2023年中考数学二轮复习之反比例函数(含解析)

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2023年中考数学二轮复习之反比例函数
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•洞口县期末）如图所示，点A是反比例函数图象上一点，作AB⊥x轴，垂足为点B．若△AOB的面积为3，则k的值是（　　）

A．4 B．6 C．4或6 D．不确定
2．（2022秋•绥宁县期末）如图，某反比例函数的图象过点M，则此反比例函数表达式为（　　）

A． B． C．y＝﹣2x D．
3．（2023•龙川县校级开学）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（3，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．1＜x＜3 C．x＞3 D．x＞4
4．（2022秋•商南县期末）若反比例函数的图象位于第一第象限，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022秋•韩城市期末）若反比例函数y＝在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
6．（2022秋•祁阳县期末）函数y＝x+k与函数同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022秋•遂川县期末）如图，一块方砖的三个面A，B，C，其中B面为正方形，A，C两个面为矩形，B面的面积小于A面的面积．若将A，B，C三个面分别向下放在桌面上，则地面所受压强分别为PA，PB，PC，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力（由于方砖的重量不变，故F不变），S是受力面积，则PA，PB，PC的大小关系正确的是（　　）

A．PA＞PB＞PC B．PA＞PC＝PB C．PC＝PA＞PB D．PB＞PA＝PC
8．（2022秋•兴县期末）对于反比例函数y＝﹣，下列描述不正确的是（　　）
A．图象位于二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象必经过（﹣2，）
D．当x＞﹣1时，y＞3
9．（2022秋•蜀山区校级期末）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且△ABD的面积是4，则k＝（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
10．（2022秋•金平区期末）已知反比例函数，则它的图象不经过点（　　）
A．（1，﹣8） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣1，8） D．（2，﹣4）
二．填空题（共6小题）
11．（2022秋•未央区期末）反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象经过点A（﹣2，m），B（4，n），则m与n的大小关系是 　 　．
12．（2022秋•南开区期末）已知y与x2成反比例，并且当x＝3时，y＝4．则y与x之间的函数解析式为 　 　．
13．（2022秋•兴县期末）已知点A（a，b）和B（c，d）是反比例函数的图象上两点，并且a＜0＜c，b＞d，则k的取值范围是 　 　．
14．（2022秋•未央区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），B两点，与x轴交于点C（﹣2，0）．则tan∠ACO的值为 　 　．

15．（2022秋•抚州期末）如图，点A（m，2m）在反比例函数的图象上，点B是y轴上一点，且A，B，O三点构成的三角形是等腰三角形，则线段OB＝　 　．

16．（2023•肃州区校级开学）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点，则使kx+b＞成立的x的取值范围是 　 　．
三．解答题（共4小题）
17．（2022秋•朔州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，AC⊥y轴于点C，连接BC，已知点B的坐标是（﹣2，﹣3），点A在第一象限且AC＝6．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△ABC的面积．

18．（2022秋•榕城区期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD．（O是坐标原点）
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直接写出当一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？

19．（2022秋•南开区期末）如图，是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题：
（1）常数m的取值范围是 　 　；图象的另一支在第 　 　象限；在每个象限内y随x的增大而 　 　；
（2）在该函数图象上取点A（x1，y1），B（x2，y2）和C（x3，y3），如果x1＜0＜x2＜x3，请将y1，y2，y3按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接，其结果为 　 　；
（3）若点C（﹣1，﹣4），D（n，﹣2）在反比例函数的图象上，求：m，n的值以及反比例函数解析式．

20．（2022秋•开福区期末）如图，曲线与直线y2＝k2x+b交于A（1，3），B（m，1）两点．
（1）求曲线和直线y2＝k2x+b的解析式；
（2）根据第一象限图象观察，当y1＜y2时，x的取值范围是 　 　；
（3）求△AOB的面积．


2023年中考数学二轮复习之反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•洞口县期末）如图所示，点A是反比例函数图象上一点，作AB⊥x轴，垂足为点B．若△AOB的面积为3，则k的值是（　　）

A．4 B．6 C．4或6 D．不确定
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据反比例函数中k值的几何意义，结合已知条件可得，求解方程可得k的值，再结合反比例函数图象的性质即可求出k的值．
【解答】解；∵AB⊥x轴，
∴，
∴|k|＝6，
∴k＝6或﹣6，
∵函数图象在第一象限，
∴k＝6，
故答案为：B．
【点评】本题是一道有关反比例函数中k值的几何意义的题目，关键是掌握k的几何意义．
2．（2022秋•绥宁县期末）如图，某反比例函数的图象过点M，则此反比例函数表达式为（　　）

A． B． C．y＝﹣2x D．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】设反比例函数的表达式，把点M的坐标代入解析式，即可求得．
【解答】解：设反比例函数的表达式，
∵反比例函数的图象过点M（﹣2，1），
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
所以反比例函数的表达式，
故选：B．
【点评】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，解本题的关键是会用待定系数法求函数解析式．
3．（2023•龙川县校级开学）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（3，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．1＜x＜3 C．x＞3 D．x＞4
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
【分析】结合图形，一次讨论当x＜1，x＝1，1＜x＜3，x＝3，x＞3时，反比例函数与一次函数的大小，即可得到答案．
【解答】解：由图象可知：
当x＜1时，反比例函数大于一次函数的函数值，
当x＝1时，反比例函数等于一次函数的函数值，
当1＜x＜3时，一次函数大于反比例函数的函数值，
当x＝3时，反比例函数等于一次函数的函数值，
当x＞3时，反比例函数大于一次函数的函数值，
即当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是：1＜x＜3，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握数形结合思想是解题的关键．
4．（2022秋•商南县期末）若反比例函数的图象位于第一第象限，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的图象在第一象限，可得2k﹣1＞0，解不等式即可求解．
【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一象限，
∴2k﹣1＞0，
解得：，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，在中，当k＞0时，函数的图象在一、三象限，当k＜0时，反比例函数的图象在二、四象限，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．（2022秋•韩城市期末）若反比例函数y＝在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【考点】反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的增减性可得3k﹣2＞0，即可求解．
【解答】解：∵反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴3k﹣2＞0，
解得：，
∴k的值可能是1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当k＞0时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
6．（2022秋•祁阳县期末）函数y＝x+k与函数同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【分析】根据函数图象来确定系数k的符号，若这两个函数的系数符号一致的选项即为所求．
【解答】解：A、由一次函数与y轴交于负半轴知，k＜0；由反比例函数图象经过第一、三象限知，k＞0，错误，不符合题意；
B、由一次函数与y轴交于负半轴知，k＞0；由反比例函数图象经过第一、三象限知，k＞0，正确，符合题意．
C、由一次函数解析式y＝x+k中的k＞0知，该函数图象经过第一、三象限．错误，不符合题意；
D、由一次函数解析式y＝x+k中的k＞0知，该函数图象经过第一、三象限．错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象．关键是掌握函数图象所经过的象限与系数的符号的关系．
7．（2022秋•遂川县期末）如图，一块方砖的三个面A，B，C，其中B面为正方形，A，C两个面为矩形，B面的面积小于A面的面积．若将A，B，C三个面分别向下放在桌面上，则地面所受压强分别为PA，PB，PC，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力（由于方砖的重量不变，故F不变），S是受力面积，则PA，PB，PC的大小关系正确的是（　　）

A．PA＞PB＞PC B．PA＞PC＝PB C．PC＝PA＞PB D．PB＞PA＝PC
【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据B面为正方形，A，C两个面为矩形，得出A，C的面积相等，根据B面的的面积小于A面的面积，，根据反比例数的性质即可求解．
【解答】解：∵根据B面为正方形，A，C两个面为矩形，
∴A，C的面积相等，
又B面的面积小于A面的面积，，
∴PB＞PA＝PC，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例数的性质是解题的关键．
8．（2022秋•兴县期末）对于反比例函数y＝﹣，下列描述不正确的是（　　）
A．图象位于二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象必经过（﹣2，）
D．当x＞﹣1时，y＞3
【考点】反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】利用反比例函数的图象的性质解决问题．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
图象分布在第二、四象限，A选项不符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，B选项不符合题意；
当x＝﹣2时，，故图象经过点（﹣2，），C选项不符合题意；
若x＞﹣1，则y＞3或y＜0，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，解决问题的关键是掌握反比例函数的性质，注意函数的增减性是在每个象限内．
9．（2022秋•蜀山区校级期末）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且△ABD的面积是4，则k＝（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的性质可得S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，进而可得S△ABD＝S△OBD，根据点B在双曲线上，BD⊥y轴，以及S△ABD＝4，进而即可求解．
【解答】解：∵点C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，
∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，
∴S△ABD＝S△OBD，
∵点B在双曲线上，BD⊥y轴，S△ABD＝4，
∴，
∴k＝±8，
∵双曲线经过一，三象限，
∴k＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
10．（2022秋•金平区期末）已知反比例函数，则它的图象不经过点（　　）
A．（1，﹣8） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣1，8） D．（2，﹣4）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照k即可得出结论．
【解答】解：A、1×（﹣8）＝﹣8，故反比例函数图象经过点（1，﹣8），不合题意；
B、﹣1×（﹣8）＝8，故反比例函数图象不经过点（﹣1，﹣8），符合题意；
C、﹣1×8＝﹣8，故反比例函数图象经过点（﹣1，8），不合题意；
D、2×（﹣4）＝﹣8，故反比例函数图象经过点（2，﹣4），不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
二．填空题（共6小题）
11．（2022秋•未央区期末）反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象经过点A（﹣2，m），B（4，n），则m与n的大小关系是 　m＞n　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】先根据反比例函数的性质得出a＞0，再根据二次函数的性质，得出（0，n）与（4，n）关于直线x＝2对称，根据二次函数的增减性，得出m＞n即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴a＞0，
二次函数y＝a（x﹣2）2+3的对称轴为直线x＝2，
∴（0，n）与（4，n）关于直线x＝2对称，
∵a＞0，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0，
∴m＞n．
故答案为：m＞n．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质和二次函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的性质得出a＞0，（0，n）与（4，n）关于直线x＝2对称．
12．（2022秋•南开区期末）已知y与x2成反比例，并且当x＝3时，y＝4．则y与x之间的函数解析式为 　　．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】设，把x＝3，y＝4代入，求出k的值即可得y与x之间的函数解析式．
【解答】解：设，把x＝3，y＝4代入得，
得k＝36，
∴y与x之间的函数解析式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了求函数的表达式，解题的关键是把x2看成自变量，关系式要设正确．
13．（2022秋•兴县期末）已知点A（a，b）和B（c，d）是反比例函数的图象上两点，并且a＜0＜c，b＞d，则k的取值范围是 　k＜﹣1　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】先利用图象上的点的坐标特征，判定图象所在象限，得到比例系数的正负即可求解．
【解答】解：∵a＜0＜c时，b＞d，
∴图象位于二、四象限，
∴k+1＜0，
∴k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
14．（2022秋•未央区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），B两点，与x轴交于点C（﹣2，0）．则tan∠ACO的值为 　1　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】过点A作x轴的垂线，垂足为E，根据题意，把A（1，a）代入，得出a的值，进而得出点A的坐标，再根据锐角三角函数，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点A作x轴的垂线，垂足为E，

∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），
∴把A（1，a）代入，可得：a＝3，
∴点A的坐标为（1，3），
∴OE＝1，AE＝3，
又∵C（﹣2，0），
∴OC＝2，
∴CE＝OC+OE＝2+1＝3，
∴，
∴tan∠ACO＝1，
∴tan∠ACO的值为1．
故答案为：1．

【点评】本题考查了坐标与图形、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答．
15．（2022秋•抚州期末）如图，点A（m，2m）在反比例函数的图象上，点B是y轴上一点，且A，B，O三点构成的三角形是等腰三角形，则线段OB＝　或或8．　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】先将点A（m，2m）坐标代入反比例函数中计算出点A的坐标，再分类讨论△ABO为等腰三角形的情况，分别算出点B的坐标，最后求得不同情况OB的值即可得到答案．
【解答】解：∵点A（m，2m）在第一象限，且在反比例函数的图象上，
∴m⋅2m＝8，
解得：m＝±2，
∵m＞0，∴m＝2，
∴点A坐标为（2，4），
∴，
∵点B是y轴上一点，且A，B，O三点构成的三角形是等腰三角形，
∴当以OA为腰时，如图所示三种情况，

由图可知，点B的坐标为或或（0，8），
∴或8，
当以OA为底边时，如图所示，

设点B的坐标为（0，y），则OB＝y，
作AH⊥y轴交y轴于H，
在Rt△ABH中，
∵AB2＝AH2+BH2，AH＝2，BH＝OH﹣OB＝4﹣y，
∴AB2＝22+（4﹣y）2＝y2﹣8y+20，
∵△OAB为等腰三角形，OB＝AB，
∴y2＝y2﹣8y+20，
解得：，
∴点B坐标为，
∴，
综上所述：OB＝或8或，
故答案为：或8或．


【点评】本题主要考查反比例函数上的点的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数上的点的性质以及等腰三角形的性质，采用分类讨论的方法解题，是解题的关键．
16．（2023•肃州区校级开学）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点，则使kx+b＞成立的x的取值范围是 　x＜﹣1或0＜x＜2　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】坐标为（﹣1，m）和（n，﹣1）的两点在双曲线上，联立并解可得m、n的值；设一次函数的解析式为：y＝kx+b，代入数据，解可得一次函数的解析式；画出函数图象，根据函数的图象，可得答案．
【解答】解：把A（﹣1，m），B（n，﹣1）分别代入y＝，
得﹣m＝﹣2，﹣n＝﹣2，
解得m＝2，n＝2，
所以A点坐标为（﹣1，2），B点坐标为（2，﹣1），
把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入y＝kx+b得
，
解得，
所以这个一次函数的表达式为y＝﹣x+1，
函数图象如图所示：

根据图象可知，使kx+b的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．注意结合题意，结合图象选用合适的方法解题．
三．解答题（共4小题）
17．（2022秋•朔州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，AC⊥y轴于点C，连接BC，已知点B的坐标是（﹣2，﹣3），点A在第一象限且AC＝6．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△ABC的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）将点B（﹣2，﹣3）代入反比例函数即可求得k2，从而得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式求出点A的坐标，将点A，B的坐标代入一次函数y1＝k1x+b（k1≠0），求出k1、b的值，即可得到答案；
（2）过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，根据，计算即可得到答案．
【解答】（1）解：∵反比例函数的图象经过点B（﹣2，﹣3），
∴，即k2＝6
，∴反比例函数的表达式为，
∵点A在第一象限，AC⊥y轴于点C，AC＝6
，∴点A的横坐标为6，
当x＝6时，，
∴点A的坐标为（6，1）．
∵一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象经过点A（6，1），B（﹣2，﹣3）
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）如图，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，

∵AC⊥y轴，A（6，1），B（﹣2，﹣3），
∴BD＝1﹣（﹣3）＝4，
∴S△ABC＝AC•BD＝×6×4＝12．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数交点问题，解题的关键是先求出反比例函数的解析式，进而求出点A的坐标，然后求出一次函数解析式．
18．（2022秋•榕城区期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD．（O是坐标原点）
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直接写出当一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）根据题意，由待定系数法确定函数关系式直接带点列方程及方程组求解即可得到答案；
（2）根据一次函数值小于反比例函数值，从图象上来说就是一次函数图象在反比例函数图象下方，找出满足这个条件的图象对应的自变量x的范围即可得到答案；
（3）根据函数图象平移，设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为y＝﹣x+5﹣n，联立方程组得，得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，结合图像只有一个交点，确定x2﹣（5﹣n）x+4＝0只有一个解，即Δ＝[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，解一元二次方程即可得到答案．
【解答】解：（1）把C（1，4）代入，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为，
把（4，m）代入，得m＝1，
∴D（4，1），
把C（1，4），D（4，1）坐标分别代入y＝ax+b，
得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）由图可知，当一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4；
（3）设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为y＝﹣x+5﹣n，
联立方程组得，
消去y得，
整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，
∵由于直线与反比例函数图像只有一个交点，
∴Δ＝0，即[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，整理得n2﹣10n+9＝0，解得n1＝1，n2＝9，
∴将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图像只有一个交点．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图像解不等式、函数图像平移及图像交点与一元二次方程解得情况等知识点是解决问题的关键．
19．（2022秋•南开区期末）如图，是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题：
（1）常数m的取值范围是 　m＞﹣7　；图象的另一支在第 　三　象限；在每个象限内y随x的增大而 　减小　；
（2）在该函数图象上取点A（x1，y1），B（x2，y2）和C（x3，y3），如果x1＜0＜x2＜x3，请将y1，y2，y3按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接，其结果为 　y1＜y3＜y2　；
（3）若点C（﹣1，﹣4），D（n，﹣2）在反比例函数的图象上，求：m，n的值以及反比例函数解析式．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）由反比例函数的图象的一支在第一象限，可知m+7＞0，另一支在第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；
（2）根据反比例函数图象的增减性求解；
（3）将C（﹣1，﹣4）代入求出m的值和函数解析式，再将y＝﹣2代入函数解析式，即可求出n的值．
【解答】解：（1）由图可知反比例函数的图象的一支在第一象限，
∴m+7＞0，
∴m＞﹣7，
由反比例函数的图象和性质可知，图象的另一支在第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小．
故答案为：m＞﹣7，三，减小；
（2）由（1）知反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴如果x1＜0＜x2＜x3，则y1＜0＜y3＜y2，
故答案为：y1＜y3＜y2；
（3）将C（﹣1，﹣4）代入，得：，
解得m＝﹣3，
∴，
∵D（n，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴，
解得n＝﹣2，
综上可知，m＝﹣3，n＝﹣2，反比例函数解析式为．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及判断反比例函数的增减性，比较反比例函数的函数值等，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．
20．（2022秋•开福区期末）如图，曲线与直线y2＝k2x+b交于A（1，3），B（m，1）两点．
（1）求曲线和直线y2＝k2x+b的解析式；
（2）根据第一象限图象观察，当y1＜y2时，x的取值范围是 　1＜x＜3　；
（3）求△AOB的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）将点A（1，3）代入求出反比例函数表达式，再求出点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入y2＝k2x+b即可求解；
（2）根据图象即可进行解答；
（3）用割补法即可求解．
【解答】解：（1）把点A（1，3）代入，
得：，
解得：k1＝3，
∴曲线的解析式为，
把点B（m，1）代入得：，
解得：m＝3，
∴B（3，1），
把A（1，3）、B（3，1）代入y2＝k2x+b得：，
解得：，
∴直线的解析式为：y2＝﹣x+4．
（2）由图可知：当y1＜y2时，1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
（3）如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，AM、BN相交于点C，

∵A（1，3）、B（3，1），
∴C（3，3），
∴S△AOB＝S矩形OMCN﹣S△AOM﹣S△BON﹣S△ABC
＝
＝
＝4．

【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，会根据图象和不等式求函数值的取值范围．

考点卡片
1．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
2．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
3．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
4．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
5．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
7．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
8．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
9．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
11．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
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