湖南省新高考2023届高三数学专项突破模拟题库（二模）含解析

这是一份湖南省新高考2023届高三数学专项突破模拟题库（二模）含解析，共115页。
湖南省新高考2023届高三数学专项突破模拟题库（二模）
【原卷 1 题】 知识点 交集的概念及运算,解不含参数的一元二次不等式

【正确答案】
C
【试题解析】


1-1（基础） 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-2（基础） 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-3（巩固） 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-4（巩固） 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 C

1-5（提升） 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

1-6（提升） 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

【原卷 2 题】 知识点 复数的除法运算,判断复数对应的点所在的象限,共轭复数的概念及计算

【正确答案】
A
【试题解析】


2-1（基础） 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【正确答案】 C

2-2（基础） 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【正确答案】 A

2-3（巩固） 已知i为虚数单位，复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【正确答案】 D

2-4（巩固） 已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【正确答案】 C

2-5（提升） 若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

2-6（提升） 若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（　　）
A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣2
【正确答案】 B

【原卷 3 题】 知识点 数量积的运算律,求投影向量

【正确答案】
C
【试题解析】


3-1（基础） 已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-2（基础） 已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

3-3（巩固） 已知向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

3-4（巩固） 设非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-5（提升） 在中，，若，则向量在上的投影是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-6（提升） 已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 4 题】 知识点 已知切线（斜率）求参数,基本初等函数的导数公式,导数的运算法则

【正确答案】
B
【试题解析】


4-1（基础） 已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（ ）
A. B. C.0 D.1
【正确答案】 C

4-2（基础） 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

4-3（巩固） 设曲线在点处的切线与直线垂直，则a等于（ ）
A. B. C.1 D.－1
【正确答案】 A

4-4（巩固） 曲线在点处的切线垂直于直线，则（ ）
A.1 B. C. D.
【正确答案】 D

4-5（提升） 若曲线在处的切线方程为，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
【正确答案】 D

4-6（提升） 已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

【原卷 5 题】 知识点 求等差数列前n项和的最值,等比数列的简单应用

【正确答案】
B
【试题解析】


5-1（基础） 已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【正确答案】 B

5-2（基础） 设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
【正确答案】 C

5-3（巩固） 在等比数列中，()，且，，数列的前项和为，则当最大时，的值等于（ ）
A. B.或 C.或 D.
【正确答案】 B

5-4（巩固） 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ）
A.3 B.6 C.4或5 D.6或7
【正确答案】 C

5-5（提升） 若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
【正确答案】 D

5-6（提升） 对于数列，定义为的“优值”．现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.的最小值为
【正确答案】 B

【原卷 6 题】 知识点 球的表面积的有关计算,证明线面垂直,多面体与球体内切外接问题

【正确答案】
D
【试题解析】


6-1（基础） 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（ ）
A.30 B. C. D.
【正确答案】 D

6-2（基础） 《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若四棱锥为阳马，垂直于平面，四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

6-3（巩固） 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形中，， 将沿进行翻折， 使得． 按张衡的结论， 三棱锥外接球的表面积约为（ ）
A.72 B. C. D.
【正确答案】 B

6-4（巩固） 中国的折纸艺术历史悠久，一个同学在手工课时，取了一张长方形纸，长边为，短边为2，如图分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几何体，则该几何体的外接球表面积是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 A

6-5（提升） 中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 D

6-6（提升） “阿基米德多面体”被称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知正方体边长为6，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 7 题】 知识点 比较指数幂的大小,用导数判断或证明已知函数的单调性,比较对数式的大小

【正确答案】
A
【试题解析】


7-1（基础） 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

7-2（基础） 已知,则( )
A. B. C. D.
【正确答案】 A

7-3（巩固） 设，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

7-4（巩固） 已知，则之间的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 B

7-5（提升） 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

7-6（提升） 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

【原卷 8 题】 知识点 求点到直线的距离,圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）

【正确答案】
D
【试题解析】


8-1（基础） 已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.2
【正确答案】 A

8-2（基础） 已知半径为的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

8-3（巩固） 设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

8-4（巩固） 设曲线在点处的切线为l，P为l上一点，Q为圆上一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

8-5（提升） 设P，Q分别为圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

8-6（提升） 已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
【正确答案】 C

【原卷 9 题】 知识点 独立事件的判断,总体百分位数的估计,相关关系与函数关系的概念及辨析,求指定项的系数

【正确答案】
A C D
【试题解析】


9-1（基础） 下列说法中正确的是（ ）
A.若数据的方差为0，则此组数据的众数唯一
B.已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6
C.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大
D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
【正确答案】 AD

9-2（基础） 某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集的自2016年至2020年共5年的借阅数据如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
年借阅量（万册）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据上表，可得关于的回归直线方程为，下列结论正确的有（ ）
A.
B.4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7
C.与的相关系数
D.2023年的借阅量一定为6.6万册
【正确答案】 ABC

9-3（巩固） 下列说法中正确的是（ ）
A.某射击运动员进行射击训练，其中一组训练共射击九次，射击的环数分别为 则这组射击训练数据的70分位数为
B.已知随机变量服从，若，则
C.在经验回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1
D.用模型拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，若通过这样的变换后，所得到经验回归方程为，则
【正确答案】 ABD

9-4（巩固） 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）
A.数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是2
B.若事件、的概率满足，且，则、相互独立
C.由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断，独立
D.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
【正确答案】 BD

9-5（提升） 下列结论正确的有（ ）
A.若随机变量，满足，则
B.若随机变量，且，则
C.若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44．48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则
【正确答案】 BC

9-6（提升） 以下说法正确的是（ ）
A.89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95
B.具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点
C.相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
D.已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥
【正确答案】 ACD

【原卷 10 题】 知识点 数量积的运算律,锥体体积的有关计算,由平面的基本性质作截面图形,证明线面平行

【正确答案】
A C
【试题解析】


10-1（基础） 如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）

A. B.该几何体外接球的体积为
C.若为中点，则平面 D.的最小值为
【正确答案】 ACD

10-2（基础） 正方体的棱长为，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（ ）

A.与是异面直线
B.平面平面
C.存在点使得
D.当为线段中点时，过、，三点的平面截此正方体所得截面的面积为
【正确答案】 BD

10-3（巩固） 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，为棱上的一动点，且，则下列说法正确的是（ ）

A.
B.三棱锥的体积为定值
C.
D.异面直线与所成角的余弦值为
【正确答案】 ABD

10-4（巩固） 如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）

A.若直线与平面平行，则三棱锥的体积为
B.若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直
C.若，则的最小值为
D.若，则的最大值为
【正确答案】 ABC

10-5（提升） 在平面四边形ABCD中，，AD＝CD＝2，AB＝1，，沿AC将折起，使得点B到达点的位置，得到三棱锥．则下列说法正确的是（ ）

A.三棱锥体积的最大值为
B.为定值
C.直线AC与所成角的余弦值的取值范围为
D.对任意点，线段AD上必存在点N，使得
【正确答案】 ABD

10-6（提升） 在直四棱柱中中，底面为菱形，为中点，点满足.下列结论正确的是（ ）

A.若，则四面体的体积为定值
B.若平面，则的最小值为
C.若的外心为，则为定值2
D.若，则点的轨迹长度为
【正确答案】 ABD

【原卷 11 题】 知识点 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题,求双曲线的离心率或离心率的取值范围,求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,求弦中点所在的直线方程或斜率

【正确答案】
A D
【试题解析】


11-1（基础） 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A.的面积为 B.点的横坐标为2或
C.的渐近线方程为 D.以线段为直径的圆的方程为
【正确答案】 AB

11-2（基础） 已知双曲线的左右焦点分别为，点与位于双曲线右支上的关于y轴对称，点与关于x轴对称，，M为双曲线上一动点（不与重合），且直线与的斜率均存在，则（ ）
A.
B.
C.四边形的面积为
D.直线与的斜率之积为3
【正确答案】 ACD

11-3（巩固） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴交于点，交双曲线右支于点，且，下列选项正确的有（ ）
A.
B.双曲线渐近线的方程为
C.
D.的内切圆半径是
【正确答案】 ABD

11-4（巩固） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的渐近线方程为 B.
C.的面积为 D.
【正确答案】 AB

11-5（提升） 已知双曲线与椭圆的焦点相同，双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点.若，则下列说法正确的有（     ）
A.双曲线的渐近线方程为
B.过点存在两条直线与双曲线有且仅有一个交点
C.点在变化过程中，面积的取值范围是
D.若，则的内切圆面积为
【正确答案】 AC

11-6（提升） 已知双曲线（）的左、右焦点分别为，直线交双曲线于两点，点为上一动点记直线的斜率分别为， 若，且到的渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的离心率为
B.过右焦点的直线与双曲线相交两点，线段长度的最小值为4
C.若的角平分线与轴交点为，则
D.若双曲线在处的切线与两渐近线交于两点，则
【正确答案】 ACD

【原卷 12 题】 知识点 判断证明抽象函数的周期性,判断或证明函数的对称性,简单复合函数的导数

【正确答案】
A B D
【试题解析】


12-1（基础） 设定义在上的函数的导函数分别为，若，且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.的图象关于对称
C. D.函数为周期函数，且周期为8
【正确答案】 AD

12-2（基础） 已知函数及其导函数的定义域均为．，，当时，，，则（ ）
A.的图象关于对称
B.为偶函数
C.
D.不等式的解集为
【正确答案】 BCD

12-3（巩固） 已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A.函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
B.g(2023)＝2
C.
D.若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点
【正确答案】 ACD

12-4（巩固） 已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A.函数为偶函数 B.函数的图像关于点对称
C. D.
【正确答案】 ACD

12-5（提升） 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（ ）
A.
B.函数的图象关于点对称
C.函数的周期为2
D.
【正确答案】 ABD

12-6（提升） 已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，，且为偶函数，则（ ）
A. B.函数的图象关于直线对称
C.函数的图象关于直线对称 D.
【正确答案】 ABC

【原卷 13 题】 知识点 利用全概率公式求概率

【正确答案】

【试题解析】


13-1（基础） 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______.
【正确答案】 5%

13-2（基础） 现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________.
【正确答案】

13-3（巩固） 已知某产品的一类部件由供应商和提供，占比分别为和，供应商提供的部件的良品率为，若该部件的总体良品率为，则供应商提供的部件的良品率为__________．
【正确答案】

13-4（巩固） 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，则取出的全是红球的概率为________________.
【正确答案】

13-5（提升） 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________.
【正确答案】

13-6（提升） 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______．
【正确答案】

【原卷 14 题】 知识点 利用正弦型函数的单调性求参数,二倍角的余弦公式,辅助角公式

【正确答案】
2
【试题解析】


14-1（基础） 已知函数的图象关于点对称，且在区间单调，则的一个取值是______.
【正确答案】 或或或（写出其中一个即可）.

14-2（基础） 已知函数，若，，且函数在上单调，则实数的值______．
【正确答案】 或0.5

14-3（巩固） 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围______．
【正确答案】

14-4（巩固） 已知函数的图象经过点，若在区间上单调递增，则ω的取值范围是___________.
【正确答案】

14-5（提升） 已知函数，若有且只有一个整数，使得在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【正确答案】

14-6（提升） 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是______.
【正确答案】

【原卷 15 题】 知识点 根据抛物线上的点求标准方程,与抛物线焦点弦有关的几何性质,根据韦达定理求参数

【正确答案】
4
【试题解析】


15-1（基础） 设抛物线，过焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，满足，过点A作抛物线准线的垂线，垂足记为点，准线交x轴于点C，若四边形的面积，则p＝______.
【正确答案】

15-2（基础） 已知抛物线的焦点为，过且斜率为直线与抛物线在第一象限交于点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若的面积为，则______.
【正确答案】

15-3（巩固） 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则______.
【正确答案】

15-4（巩固） 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为D，E，若，则p=______．
【正确答案】 2

15-5（提升） 在平面直角坐标系中，设点是抛物线上的一点，以抛物线的焦点为圆心、以为半径的圆交抛物线的准线于两点，记，若，且的面积为，则实数的值为_______
【正确答案】

15-6（提升） 已知A，B，C，D为抛物线上不同的四点，直线AB，CD交于点，直线AD经过E的焦点F，若直线AD的斜率为直线BC斜率的4倍，则______．
【正确答案】 2

【原卷 16 题】 知识点 函数单调性、极值与最值的综合应用,利用导数研究能成立问题

【正确答案】

【试题解析】


16-1（基础） 若关于的不等式有解，则的取值范围是__________.（其中）
【正确答案】

16-2（基础） 函数，若存在使得，则实数的取值范围是______．
【正确答案】

16-3（巩固） 已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是________ ．
【正确答案】

16-4（巩固） 已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为__________.
【正确答案】

16-5（提升） 已知函数，若存在唯一整数，使得成立，则实数a的取值范围为______．
【正确答案】

16-6（提升） 已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数a的取值范围为__________．
【正确答案】

【原卷 17 题】 知识点 三角恒等变换的化简问题,正弦定理解三角形,余弦定理解三角形,基本不等式求和的最小值

【正确答案】

【试题解析】


17-1（基础） 在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，．
1、证明：；
2、求的最小值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、5

17-2（基础） 已知的内角的对边分别为，，，，且．
1、求的大小；
2、若的平分线交于点，且，求的取值范围．
【正确答案】 1、
2、

17-3（巩固） 已知锐角的内角的对边分别为边上的高为1，且.
1、求证：；
2、求的最小值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

17-4（巩固） 在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）.

17-5（提升） 已知的内角所对边分别为，且
1、证明：；
2、求的最大值.
【正确答案】 1、证明见解析； 2、

17-6（提升） 记的内角，，的对边分别为，，．已知．
1、求的值：
2、求的最大值．
【正确答案】 1、
2、

【原卷 18 题】 知识点 由递推关系式求通项公式,错位相减法求和,数列不等式恒成立问题

【正确答案】

【试题解析】


18-1（基础） 已知数列满足，且.
1、求的通项公式；
2、设，数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数λ的取值范围.
【正确答案】 1、
2、

18-2（基础） 已知数列的前项和为，若，且，．
1、求数列的通项公式；
2、若数列满足，若的前项和恒成立，求整数的最小值．
【正确答案】 1、
2、2

18-3（巩固） 数列满足.
1、求的通项公式；
2、设，数列的前n项和为.若对于任意正整数n，均有恒成立，求m的最小值.
【正确答案】 1、；
2、

18-4（巩固） 已知数列的前n项和为，，且，数列满足，，，都有．
1、求数列、的通项公式；
2、设，，恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】 1、，
2、

18-5（提升） 在数列中，，.
1、求数列的通项公式；
2、已知数列的前n项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【正确答案】 1、
2、

18-6（提升） 已知数列满足，且．
1、求数列的通项公式；
2、设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】 1、
2、

【原卷 19 题】 知识点 证明线面垂直,面面角的向量求法

【正确答案】

【试题解析】


19-1（基础） 如图，在直三棱柱中，二面角的大小为，且，．

1、求证：平面；
2、若是棱的中点，求二面角的余弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-2（基础） 在三棱锥中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面底面ABC，，，点E在线段SB上，且．

1、证明：平面ACE；
2、求二面角的正弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-3（巩固） 如图，在直五棱柱中，底面由一个矩形与一个组成，，，，为侧棱的中点．

1、求证：平面；
2、求二面角的余弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-4（巩固） 如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．

1、求证：BC⊥平面ACD；
2、求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-5（提升） 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，，E为BC上一点，F为DE的中点，且三棱锥P-CDE与四棱锥P-ABED的体积比为1:3．

1、证明：DE⊥平面PAF；
2、若PE与平面ABCD所成角为，求二面角A-PB-F的余弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-6（提升） 如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.

1、求证：平面；
2、若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

【原卷 20 题】知识点 计算古典概型问题的概率,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,排列组合综合

【正确答案】

【试题解析】


20-1（基础） 为调查，两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物和只服用药物的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
康复时间
只服用药物
只服用药物
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
假设用频率估计概率，且只服用药物和只服用药物的患者是否康复相互独立．
1、若一名患者只服用药物治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
2、从样本中只服用药物和只服用药物的患者中各随机抽取1人，以表示这2人中能在7天内康复的人数，求的分布列和数学期望：
【正确答案】 1、 2、分布列见解析，1

20-2（基础） 某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负. 并规定如下：
①一个人摸球，另一人不摸球；
②摸球的人摸出的球后不放回；
③摸球的人先从袋子中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和 .
1、若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；
2、若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望；
【正确答案】 1、 2、分布列见解析，

20-3（巩固） 在节日里为了促销各大商场八仙过海各显神通，推出了花样繁多的促销活动，某大超市为了拉升节日的喜庆气氛和提升销售业绩，举行了购物抽奖促销活动，购物满500元可获得一次抽奖机会，抽奖方法如下：在盒子里放着除颜色外其他均相同的5个小球（红球和黑球各1个，白球3个），不放回地摸球，每次摸1球，摸到黑球就停止摸奖，摸到红球奖励40元，摸到白球奖励10元，摸到黑球不奖励．
1、求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
2、记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列及数学期望．
【正确答案】 1、 2、分布列见解析，35

20-4（巩固） 现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．
1、求取到的白球数不少于2个的概率；
2、设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．
【正确答案】 1、 2、

20-5（提升） 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么.但有些经营者用盲盒清库存，损害消费者合法权益，扰乱市场.2022年7月26日，《上海市消费者权益保护条例》对盲盒等随机销售经营行为作出规范，明确经营者采取随机抽取的方式向消费者销售特定范围内商品或者提供服务的，应当按照规定以显著方式公示抽取规则、商品或者服务分布、提供数量、抽取概率等关键信息.现有一款盲盒套装，有5个不同的盲盒，其中有男孩卡通人物2个，女孩卡通人物3个，现从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒.
1、求取出的2个盲盒中，至少有1个男孩卡通人物的概率；
2、在取出的2个盲盒中，女孩卡通人物的个数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
【正确答案】 1、； 2、

20-6（提升） 猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动．某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题人便可获得奖品．已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道．
1、求甲能获得奖品的概率；
2、记甲答对灯谜题目的数量为X，求X的分布列与期望．
【正确答案】 1、 2、分布列见解析，

【原卷 21 题】 知识点 根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的最值问题,椭圆中的直线过定点问题

【正确答案】

【试题解析】


21-1（基础） 在平面直角坐标系中，椭圆的短轴长为2，右焦点与的焦点重合，过定点，（不与椭圆的顶点和中心重合）且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，
1、求椭圆的方程；
2、若，当面积取最大值时，求直线的方程；
3、是否存在定点，使得点关于轴的对称点恒在直线上？说明理由.
【正确答案】 1、； 2、； 3、存在，理由见解析.

21-2（基础） 已知椭圆经过两点，
1、求椭圆的方程；
2、已知直线过定点，与椭圆交于两点､，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求的值；
3、试问：第（2）问中的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由.
【正确答案】 1、 2、 3、存在，最大值

21-3（巩固） 已知过点的椭圆的离心率为. 如图所示，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点A作，垂足为.

1、求四边形为坐标原点的面积的最大值；
2、求证：直线过定点，并求出点的坐标.
【正确答案】 1、最大值为 2、证明见解析，

21-4（巩固） 设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为.
1、求椭圆的方程；
2、设为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为.
①证明直线恒过定点，并求出该点坐标；
②求面积的最大值.
【正确答案】 1、 2、①证明见解析，定点；②

21-5（提升） 已知椭圆的离心率为，且过点．
1、求E的方程；
2、设E的左、右顶点分别为A，B，点C，D为E上与A，B不重合的两点，且．
①证明：直线CD恒过定点；
②求面积的最大值．
【正确答案】 1、； 2、

21-6（提升） 已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．
1、求椭圆C的方程；
2、若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点；
②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积．
【正确答案】 1、 2、①证明见解析；②

【原卷 22 题】 知识点 函数单调性、极值与最值的综合应用,利用导数求函数的单调区间（不含参）,利用导数研究不等式恒成立问题

【正确答案】


【试题解析】


22-1（基础） 已知函数．
1、当时，讨论的单调性；
2、当时，，求的取值范围．
【正确答案】 1、单调递增区间为，函数的单调递减区间为； 2、．

22-2（基础） 已知函数
1、求的单调区间和极值；
2、若对任意，成立，求实数m的最大值．
【正确答案】 1、单调增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值
2、4

22-3（巩固） 已知函数．
1、当时，求的单调区间；
2、设函数，若恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】 1、单调递减区间为，单调递增区间为 2、

22-4（巩固） 已知函数，其中.
1、当时，求的单调区间；
2、若对任意，都有求实数的取值范围.
【正确答案】 1、单调递减区间为，单调递增区间为； 2、

22-5（提升） 已知函数，.
1、当时，求的单调区间；
2、若恒成立，求的取值范围.
【正确答案】 1、单调递增区间为，无单调递减区间 2、

22-6（提升） 已知函数．
1、求函数的单调区间；
2、若，恒成立，求实数a的取值范围．
【正确答案】 1、单调递增区间为，单调递减区间为和 2、


答案解析


1-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
化简集合，根据交集的定义求解即可.
详解:
因为，
所以，又，
所以.
故选：C.
1-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
求解中二次不等式，再求解交集即可.
详解:
由得，解得，所以.
故选：C.
1-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
分别化简集合，由集合的交集运算即可得出结论.
详解:
由题意可得，，则．
故选：C.
1-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
详解:
因为，，
因此，.
故选：C.
1-5【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
解不等式求出集合，再求交集即可.
详解:
∵集合，
，
则
故选：A.
1-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
化简集合，根据交集的概念可求出结果.
详解:
由，得，得，得，
由，得或，得，
所以.
故选：A
2-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据复数的除法运算化简复数，由复数的几何意义即可求解.
详解:
由题意得，所以在复平面内对应的点为,位于第三象限.
故选:C
2-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.
详解:
根据复数的运算法则，可得，
所以在复平面内对应的点为位于第一象限.
故选：A.
2-3【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据除法运算求出复数，得到，即可确定点的位置.
详解:
由可知，，
，
∴在复平面内对应的点坐标为，故点位于第四象限，
故选：D.
2-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由的性质、除法运算和复数的几何意义可得答案.
详解:
因为复数，
所以复数z在复平面内所对应的点为， 该点位于第三象限.
故选：C．
2-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
利用复数的运算法则，求出复数，结合复数的几何意义求出结果
详解:
解：
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，解得或.
所以，实数的取值范围为.
故选：C
2-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用复数除法运算化简，根据在复平面内对应的点在第二象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此确定正确选项.
详解:
依题意，
由于在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，故的值可以是.
故选：B
3-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.
详解:
因为两个单位向量和的夹角为120°，
所以，
所以，
故向量在向量上的投影向量为．
故选：C.
3-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用投影向量定义即可求得在上的投影向量.
详解:
在上的投影向量是
故选：B
3-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.
详解:
设向量，的夹角为，
因为，
所以，
所以，
所以在上的投影向量为：，
故选：A.
3-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由，求得，再利用投影向量的定义求解.
详解:
解：因为，，，
所以 ，解得，
所以 在上的投影向量为，
故选：C
3-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据给定条件，利用正弦定理求出，进而求出，再利用向量投影的意义计算作答.
详解:
在中，，，由正弦定理得：，
即有，整理得，解得，，
因此，，，
，
所以向量在上的投影是.
故选：C
3-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量在向量上的投影向量为．
详解:
如图，

由知为中点，
又为外接圆圆心，，，
，
，，，
∴在向量上的投影为：，
向量在向量上的投影向量为：．
故选：D．
4-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
求导后，令导数为1从而可求得切点，再把切点坐标代入直线方程即可求解.
详解:
曲线，.
令，解得，则.
所以直线y＝x＋b与曲线相切于点，
所以点在直线y＝x＋b上，则，解得.
故选：C.
4-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解.
详解:
设切点坐标为，
因为，所以，
所以切线的斜率，解得，
又，即，
所以.
故选：A.
4-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
求出函数的导数，再利用导数的几何意义并结合垂直的条件，列式求解作答.
详解:
函数，求导得，则曲线在点处的切线斜率，
又该切线与直线垂直，因此，解得，
所以.
故选：A
4-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可得关于的方程，解出后可得正确的选项.
详解:
，所以，
因为在点处的切线垂直于直线，故切线的斜率为，
故即，
故选：D.
4-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由导数的几何意义可求得的值，可得出切线方程，将切点坐标代入切线方程，可得出的值，再结合函数解析式可求得的值.
详解:
因为，则，则，
可得，所以，曲线在处的切线方程为，
将切点的坐标代入切线方程可得，解得，
又因为，解得，因此，，.
故选：D.
4-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法以及基本不等式可求得实数的取值范围.
详解:
函数的定义域为，且，
因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，
所以，对任意的恒成立，则，
当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，解得.
故选：B.
5-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论．
详解:
等差数列中，，
则，，
∴，
解得，．
∴，
∴当时，取得最小值．
故选：B．
5-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据条件，利用等差数列的性质可得出，，即可求解.
详解:
在等差数列{}中，由，得，
则，又，
∴，，则当取得最大值时，．
故选：C
5-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据等比数列基本量的计算可得进而得，根据等差数列的求和公式即可求解.
详解:
设等比数列的公比为，由得由于，所以，故，
故为等差数列，且首项为4，故，
所以，
该式是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，故当或9时，取到最大值.
故选：B
5-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案.
详解:
，
故，
因为，所以或5时，取得最大值.
故选：C
5-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据等比数列定义以及可得且，即AB均错误，再由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为.
详解:
由可知公比，所以A错误；
又，且可得，即B错误；
由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增，
即无最大值，所以C错误；
设为数列前项积的最大值，则需满足，可得，
又可得，即的最大值为，所以D正确.
故选：D
5-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
A选项，根据条件得到，求出；利用等差数列求和公式及分组求和得到；先得到，解不等式，得到时，且；并利用等差数列求和公式求出最小值.
详解:
由题意可知，，则①，
当时，，
当时，②，
①-②得，，解得，当时也成立，
，A正确；


，B错误；
，令，解得：，且，
故当或9时，的前项和取最小值，
最小值为，CD正确．
故选：B
6-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由，底面，将三棱锥放在长方体中，求出外接球的半径以及圆周率的值，再由球的表面积公式即可求解.
详解:
如图所示：

因为，底面，，，
所以将三棱锥放在长、宽、高分别为的长方体中，
三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，
外接球的直径，
利用张衡的结论可得，则，
所以球的表面积为.
故选：D.
6-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
以为棱把补形成一个长方体，是长方体的对角线，是长方体外接球的直径，也是外接球的直径，由此计算出后可得面积．
详解:
是阳马，以为棱补形成一个长方体，如图，则是长方体的对角线，
而是该长方体外接球的直径，也是外接球的直径，
由已知，
球的表面积为．
故选：B．

6-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由球的性质确定三棱锥外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积.
详解:
如图1，

取BD的中点M，连接．由，可得为正三角形，且，所以，则，
以M为原点，为轴，为轴，过点M且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系如图2，

则， ．设为三棱锥的外接球球心，则在平面的投影必为的外心，则设．由可得，解得，所以．
由张衡的结论，，所以，
则三棱锥的外接球表面积为，
故选：B．
6-4【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由题意作出折叠后图形，可得出三棱锥的棱长及三棱锥是长方体内一部分，利用外接球直径为长方体的体对角线求解即可.
详解:
叠后重合于，重合于，平面与平面沿折叠后重合后得平面，得到如图，

又因为即垂直，
即垂直，
所以平面，平面，所以三点共线，
所以，，，
所以三棱锥是长方体内的一部分，
设长方体长宽高分别为，外接球半径为，则，
因为，所以，
所以，所以外接球表面积为.
故选：A
6-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
如图，根据球的性质可得平面ABCD，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨论当O在线段上和O在线段的延长线上时2种情况，结合球的性质和表面积公式计算即可求解.
详解:
如图，连接AC，BD，设，
因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，
则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，
根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．
连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，
连接EP，FQ，在与中，易知，
所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．
设，球O的半径为R，连接OE，OA，
当O在线段上时，由球的性质可知，
易得，则，此时无解．
当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，
，解得，所以，
所以球O的表面积，
故选：D．

点睛:
求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据一是球心到球面上各点的距离都等于球的半径，二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．由此出发，利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可确定外接球球心的位置．
6-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
利用几何体的对称性确定该半正多面体的外接球的球心及半径即可求解.
详解:

如图，由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，
其对称中心为正方体的体对角线的中点，点在平面的投影点为，
则有，，所以，
故该半正多面体的外接球的半径为，外接球的表面积为.
故选：D
7-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
构造函数，研究其单调性，进而可以比较a，b，c的大小.
详解:
令，则，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
，，，
因为，所以.
故选：D.
7-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
构造函数,利用其单调性即可比较a,b,c的大小.
详解:
，，，
设，
,令,得，
当单调递增，
当单调递减，
所以，
所以,即,所以，
所以,即,所以，
所以.
故选：A
7-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用函数单调性比较数的大小.
详解:
设，则，
当时，，当时，，
即当时，取得最小值，
即有，．
令，则，
令，易得在上单调递增，
∴当时，，，
在上单调递增，
，即，
，.
故选：B．
7-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
构造函数，由，利用其单调性比较.
详解:
设，
则，
令得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且，
所以，即，
故选：B
7-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.05换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.05的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
详解:
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0