2023年中考数学二轮复习之三角形(含解析)

这是一份2023年中考数学二轮复习之三角形(含解析)，共36页。试卷主要包含了，则DE的长为 　 　等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习之三角形
一．选择题（共8小题）
1．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A＝（　　）

A．40° B．60° C．80° D．120°
2．（2022秋•裕华区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝2，EC＝1，则BC的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC＝14cm，BE＝8cm，则EC的长为（　　）

A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
4．（2022秋•武汉期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°．则∠B的度数不可能为（　　）
A．55° B．50° C．80° D．20°
5．（2022秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，则∠CDE的度数为（　　）

A．12° B．14° C．16° D．24°
6．（2022秋•裕华区期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（　　）

A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE
7．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）

A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
8．（2022秋•镇海区校级期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（　　）

A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG
二．填空题（共8小题）
9．（2022秋•海口期末）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，若沿AB的垂直平分线DE线剪下（如图所示），则DE的长为 　 　．

10．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝12，AD＝4，则△DBC的面积为 　 　．

11．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 　 　．

12．（2022秋•武汉期末）下列结论：①两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③a0＝1；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a的值都一定为非负数．其中正确的结论有：　 　（将正确结论的序号填在横线上）．
13．（2022秋•裕华区期末）在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 　 　．
14．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD、CE都是△ABC的高，它们交于点H，若BD＝5，则AH的长为 　 　．

15．（2022秋•洪山区期末）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．则下列结论：①AE＝AF，②AM＝DM，③DF＝DN，④AF＝EC；其中正确的有 　 　．（填写正确结论的序号）

16．（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于 　 　．

三．解答题（共4小题）
17．（2022秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件：　 　，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF．

18．（2022秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°，求∠DCE的度数．

19．（2022秋•南昌期末）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C＝60°．
（1）直接写出∠APB＝　 　°；
（2）求证PD＝PF；
（3）若∠ABC＝80°，求证AP＝BC．

20．（2022秋•武汉期末）（1）【问题背景】如图1，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BC、DE．求证：△ABC≌△ADE；
（2）【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证：BD⊥AD；
（3）【创新拓展】如图3，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接CE，使DE＝CE，连接BD．若P为△ABD内一点，当AP＝AD，PB＝PD时，直接写出∠PAD的度数 　 　．（不需要写出求解过程）
变式：【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证BD⊥AD．



2023年中考数学二轮复习之三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A＝（　　）

A．40° B．60° C．80° D．120°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由∠A＝∠ACD﹣∠B，直接可得答案．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角之和”是解本题的关键．
2．（2022秋•裕华区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝2，EC＝1，则BC的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝2，进一步可得BC的长．
【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，
∴BE＝AE，
∵AE＝2，
∴BE＝2，
∵EC＝1，
∴BC＝BE+EC＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
3．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC＝14cm，BE＝8cm，则EC的长为（　　）

A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得AE＝BE＝8 cm，从而可得解．
【解答】解：∵DE是AB垂直平分线，
∴AE＝BE＝8（ cm），
∴EC＝AC﹣AE＝14﹣8＝6（ cm），
故答案为：B．
【点评】本题主要考查垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）是解决本题的关键．
4．（2022秋•武汉期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°．则∠B的度数不可能为（　　）
A．55° B．50° C．80° D．20°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数即可确定正确的选项．
【解答】解：当∠A为顶角，；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．
5．（2022秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，则∠CDE的度数为（　　）

A．12° B．14° C．16° D．24°
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的外角性质得到∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠AED＝∠C+∠CDE，再根据题设条件得到2∠CDE＝∠BAD即可求解．
【解答】解：∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∵∠AED是△CDE的一个外角，
∴∠AED＝∠C+∠CDE，
∵∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，
∴∠C+∠BAD＝∠C+∠CDE+∠CDE，
∴2∠CDE＝∠BAD＝24°，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和定理及三角形外角的性质、角的运算，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键．
6．（2022秋•裕华区期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（　　）

A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
【解答】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，
∴∠ADC＝∠BFE＝90°，
∵CD＝EF，
∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
7．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）

A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴，
整理得，α＝2β．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系．
8．（2022秋•镇海区校级期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（　　）

A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG
【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】先根据勾股定理得S△ABC＝S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，则四边形CEPG是平行四边形，再由S四边形ECGP＝S△DFP，可以得到．
【解答】解：由题意得S△ABC＝S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，
∴四边形CEPG是平行四边形，
∴，
∵S△ABC＝S△AFG+S四边形BFPE+S四边形ECGP，
∴S四边形ECGP＝S△DFP，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质及以直角三角形三边组成的图形的面积，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够正确理解题意．
二．填空题（共8小题）
9．（2022秋•海口期末）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，若沿AB的垂直平分线DE线剪下（如图所示），则DE的长为 　　．

【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】根据勾股定理可求出AB＝10，由线段垂直平分线的性质可得∠ADE＝90°，AD＝BD，再证明△ADE∽△ACB，最后根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴由勾股定理得，
∵DE垂直平分线段AB，
∴∠ADE＝90°，AD＝BD＝5，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C＝90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，
∴DE＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
10．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝12，AD＝4，则△DBC的面积为 　24　．

【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线的性质可得AD＝DE，根据△DBC的面积＝即可求解．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图，

∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴AD＝DE＝4，
∴＝＝24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，正确作出辅助线，再借助角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
11．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 　2π　．

【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【分析】根据图形得到，，根据勾股定理可以得出结论．
【解答】解：由题意，得，，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
故答案为：2π．
【点评】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
12．（2022秋•武汉期末）下列结论：①两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③a0＝1；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a的值都一定为非负数．其中正确的结论有：　②④⑤　（将正确结论的序号填在横线上）．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；非负数的性质：偶次方；科学记数法—表示较小的数；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的性质、零指数幂的运算、科学记数法、完全平方公式，即可一一判定．
【解答】解：①有两条边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，故该说法错误；
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故该说法正确；
③a0＝1（a≠0），故该说法错误；
④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5，故该说法正确；
⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a＝（2a+1）2的值都一定为非负数，故该说法正确，
故其中正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的性质、零指数幂的运算、科学记数法、完全平方公式，熟练掌握和运用各运算的法则及各图形的性质是解决本题的关键．
13．（2022秋•裕华区期末）在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 　60°或23.79°　．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】分AB＝AC，AC＝BC两种情况，利用等腰三角形的性质，勾股定理和三角函数的定义进行分析求解．
【解答】解：如图，当AB＝AC时，

∵O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∵OD∥AC，∠C＝30°，
∴∠DOB＝∠C＝∠B＝30°，
∴∠AOD＝∠OAC＝60°；
如图，当AC＝BC时，过B作BE⊥OD，OF⊥BD，

设OB＝a，
∴BC＝AC＝2a，
∵O是BC的中点，OD∥AC，
∴D为AB的中点，∠DOB＝∠C＝30°，
∴，
∵OF⊥AB，
∴，
∵∠DOB＝30°，BE⊥OB，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴∠OAF≈51.21°，
∴∠AOD＝90°﹣∠OAF﹣∠DOF≈23.79°，
故答案为：60°或23.79°．


【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想求解是解答本题的关键．
14．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD、CE都是△ABC的高，它们交于点H，若BD＝5，则AH的长为 　10　．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出△AEH≅△CEB，然后求解即可．
【解答】解：∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝5，BC＝10，
∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，
∴AE＝EC，
∵∠BAD+∠B＝90°，∠BAD+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠B
在△AEH和△CEB中，
，
∴△AEH≅△CEB（AAS），
∴AH＝BC＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明△AEH≅△CEB（AAS）是解题的关键．
15．（2022秋•洪山区期末）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．则下列结论：①AE＝AF，②AM＝DM，③DF＝DN，④AF＝EC；其中正确的有 　①②③　．（填写正确结论的序号）

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】①证明∠AEB＝∠AFE，即可得到AE＝AF；
②先根据ASA证明△ABM≌△NBM，则可得AM＝MN．然后在Rt△ADN中，根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”即可得到AM＝DM；
③根据ASA证明△BDF≌△ADN，则可得DF＝DN；
④根据已知条件可判断AF≠EC．
【解答】解：①∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBF，
∵∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠AEB＝∠BFD，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠AEB＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴①正确．
②∵AE＝AF，M为EF的中点，
∴AM⊥EF，
∴AN⊥BE，
∴∠BMA＝∠BMN＝90°，
又∵BM＝BM，∠ABM＝∠NBM，
∴△ABM≌△NBM（ASA），
∴AM＝MN，
∴M是AN中点，
在Rt△ADN中DM是斜边AN的中线，
∴，
∴AM＝DM，
∴②正确．
③∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠ADN＝90°，
∵△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴BD＝AD，
∵∠DBF+∠BNM＝90°，∠DAN+∠BNM＝90°，
∴∠DBF＝∠DAN，
在△BDF和△ADN中，
，
∴△BDF≌△ADN（ASA），
∴DF＝DN，
∴③正确．
④BE平分∠ABC，但AE≠EC，
∵AF＝AE，
∴AF≠EC，
∴④不正确．
综上，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题难度较大主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于 　4　．

【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】结合正方形面积公式，平方差公式，勾股定理，三角形面积公式，可知，BC2+AC2＝40，BC⋅AC＝14，然后运用完全平方公式（a±b）2＝a2+b2±2ab求解即可．
【解答】解：根据题意，，，，
∴，
在Rt△ABC中，
根据勾股定理，BC2+AC2＝AB2，
∴BC2+AC2＝40，
∵SRt△ABC＝7，
∴•BC•AC＝7，
∴BC•AC＝14，
∴BC+AC＝
＝
＝
＝2，
BC﹣AC＝
＝＝2，
∴，
即，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，掌握并熟练应用勾股定理和各类公式是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
17．（2022秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件：　∠A＝∠D（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF．

【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：添加∠A＝∠D，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．（2022秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°，求∠DCE的度数．

【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠ACB+∠B，再由∠ACB＝3∠B，求得∠ACB，根据角平分线定义求得∠CAD，由三角形内角和定理求得∠ACE，进而由角的和差求得结果．
【解答】解：∵∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB+∠B＝120°，
∵∠ACB＝3∠B，
∴∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝90°﹣∠CAD＝60°，
∴∠DAE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，关键是根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数．
19．（2022秋•南昌期末）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C＝60°．
（1）直接写出∠APB＝　120　°；
（2）求证PD＝PF；
（3）若∠ABC＝80°，求证AP＝BC．

【考点】等腰三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理计算即可；
（2）过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，根据角平分线的性质得到PE＝PG，PE＝PH，可得PH＝PG，再证明△PDG≌△PFH（AAS），即可证明结论；
（3）作∠CBD的平分线交AC于点N，则，先分别求出∠CAB，∠CBD，∠ABD，∠CAF，∠BDC，∠CBN，∠DBN，∠ANB的度数，得到AD＝BD，∠ANB＝∠BDC＝80°，BD＝BN，再根据AAS证明△APD≌△CBN即可证明结论．
【解答】（1）解：∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，
∴，，
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）
＝
＝
＝120°．
故答案为：120；
（2）证明：过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，
∴PE＝PG，PE＝PH，
∴PH＝PG，
∵PH⊥BC，PG⊥AC，
∴∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴∠GPH＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠GPH＝∠APB＝120°＝∠DPF，
∴∠DPG＝∠FPH，
在△PDG和△PFH中，
，
∴△PDG≌△PFH（AAS），
∴PD＝PF；

（3）证明：如图，作∠CBD的平分线交AC于点N，则，
∵∠ABC＝80°，∠C＝60°，
∴∠CAB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，，
∴，∠CAB＝∠ABD＝40°，
∴AD＝BD，∠BDC＝∠CAB+∠ABD＝80°，
∴，
∴∠ANB＝∠C+∠CBN＝60°+20°＝80°，∴∠ANB＝∠BDC＝80°，
∴BD＝BN，
∴AD＝BN，
在△APD和△BCN中，
，
∴△APD≌△CBN（AAS），
∴AP＝BC．
．


【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，证明三角形全等是解题的关键．
20．（2022秋•武汉期末）（1）【问题背景】如图1，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BC、DE．求证：△ABC≌△ADE；
（2）【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证：BD⊥AD；
（3）【创新拓展】如图3，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接CE，使DE＝CE，连接BD．若P为△ABD内一点，当AP＝AD，PB＝PD时，直接写出∠PAD的度数 　30°　．（不需要写出求解过程）
变式：【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证BD⊥AD．


【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，利用SAS即可证明△ABC≌△ADE；
（2）连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，由（1）可知，△ABD≌△ACE，易知BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由F是BC边的中点，可得BF＝FC，可证△BDF≌△CGF，可得BD＝CG＝CE，∠BDF＝∠G，设∠CEF＝α，可知∠G＝∠CEF＝∠BDF＝α，∠AEC＝∠AED+∠CEF＝60°+α，由平角可得∠ADB＝180°﹣（∠ADE+∠BDF），根据∠ADB＝∠AEC，可得α＝30°，进而可得∠ADB＝90°，即得证BD⊥AD；
（3）作PM⊥AD，PN⊥BD，垂足分别为M、N，易知△PMD≌△DNP，进而可得由（2）易证△ABD≌△ACE，，则AD＝CE＝BD＝AP，则，如图①所示，作∠PMO＝∠P交PA于点O，连接MO，可证△PMO为等边三角形，即可得∠A＝30°，即得∠PAD＝30°，（另外一种方法：如图②，延长PM至Q，使PM＝MQ，连接AQ，可证△APQ是等边三角形，即可得∠PAM＝30°即得∠PAD＝30°）；
变式：由等腰三角形的性质可知∠ADE＝∠AED，连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，类比（1）（2）可证△ABD≌△ACE，△BDF≌△CGF，由平角可得∠ADB＝90°，即得证BD⊥AD．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠CAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，
∵F是BC边的中点，
∴BF＝FC，
在△BDF和△CGF中，
∵BF＝FC，∠BFD＝∠CFG，DF＝FG
∴△BDF≌△CGF（SAS），
∴BD＝CG＝CE，∠BDF＝∠G，
设∠CEF＝α，
∴∠G＝∠CEF＝∠BDF＝α，∠AEC＝∠AED+∠CEF＝60°+α，
∵E、D、F在一条直线上，
∴∠ADB＝180°﹣（∠ADE+∠BDF）＝180°﹣（60°+α）＝120°﹣α，
∵∠ADB＝∠AEC，
∴120°﹣α＝60°+α，
∴α＝30°，
∴∠ADB＝120°﹣α＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AD；

（3）作PM⊥AD，PN⊥BD，垂足分别为M、N，

∴△PMD≌△DNP，
∴PM＝DN，
∵PB＝PD，
∴，
∵由（2）易证，△ABD≌△ACE，则AD＝CE＝BD＝AP，
∴，

方法1：如图①所示，作∠PMO＝∠P交PA于点O，连接MO，

∴MO＝PO，
∵∠PMA＝90°，
∴∠P+∠A＝∠PMO+∠AMO＝90°，
∴∠A＝∠AMO，
∴，
∴△PMO为等边三角形，
∴∠P＝60°，
∴∠A＝30°，

方法2：如图②，延长PM至Q，使PM＝MQ，连接AQ．

∵AM⊥PQPM＝MQ，
∴△APO是等腰三角形，
∴AP＝AQ，
又∵，
∴AP＝2PM＝AQ＝PQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ＝60°，
∴∠PAM＝30°，
故答案为：∠PAD＝30°；
变式：证明：∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，
∴AD＝AE，即∠ADE＝∠AED，
连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，

类比（1）（2）可证△ABD≌△ACE，△BDF≌△CGF，
∴∠ADB＝∠AEC＝∠AED+∠CEF，∠G＝∠CEF＝∠BDF，
∴∠ADB＝∠AED+∠CEF＝∠ADE+∠BDF，
又∵∠ADB+∠ADE+∠BDF＝180°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AD．





【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．

考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
3．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
4．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
5．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
6．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
7．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
8．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
9．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
10．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

11．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
14．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
15．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
16．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
17．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
18．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

19．三角形综合题
三角形综合题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/1