

．
点睛:
本题主要考查了特殊角的三角函数值、负整数次幂、算术平方根、零次幂、实数的混合运算等知识点，牢记相关运算法则是解答本题的关键．
16-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
两边同时乘以公分母，先去分母化为整式方程，计算出x，然后检验分母不为0，即可求解．
详解:
，
，
解得，
经检验是原方程的解，
故原方程的解为：
点睛:
本题考查解分式方程，注意分式方程要检验．
16-2【基础】 【正确答案】 x=-1
【试题解析】 分析:
方程两边同乘最简公分母，化为一元一次方程，解得未知数的值，并检验即可．
详解:
方程两边都乘以最简公分母(x-3)(x-1)，得：2(x-1)=x-3
即2x-2=x-3
解得：x=-1
把x=-1代入(x-3)(x-1)中，得(x-3)(x-1)=-4×(-2)=8≠0
所以原方程的解为：x=-1
点睛:
本题考查了可化为一元一次方程的分式方程的解法，解分式方程一定要检验！
16-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
利用解分式方程的一般步骤解答即可．
详解:

去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
系数化为1，得：
检验：当时，
所以是原分式方程的解
点睛:
本题主要考查了解分式方程，利用解分式方程的一般步骤解答是解题的关键．
16-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先去分母、去括号，然后移项合并，系数化为1，再进行检验，即可得到答案．
详解:
解：，
原方程变形为：，
方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
点睛:
本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程需要检验．
16-5【提升】 【正确答案】 （1）x＝4；（2）x＝2
【试题解析】 分析:
两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解:
解：（1）方程两边同时乘以x﹣2得x﹣3+x﹣2＝3，
解整式方程得，x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣2≠0
∴x＝4是原方程的解．
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）（2x+3）得：2x2﹣x﹣6＝2（x﹣2）（x﹣1），
整理得：5x＝10，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x﹣1）（2x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
点睛:
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16-6【提升】 【正确答案】 （1），；，；（2），，计算见解析
【试题解析】 分析:
求出四个方程的解即可；
（1）分别写出第⑤，⑥个方程及它们的解即可；
（2）归纳总结得出一般性规律，写出验证即可．
详解:
① -1的解x=0；
② -1的解x=1；
③ -1的解x=2；
④ -1的解x=3；
（1）⑤ -1的解x=4；⑥ -1的解x=5；
（2） -1的解x=n-1，
方程两边同时乘以（x+1），得n=2n-（x+1），
解得x=n-1，
经检验，x=n-1是原方程的解．
点睛:
此题考查了解分式方程，解题关键在于利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17-1【基础】 【正确答案】 1、详见解析 2、详见解析
【试题解析】 分析:
（1）利用点的平移规律分别作出平移后的对应点即可；
（2）根据旋转的性质作出绕点顺时针旋转后对应点即可．
解：如图，即为所求．
解：如图，即为所求．
点睛:
本题考查了平移与旋转变换，熟记点的平移规律：左减右加，上加下减．
17-2【基础】 【正确答案】 1、见解析，点，
2、见解析
【试题解析】 分析:
（1）根据平移前后C点坐标和的坐标可画出图形，进而得到坐标即可．
（2）将三角形三个顶点分别绕点O顺时针旋转得到对应点，连接即可．
.解：由和可知其平移规律为向右平移5个单位长度，向下平移5个单位长度，如图所示即为所求，点，．
解：如图即为所求．

点睛:
本题考查了旋转变换和平移变换，结合旋转的角度和图形的特殊性求出旋转后的坐标是解题的关键．
17-3【巩固】 【正确答案】 1、见解析 2、图见解析，点的坐标为
【试题解析】 分析:
(1)根据平移的性质即可画出△A1B1C1；
(2)根据旋转的性质即可画出△A2B1C2，进而可以写出点C2．
解：先将向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，如下图：
解：如图所示，即为所求．

由图可知：点的坐标为．
点睛:
本题考查了作图—平移变换和旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
17-4【巩固】 【正确答案】 （1）画图见解析，（-1，3）；（2）画图见解析，（3，1）
【试题解析】 分析:
（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可．
详解:
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（-1，3）；
（2）如图，△A1B1C1为所作；点B2的坐标为（3，1）．

点睛:
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
17-5【提升】 【正确答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）．
【试题解析】 分析:
(1)根据旋转的性质画图即可；
(2)根据平移的性质画图，根据平移变化描述过程即可；
(3) 过点B2作B2D⊥B1C1于点D，求出B2D 、B2C1即可．
详解:
解：(1)△AB1C1如图(1)所示．
(2)△A2B2C2如图(1)所示．
平移过程：将△ABC先向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度或先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度．

(3)
如图(2)，过点B2作B2D⊥B1C1于点D．
由题意可得，B1B2=1，B2C1=，B1C1=，
∵=×1×1=××B2D，
∴B2D=，
∴sin∠B1C1B2=．
故
点睛:
本题考查了网格内的图形变换和解直角三角形，解题关键是熟练运用相关性质画图，构造直角三角形求三角函数值．
17-6【提升】 【正确答案】 1、图形见解析 2、图形见解析；
3、或或
【试题解析】 分析:
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转变换的性质作图即可．
（3）分三种情况讨论：以为一组邻边；以为一组邻边；为一组邻边，根据平行四边形的性质可得答案．
解：如图，即为所求；
解：如图，即为所求；

点的坐标的坐标为；
解：设点P的坐标为，
若以为一组邻边，有
，解得：，
此时点P的坐标为；
若以为一组邻边，有
，解得：，
此时点P的坐标为；
若以为一组邻边，有
，解得：，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
点睛:
本题考查作图——平移变换、旋转变换、平行四边形的性质，熟练掌握平移、旋转变换的性质以及平行四边形的性质是解答本题的关键，
18-1【基础】 【正确答案】 1、
2、，证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）根据图形规律，写出第5个图形对应的等式即可求解；
（2）根据前几个等式的规律，写出第个图形对应的等式即可求解．
解：写出第5个图形对应的等式是
解：；
证明：右边左边，
所以等式成立．
点睛:
本题考查了图形类规律题，整式的乘法与因式分解，找到规律是解题的关键．
18-2【基础】 【正确答案】 （1）7，10；（2）3n﹣2；（3）6061
【试题解析】 分析:
（1）由图案直接得出即可；
（2）根据图形的变化归纳出第n个图中有（3n﹣2）个正方形即可；
（3）由（2）中的规律直接计算即可．
详解:
解：（1）由图知，第3图中有7个正方形，第4个图中有10个正方形，
故7，10；
（2）由图知，第1中有1＝3﹣2个正方形，
第2个图中有4＝3×2﹣2个正方形，
第3个图中有7＝3×3﹣2个正方形，
第4个图中有10＝3×4﹣2个正方形，
…，
∴第n个图中有（3n﹣2）个正方形；
（3）当n＝2021时，3n﹣2＝3×2021﹣2＝6061，
∴第2021个图中有6061个正方形．
点睛:
本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第n个图中有（3n−2）个正方形是解题的关键．
18-3【巩固】 【正确答案】 1、8，11 2、
3、不能，见解析
【试题解析】 分析:
（1）观察如图可直接得出答案；
（2）认真观察题目中给出的图形，结合问题（1），通过分析，即可找到规律，得出答案；
（3）根据问题（2）中总结的规律，列出算式，如果结果是整数，则能够拼出具有以上规律的图形，否则，不能．
解：观察如图可以发现，图②中用了8块白色正方形，在图③中用了11块白色正方形；
故8，11；
解：在图①中，需要白色正方形的块数为；
在图②中，需要白色正方形的块数为；
在图③中，需要白色正方形的块数为；
由此可以发现，第几个图形，需要白色正方形的块数就等于3乘以几，然后加2．
所以，按如图的规律继续铺下去，那么第个图形要用块白色正方形；
故；
解：不能恰好用完2022块白色正方形，理由如下：
假设第个图形恰好能用完2022块白色正方形，则，
解得：，
即不是整数．
点睛:
此题主要考查了列代数式这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过分析、思考，总结出图形变化的规律．
18-4【巩固】 【正确答案】 1、18；22 2、
3、25
【试题解析】 分析:
（1）找规律可以将上字看作有四个端点每次每个端点增加一个，还有两个点在里面不发生变化，据此可得第四、五个上字所需棋子数；
（2）根据（1）中规律即可得；
（3）结合（2）中结论可列方程，解方程即可得．
解：∵第一个“上”字需用棋子枚；
第二个“上”字需用棋子枚；
第三个“上”字需用棋子枚；
∴第四个“上”字需用棋子枚，
第五个“上”字需用棋子枚，
故18，22；
解：由（1）中规律可知，第n个“上”字需用棋子枚，
故；
解：根据题意，得：，
解得：，
答：第25个上字共有102枚棋子．
点睛:
本题主要考查了图形的变化类，关键是从图中特殊的例子推理得出一般的规律，本题的规律是四个端点每次每个端点增加一个，还有两个点在里面不发生变化．
18-5【提升】 【正确答案】 1、15 2、（2a+1）
3、63 4、（264﹣1）
5、（364﹣1）
【试题解析】 分析:
（1）根据前3次的探究可以得出探究4；
（2）根据前4次的探究可以得到（x+1）个金盘移动的次数；
（3）根据前面的探究得出规律，然后得出结论；
（4）根据自主探究得出规律即可；
（5）先把n=2时得出结论，再用相同的方法得出h（3），然后找出规律得出结论．
先用h（3）的方法把较小的3个盘移到2柱（需移动7次），
再将最大盘移到3柱（需移动1次），
最后用h（3）的方法把较小的3个盘从2柱移到3柱（需移动7次），
所以共需要7×2+1＝15次，即h(4)=15，
故15；
由探究二可知，若将1个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要1次，
则将2个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要1×2+1＝3次；
由探究三可知，若将2个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要3次，
则将3个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要3×2+1＝7次；
由探究四可知，若将3个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要7次，
则将4个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要7x2+1＝15次；
故若将x个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要a次，
则将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要（2a+1）次，
故（2a+1）；
h（4）＝15，
h（5）＝2h（4）＝2×15+1＝31，
h（6）＝2h（5）+1＝63，
∴至少需要63次；
h（1）＝1，
h（2）＝3＝22﹣1，
h（3）＝7＝23﹣1，
h（4）＝15＝24﹣1，
.....．
h（64）＝264﹣1，
故264﹣1；
每次只能将盘子向相邻的柱子移动，
故当n＝2时，小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次；
将大盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到1柱，需要1次，
将大盘移到3柱，需要1次，将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次；
所以两个盘子需要了8次，
故h（2）＝8；
按照相同的思路可得：h（3）＝26；
∵h（2）＝8＝32﹣1，
h（3）＝26＝33﹣1，
∴h（64）＝364﹣1．
故（364﹣1）．
点睛:
本题考查数字变化类、列代数式，关键是根据已知方法总结出移动的规律．
18-6【提升】 【正确答案】 1、66 2、56
3、1179

【试题解析】 分析:
（1）计算第11层小圆圈的个数，就是计算1加到11的数的和；
（2）首先计算10层圆圈的个数，可得第11层第1个数；
（3）首先计算圆圈的个数，把所有数的绝对值相加即可．
解：当小圆圈有11层时，共有：1+2+3+…+11==66个圆圈；
故66；
当有10层时，共有：1+2+3+…+10==55个圆圈
则第11层最左边圆图的数是56，
故56；
当小圆圈有11层时，共有66个圆圈，故圆圈里的数为，其中23个负数，1个0，42个正数，
∴图④所有圆圈中各数的绝对值之和：

=
=
=1179
点睛:
此题主要考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
19-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据正切的定义表示出，，结合列出方程，解之即可．
详解:
解：由题意可得：，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，又，
∴，
解得：，
即旗杆顶端到地面高度为．
点睛:
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念和锐角三角函数定义是解题的关键．
19-2【基础】 【正确答案】 约400米
【试题解析】 分析:
作于点H，则，利用同角的余角的性质得到，利用代入数值即可得到答案．
详解:
解：作于点H，则，

在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（米），
答：公路桥梁AB的长约为400米．
点睛:
此题考查了解直角三角形的应用，数形结合和准确计算是解题的关键．
19-3【巩固】 【正确答案】 米．
【试题解析】 分析:
由题意得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
详解:
解：如图：

由题意得：，，，
在中，BQ=1200米，
∴（米），
（米），
∵米，
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
∴A、B两点之间的距离约为米．
点睛:
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19-4【巩固】 【正确答案】 米
【试题解析】 分析:
延长交于点F，根据，坡比为求出，结合余玄直接求解即可得到答案；
详解:
解：延长交于点F，如图所示，

∵，坡比为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
答：拉绳的长度为：米；
点睛:
本题考查解直角三角形应用及坡比问题，解题的关键是根据坡比求出．
19-5【提升】 【正确答案】 1、30° 2、点F下落的高度约为40.3cm
【试题解析】 分析:
（1）延长FE交l于点O，分别过点D、C作，垂足为M、N，先证明四边形CDM N是平行四边形得到DM = CN，MN=CD=22cm，再证明Rt△ADM≌Rt△BCN，求得AM = BN=4cm，最后在Rt△ADM中，由cos∠DAM = 求得∠DAM≈80°，从而求出结果；
（2）如图2中，分别过点E、F作直线l的垂线段EG、FH，先求得四边形PEGH是平行四边形，FH⊥PE，∠FEP=∠AOE=30°，求出FH=FP+PH≈40+7.84= 47.84 cm，再在如图3中，过点E作EQ⊥l于点Q，由Rt△AEQ，AE = 8cm，求得 = 7.52cm，进而求出点F下落的高度．
解：延长FE交l于点O，分别过点D、C作，垂足为M、N，如图1所示，则，∠AMD=∠BNC = 90°，，

CD//AB，
四边形CDM N是平行四边形，
DM = CN，MN=CD=22cm，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，

Rt△ADM≌Rt△BCN，
AM = BN=4 (cm)，
在Rt△ADM中，
cos∠DAM = ，
∠DAM≈80°，
∠AOE= 180°-∠AEO-∠DAM=30°，
即FE与水平桌面l的夹角约为30°；
如图2中，分别过点E、F作直线l的垂线段EG、FH， FH交过点E的水平线于点P，则∠EGH =∠FHG = 90°，EG//FH

PE//l，
四边形PEGH是平行四边形，FH⊥PE，∠FEP=∠AOE=30°，
PH = EG，
3AE = 24cm，
AE = 8cm，
在Rt△AEG中，∠EAG = 80° ，
(cm)，
PH = EG = 7.84cm，
在Rt△EFP中，EF= 80cm，∠FEP= 30°，
FP=EF= 40cm，
FH=FP+PH≈40+7.84= 47.84 (cm)
如图3中，过点E作EQ⊥l于点Q，

EF//l，
∠EAQ=∠FED= 70°，
在Rt△AEQ中，AE = 8cm，
= 7.52 (cm)
FH- EQ≈47.84- 7.52 = 40.32≈40.3 (cm)
即此时点F下落的高度约为40.3cm．
点睛:
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等直角三角形的判定和性质、直角三角函数以及平行线的性质等，作出辅助线构造直角三角形三角函数求出线段长是解题的关键．
19-6【提升】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）过点作于，过点作于，解，得出，进而得出，根据图示数据即可求解；
（2）设，则，，，根据勾股定理得出，解方程即可求解．
解：如图，过点作于，过点作于，则，

，
，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
由旋转一定角度后得到可知：旋转角度为，即，，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
；
设，则，，，
，
，
，
解得，或舍，
．
点睛:
本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
20-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据切线的性质可知，根据三角形外角的性质可求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可．
详解:
解：如图，连接，

∵C是圆O的切点，是圆O的半径，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
点睛:
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
20-2【基础】 【正确答案】 1、见解析 2、见解析
【试题解析】 分析:
（1）连接，由切线的性质，得到，由圆周角定理推出，得到，即可证明；
（2）由平行线的性质，等腰三角形的性质推出，得到，而，即可证明．
证明：连接，

∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵切半圆于C，
∴，
∴；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
点睛:
本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质定理，圆周角定理是解题的关键．
20-3【巩固】 【正确答案】 1、见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）由三角形的中位线定理得到，由切线的性质得到，据此即可证明；
（2）连接，证明，推出，结合已知得到，，再根据勾股定理即可求解．
证明：如图1，连接，

∵点是的中点，点是的中点，
∴，
∵为的切线，点E在上，
∴，
∴；
解：如图2，连接，

∵是的直径，
∴，
∵点是的中点，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，，
在中，．
点睛:
本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20-4【巩固】 【正确答案】 1、
2、见解析
【试题解析】 分析:
（1）连接，由题意可得，则，由垂径定理可知，可得，再由圆周角定理可得；
（2）由的切线性质可知，，可得，可知，由题意可得，，根据圆周角定理可得，证得，即可证得，可得．
解：连接，

∵，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
由圆周角定理可得：；
证明：∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
由圆周角定理可得：，
∴，
在与中，，
∴，
∴．
点睛:
本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
20-5【提升】 【正确答案】 1、见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）连接BD，由AB为半圆O的直径，得∠ADB＝90°，从而有∠C＝∠ABD，再根据等弧所对的圆周角相等得出∠ABD＝∠EAF即可；
（2）易证△ABD≌△FBD，可得AB＝BF＝3，由勾股定理求出AE的长，再通过证明△AEF∽△CBA，利用对应边成比例可求出BC的长．
证明：连接，
为半圆的直径，
，
为切线，
，
，，
∴，
，
，
；
解：，
，
在和中，
，
，
，
，，
∴，
．
在中，由勾股定理得，
由（1）知，
，
，
，
．
点睛:
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质，求出AB的长是解决问题的关键．
20-6【提升】 【正确答案】 1、
2、见解析
【试题解析】 分析:
（1）设交于点，根据是是半圆的直径，平行于弦．得出，则，根据题意得出，进而根据，即可求解；
（2）先判定，然后根据切线的判定和性质以及平行线分线段成比例，可得，从而得到，即可得答案．
解：∵是是半圆的直径，
∴，
∵平行于弦．
∴
如图，设交于点，

∴，
∵，
∴
即
∴
解：连接，如图所示，


，
，
，
，
，，
，
，
是的半径，是的切线，
，
，
，
，
是的切线，
过作的切线，交的延长线于点，则，

，，
，
，
在中，，
，，
、是的切线，
，
，
在中，，
，
、是的切线，
， ，
，
．
点睛:
本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，垂径定理，三角形的全等，切线的判定和性质以及平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用切线的判定和性质以及平行线分线段成比例等知识．
21-1【基础】 【正确答案】 1、统计图见解析，乙分厂的扇形统计图中B等级对应的扇形圆心角的度数为
2、甲分厂抽取的20名青工成绩的中位数在等级；乙分厂抽取的20名青工成绩的中位数在等级
3、甲分厂的优秀率为，乙分厂的优秀率为，全厂的优秀率为
【试题解析】 分析:
（1）用20减去其他等级的人数得出等级的人数，然后补全统计图，用乘以等级的占比即可求解；
（2）根据中位数的定义分析即可求解；
（3）根据题意分别求得甲、乙两个分厂的优秀率，然后根据样本的优秀率估算总体的优秀率即可求解．
解：甲分厂，等级的人数为：；
补全甲分厂的条形统计图，如图，

乙分厂的扇形统计图中等级对应的扇形圆心角的度数为
解：甲分厂抽取的20名青工成绩的中位数为第11个与第10个数的平均数，
∵1+3+5=9,1+3+5+6=15，
∴甲分厂抽取的20名青工成绩的中位数在等级；
乙分厂抽取的20名青工成绩的中位数在等级；
甲分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率：，
乙分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为：
全厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为：
点睛:
本题考查了补全条形统计图，求扇形统计图的圆心角的定义，中位数的定义，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．
21-2【基础】 【正确答案】 1、50，图见解析； 2、良好； 3、人．
【试题解析】 分析:
（1）从两个统计图中可知“基本合格”的有人，占调查人数的，根据公式：频率=频数总数，可求出调查人数，进而求出“合格”人数，补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的意义，可得到中位数是什么等级；
（3）求出样本中“优秀”所占的百分比，即可估计总体中“优秀”的百分比，进而求出相应的人数．
解：根据题意，抽取的总人数为（人），
测试成绩合格的学生人数为：=50（人）．
补全频数分布直方图如下：
解：将名学生的测试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都位于，
这次测试成绩的中位数是良好．
解：（人），
该校估计获得优秀的学生有300人．
答：该校名学生中，获得优秀的学生有人．
点睛:
本题考查频数分布直方图，中位数、理解中位数的意义，掌握频率计算公式是解决问题的关键．
21-3【巩固】 【正确答案】 1、117 2、见解析
3、B 4、30人
【试题解析】 分析:
（1）先根据等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得等级人数，继而用乘以等级人数所占比例即可得；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）根据中位数的定义求解可得；
（4）总人数乘以样本中等级人数所占比例可得．
解：总人数为人，
等级人数为人，
则对应的扇形的圆心角是，
故117；
补全条形图如下：
因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在等级，
所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在等级，
故．
估计足球运球测试成绩达到级的学生有人．
点睛:
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21-4【巩固】 【正确答案】 1、
2、C 3、名学生
【试题解析】 分析:
（1）通过圆心角占的分数得到A组占总体的份数，从而求出总人数，再结合条形统计图求出a
（2）中位数即排好序后最中间的数，偶数个数时取中间两个平均数；
（3）先求总人数，再按百分比求出优秀人数
A组圆心角为，占比为，又A组为6人，
∴
则
样本容量为40，则中位数应该是排序后第20和21个数据的平均数，A组6人，B组12人，C组12 人，因而第20和第21个数都在C组，所以平均数仍在C组.中位数在C组.
由抽取的样本容量占八年级总学生数的，先算出八年级总学生数为名，优秀等级为D组，样本中有10人，在样本中占，所以用样本估计总体，可推算出八年级整体获优秀等级的人数为名学生.
点睛:
本题考查条形统计图的补充、扇形统计图圆心角的应用、用样本推算总体，掌握这些是本题关键．
21-5【提升】 【正确答案】 1、四或0.15或250或72°
2、3 3、8.8元
【试题解析】 分析:
（1）用1减去其余七个小组的频率得到n值为0.15；用第一组的频数与频率求出这次随机抽查总人数为1000人，用总人数1000乘0.25求出m值为250人；用1000乘n值0.15得到第二组人数为150人，根据前三组人数和与前四组人数和推出中位数落在第四组；
（2）前五组人数和超过80%，w值确定在第五组最高值3吨；
（3）总水费等于除以总人数1000得到人均水费，总水费为4元/吨的部分总水费与10元/吨的部分总水费的和，每部分总水费等于水总吨数乘以单价，每部分水总吨数等于各组人均吨数乘以人数．
n=1-(0.1+0.2+0.25+0.15+0.05+0.05+0.05)=0.15，
（人），
（人）
，
（人），
∵100+150+200=450<500，100+150+200+250=700>501，
∴第500与第501个数在第四组，中位数落在第四组；
故答案为，四；0.15；250；72°；
∵0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85=85%>80%，
∴为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为3吨；
（元）．
答：估计该市居民3月份的人均水费为8.8元．
点睛:
本题考查了阶梯计费，频数与频率，中位数，熟练掌握分段阶梯计费意义，超出部分意义，频数与频率的定义中位数定义和算法，是解决此类问题的关键．
21-6【提升】 【正确答案】 1、①；②，理由见解析
2、人，理由见解析
3、八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小
【试题解析】 分析:
（1）①先算出总数后，再利用即可求出则的频数；
②因为一共个数据，根据中位数是第和个数据的平均数即可得出答案；
（2）求出样本中身高若身高低于的人数所占的百分比，即可估计该校七年级身高偏矮的人数．
（3）根据方差的定义即可得出答案．
①总数，
则的频数．
故18
②因为一共个数据，中位数是第和个数据的平均数，而第和个数据在的范围内，所以样本的中位数在的范围内；
故；
；
故估计该校七年级身高偏矮的共有人．
八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小．
点睛:
本题主要考查了统计表、中位数、方差以及利用样本估计总体等有关知识，属于常考题型，读懂统计图是关键．
22-1【基础】 【正确答案】 1、见解析 2、
3、
【试题解析】 分析:
（1）根据，，可得，从而证明结论；
（2）根据，得，代入计算即可；
（3）由直角三角形斜边上中线的性质得，再运用勾股定理得，由，求得，再证明，从而解决问题．
证明：，

又，
，
，
平分；
解：，
，
，，
，解得
故；
解：，点为的中点，，
，，
，
，
，
，
，解得，
由（1）知，
，
，
，
，
，
．
点睛:
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，运用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
22-2【基础】 【正确答案】 1、见解析 2、见解析
3、
【试题解析】 分析:
（1）根据同角的余角相等得到，证明；
（2）过点B作交的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；
（3）证明，根据相似三角形的性质求出，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可．
证明：∵
∴．
∵
∴
∴
因为
∴
证明：如图①，过点B作交的延长线于H

∵
∴
∴
∴
由（1）可知，
∴
在和中

∴（AAS）
∴
∴
解：在中，，，
则，
设，则
在中，
则
∵，
∴
∴，即
解得：，（舍去）
∵，
∴
∴
点睛:
本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判断定理是解题的关键．
22-3【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析 2、①；②
【试题解析】 分析:
（1）根据等量替换和即可证明；
（2）①当平分时，证明，得出，再证明即可求出；
②连接，由（2）①知，证明四边形为平行四边形，证明 ，根据三角函数值相等，求出，再根据相似求出，设，，代入相似比即可解得．
，

，
，
，
；
①当平分时，




，
，
，
，
，
点为的黄金分割点，
即，
．
，，
，
，
；
②连接，由（2）①知

而，


，
四边形为平行四边形，
，


，

即




设，，

由（1）知
而
，

即，
整理得
而，
故
．

点睛:
此题考查了三角形相似、三角形全等，解题的关键是熟悉三角形相似证明和性质、三角形全等的证明．
22-4【巩固】 【正确答案】 1、见解析 2、①见解析；②
【试题解析】 分析:
（1）根据，可得，可证明，可得，再由三角形内角定理，即可；
（2）①根据等腰三角形的性质可得，可证明，从而得到，即可；②连接，由（1）得，可得，由①，得，可得，，可证明，从而得到，再由锐角三角函数，即可求解．
证明：∵，
∴，即．
又，，
∴，
∴．
在和中，，，
∴，即；
解：①∵和都是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
又，
∴；
②如图，连接，

由（1）得，
∴．
由①，得，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，即，
又是等腰直角三角形，
∴，
∴．
点睛:
本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22-5【提升】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
3、证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）如图（见解析），先根据矩形的性质、直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，作于，则，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案；
（3）连接，先根据矩形的性质、等腰三角形的三线合一可得，作于，则，，则，从而可得，根据线段和差可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，然后根据等量代换即可得证．
证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
解：，，
，
①，
如图2，作于，

，，
，
又是中点，
②，
由（1）可知，，
，
③，
由①②③得：，即，
又，
．
证明：如图，连接，
矩形中，是对角线的中点，
，
，
（等腰三角形的三线合一），
作于，则，，
，
，
，
，即，
又，
，
，
．

点睛:
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
22-6【提升】 【正确答案】 1、四边形是平行四边形，理由见解析
2、①；②
【试题解析】 分析:
（1）如图1，过作交于，则四边形是平行四边形，，证明，则，，进而可证四边形是平行四边形；
（2）①如图2，取线段中点，连接，是的中位线，则，，，，根据所对的直角边等于斜边的一半，求的值即可；②设，则，，，在中，由勾股定理得，则，证明，则，即，整理得，计算求解满足要求的值即可．
解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图1，过作交于，

∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
①解：如图2，取线段中点，连接，

∵是的中线，
∴为线段的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
②解：设，则，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，整理得，
解得，（不合题意，舍去），
∴的为．
点睛:
本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23-1【基础】 【正确答案】 1、y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）
2、能飞越，理由见解析
3、8.1米
【试题解析】 分析:
（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可；
（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案；
解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．
把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．
解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．
∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．
解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）．
把（30，3）代入，得3＝30k，
∴k＝．
故直线OA的解析式为y＝x．
设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）．
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）．
∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．
∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．
答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．
点睛:
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23-2【基础】 【正确答案】 （1）水流喷出的最大高度是米，此时的水平距离为米；（2）花盆需至少离喷水装置米外，才不会被喷出的水流击中.
【试题解析】 分析:
（1）把二次函数的一般式转化为顶点式，根据顶点坐标即可求出结果．
（2）根据题意可令y=0求出x的值，即可得到结论．
详解:
解：（1）
该二次函数图象的顶点坐标为
水流喷出的最大高度是米，此时的水平距离为米
（2）令，则
解得或
花盆需至少离喷水装置米外，才不会被喷出的水流击中．
点睛:
本题主要考查了二次函数的应用,准确理解题意,掌握一般式与顶点式之间的转化是解题的关键．
23-3【巩固】 【正确答案】 1、①；②
2、能超过点，理由见解析
【试题解析】 分析:
（1）①根据起跳台的高度为，即可得，由，，知，根据基准点到起跳台的水平距离为，即得基准点的高度为；②运动员落地点要超过点，即是时，，故，即可解得答案；
（2）运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，即是抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点．
解：①起跳台的高度为，
，
把代入得：
，
，，
，
基准点到起跳台的水平距离为，
，
基准点的高度为；
②，
，
运动员落地点要超过点，
时，，
即，
解得，
故；
他的落地点能超过点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，
抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
，
他的落地点能超过点．
点睛:
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
23-4【巩固】 【正确答案】 1、，点B处不能被水喷到
2、须将A处的喷水口向上竖直提高米
3、水柱能越过这棵树
【试题解析】 分析:
（1）根据解直角三角形求出的长度，即点的坐标可得，将之代入二次函数解析式即可得出c的值，将c的值与相比较即可判断斜坡上点B处能否被水喷到；
（2）根据c的值与可得须将A处的喷水口向上竖直提高多少米；
（3）根据题意可得，根据相似三角形的性质得出，求出时的值，进而得出结论．
解：∵斜坡长米，坡角为，
∴，，
即点，
将点代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∵，
∴点B处不能被水喷到；
若要使喷出的水正好落在B处，需要将抛物线向上平移米，
即须将A处的喷水口向上竖直提高米；
由（1）得抛物线的解析式为，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
令，
∴，
∵，
∴水柱能越过这棵树．
点睛:
本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识点解题是关键．
23-5【提升】 【正确答案】 1、
2、
3、米
【试题解析】 分析:
（1）由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标，故设抛物线解析式为，将代入得，求值，进而可得在第一象限内的抛物线解析式；
（2）当时，，解得：，，由二次函数的图象与性质确定的取值范围即可；
（3）由题意知，，，设平行于直线且与抛物线只有一个交点的直线的解析式为，则联立方程，整理得，，令，解得，即直线的解析式为，如图，记直线与轴的交点为，则，则，根据光线与抛物线水流之间的最小垂直距离是直线到直线的距离，即为，计算求解即可．
解：由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标，故设抛物线解析式为，
将代入得，
解得，，
在第一象限内的抛物线解析式为；
解：当时，，
解得：，，
的取值范围是；
解：由题意知，，，
设平行于直线且与抛物线只有一个交点的直线的解析式为，
则联立方程，即，整理得，，
令，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，记直线与轴的交点为，则，

∴，
∵，
∴直线到直线的距离为，
∵光线与抛物线水流之间的最小垂直距离是直线到直线的距离，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为．
点睛:
本题主要考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数综合，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23-6【提升】 【正确答案】 （1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm
【试题解析】 分析:
（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；
（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为cm，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
详解:
解：(1)∵s2=4h(H-h)，
∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，
∴当h=10时，s2有最大值400，
∴当h=10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
故最大射程是20cm.
(2) ∵s2=4h(20-h)，
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a(20-a)=4b(20-b)，
∴20a-a2=20b-b2，
∴a2-b2=20a-20b，
∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，
∴(a-b)(a+b-20)=0，
∴a-b=0或a+b-20=0，
∴a=b或a+b=20.
故a=b或a+b=20.
(3)设垫高的高度为cm，则
∴当时，
∴时，此时
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
故垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.
点睛:
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．