2023年中考数学二轮复习之二次根式(含解析)

这是一份2023年中考数学二轮复习之二次根式(含解析)，共18页。
2023年中考数学二轮复习之二次根式
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•南通期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022秋•晋江市期末）下列二次根式，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022秋•鼓楼区校级期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．a2•a3＝a6
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．
4．（2022秋•海口期末）化简（﹣）2的结果是（　　）
A．9 B．±3 C．﹣3 D．3
5．（2022秋•桥西区期末）下面是小刚同学某天的作业，小刚做对题目的个数为（　　）
①＝±7
②＝±3
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022秋•永春县期末）下列与为同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022秋•常德期末）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣1）2＝﹣2 B．
C．a6÷a3＝a2 D．
8．（2022秋•江都区期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022秋•叙州区期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．＝2 C．+＝ D．
10．（2022秋•宝山区期末）下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．＝3 C．＝±3 D．＝±3
二．填空题（共6小题）
11．（2022秋•晋中期末）化简的结果是 　 　．
12．（2022秋•洞口县期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
13．（2022秋•沧州期末）若与最简二次根式可以合并，则a＝　 　．
14．（2022秋•龙华区校级期末）＝　 　．
15．（2022秋•宝山区期末）要使式子有意义，x的取值范围是 　 　．
16．（2023•市北区校级开学）已知a≥，那么化简后，＝　 　．
三．解答题（共4小题）
17．（2022秋•晋江市期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣．
18．（2022秋•鼓楼区校级期末）（1）因式分解：x3﹣9x；
（2）计算：．
19．（2022秋•宝山区期末）计算：．
20．（2022秋•桥西区期末）计算
（1）+﹣；
（2）（）2+（）（）．

2023年中考数学二轮复习之二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•南通期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求解．
【解答】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意；
B.是最简二次根式，符合题意；
C.，故不是最简二次根式，不符合题意；
D． ，故不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查最简二次根式的判断，解题的关键是熟知最简二次根式的定义．
2．（2022秋•晋江市期末）下列二次根式，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式；二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据同类二次根式的定义解答即可．
【解答】解：A、＝2与2不能合并，不符合题意；
B、＝3与2不能合并，不符合题意；
C、＝与2不能合并，不符合题意；
D、＝2与2能合并，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
3．（2022秋•鼓楼区校级期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．a2•a3＝a6
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算、完全平方公式以及分母有理化即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝a5，故B不符合题意．
C、原式＝a2﹣2a+1，故C不符合题意．
D、原式＝3，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算、完全平方公式以及分母有理化，本题属于基础题型．
4．（2022秋•海口期末）化简（﹣）2的结果是（　　）
A．9 B．±3 C．﹣3 D．3
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣）2＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2022秋•桥西区期末）下面是小刚同学某天的作业，小刚做对题目的个数为（　　）
①＝±7
②＝±3
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次根式的加减法；平方根．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：①原式＝7，故①不符合题意．
②原式＝±3，故②符合题意．
③原式＝，故③不符合题意．
④与不是同类二次根式，故④不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
6．（2022秋•永春县期末）下列与为同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质对各选项二次根式化简，再根据同类二次根式的定义解答．
【解答】解：∵，，是最简根式，，
∴与为同类二次根式的是．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
7．（2022秋•常德期末）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣1）2＝﹣2 B．
C．a6÷a3＝a2 D．
【考点】二次根式的混合运算；立方根；同底数幂的除法．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据乘方的意义、平方差公式、同底数幂的除法法则、立方根的意义解答即可．
【解答】解：A．（﹣1）2＝1，故选项A计算错误，不符合题意；
B.，故选项B计算正确，符合题意；
C．a6÷a3＝a3，故选项C计算错误，不符合题意；
D.，故选项D计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了乘方的意义、平方差公式、同底数幂的除法法则、立方根的意义，解决本题的关键是熟记相关的公式、法则．
8．（2022秋•江都区期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；立方根．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】分别根据二次根式的性质以及立方根的定义解答即可．
【解答】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项符合题意；
C．＝4，故本选项不符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简以及立方根，掌握相关定义是解答本题的关键．
9．（2022秋•叙州区期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．＝2 C．+＝ D．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质研究运算法则解答即可．
【解答】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
10．（2022秋•宝山区期末）下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．＝3 C．＝±3 D．＝±3
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断．
【解答】解：A、原式＝3，故此选项不符合题意；
B、原式＝3，故此选项符合题意；
C、原式＝3，故此选项不符合题意；
D、原式＝3，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质，理解二次根式的性质＝|a|是解题关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2022秋•晋中期末）化简的结果是 　　．
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】把被开方数的分子分母同时乘以3，再开方即可．
【解答】解：原式＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
12．（2022秋•洞口县期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x＜2　．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴2﹣x＞0，解得：x＜2．
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解题的关键．
13．（2022秋•沧州期末）若与最简二次根式可以合并，则a＝　4　．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】把化为最简根式，然后根据同类次根式的定义列出方程求解即可．
【解答】解：与最简二次根式可以合并，，
∴a﹣1＝3，
解得：a＝4．
故答案为：4
【点评】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
14．（2022秋•龙华区校级期末）＝　5　．
【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2+3
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次根式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题型．
15．（2022秋•宝山区期末）要使式子有意义，x的取值范围是 　x≥5　．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，进而得出答案．
【解答】解：要使式子有意义，则x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
16．（2023•市北区校级开学）已知a≥，那么化简后，＝　2a﹣1　．
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵a≥，
∴a﹣≥0，
∴2a﹣1≥0．
∴原式＝|2a﹣1|
＝2a﹣1．
故答案为：2a﹣1．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
17．（2022秋•晋江市期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣．
【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先用平方差公式和乘法法则化简，再代入即可．
【解答】解：原式＝a2﹣2+a2﹣1
＝2a2﹣3，
把a＝﹣代入得：
原式＝2×（﹣）2﹣3
＝2×3﹣3
＝6﹣3
＝3．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是能准确的计算．
18．（2022秋•鼓楼区校级期末）（1）因式分解：x3﹣9x；
（2）计算：．
【考点】二次根式的混合运算；提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式；
（2）先利用二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝﹣+2
＝4﹣3+6
＝1+6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了因式分解．
19．（2022秋•宝山区期末）计算：．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先利用平方差公式和分母有理化，然后化简即可．
【解答】解：原式＝（4）2﹣72++
＝48﹣49++
＝﹣1++．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20．（2022秋•桥西区期末）计算
（1）+﹣；
（2）（）2+（）（）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项和同类二次根式即可．
【解答】解：（1）+﹣
＝4+2﹣
＝5；
（2）（）2+（）（）
＝2+2+3+2﹣3
＝4+2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
6．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
7．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
8．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
9．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
10．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
11．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
12．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）

规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
13．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
14．同类二次根式
同类二次根式的定义：
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
15．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
16．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
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