2023年中考数学二轮复习之四边形(含解析)

这是一份2023年中考数学二轮复习之四边形(含解析)，共32页。
2023年中考数学二轮复习之四边形
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•遂川县期末）如图，是位于江西遂川县左安镇桃源村，曾被推介为世界十大最美梯田的桃园梯田，最上层的称为“望天丘”，其直观图形形状近似可看作（　　）

A．三角形 B．五边形 C．菱形 D．矩形
2．（2022秋•潍坊期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（　　）

A．130° B．115° C．65° D．50°
3．（2022秋•汉台区期末）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，则四边形EFGH的面积是（　　）

A．34 B．36 C．40 D．100
4．（2023•日照开学）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）

A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
5．（2022秋•任城区校级期末）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：2，则这个正多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
6．（2022秋•巴南区期末）若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（　　）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
7．（2022秋•山亭区期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是几边形（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（2022秋•任城区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：
①S▱ABCD＝AB•AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE＝．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2022秋•任城区校级期末）如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
10．（2023•碑林区校级模拟）下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．AB＝AD C．AC＝BD D．AB⊥BC
二．填空题（共8小题）
11．（2022秋•遂川县期末）若正方形的周长为16，则其对角线长为 　 　．
12．（2022秋•屯留区期末）如图．在长方形ABCD中，P是其外一点，Q是其内一点，且PA＝QB，PD＝QC，∠P＝∠Q，AB＝2.5cm，BC＝4cm，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2．

13．（2023•思茅区校级开学）在五边形ABCDE中，DC∥AB，DE⊥AE，∠EAB＝128°，则∠EDC的度数是 　 　．

14．（2022秋•洞口县期末）已知菱形的边长为10，一条对角线的长为12，则菱形的面积为 　 　．
15．（2022秋•洞口县期末）如图，在等腰△ABC中，∠C＝30°，顶点B在平行四边形ODEF的边DE上，已知∠2＝110°，则∠1＝　 　．

16．（2022秋•惠阳区校级期末）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”．已知圆的半径长为6，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 　 　．
17．（2023•五华县校级开学）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　 　．

18．（2023•龙川县校级开学）在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点P在正方形的边上，若∠AEB＝105°，AE＝EP，则在△AEP中，∠AEP的度数为 　 　．
三．解答题（共2小题）
19．（2022秋•朔州期末）综合与实践

【问题情境】
（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，则EF的长为 　 　；
【知识拓展】
（2）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
【综合运用】
（3）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点E，F在C，D中间，且点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，如图2，图3所示，求的值．

20．（2022秋•未央区期末）问题提出：

（1）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，tan∠EAF＝1，连接EF，则线段EF，BE和DF之间的数量关系是 　 　．（提示：将△ABE绕点A旋转至△ADG）．
（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，．已知∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　 　时，EF＝BE+DF成立．
（3）问题解决：为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课．学校内有一个空置讲堂，如图3，其俯视图是边长为12m的正方形ABCD，高为4m，现需用隔音板材填充AE，AF，EF，（板材填充至顶部，隔板上门的面积忽略），分隔中四个空间进行实践教学，点E，F分别在边BC，CD上（EC＞FC），EF＝10m，∠EAF＝45°，求共需消耗的板材面积．


2023年中考数学二轮复习之四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•遂川县期末）如图，是位于江西遂川县左安镇桃源村，曾被推介为世界十大最美梯田的桃园梯田，最上层的称为“望天丘”，其直观图形形状近似可看作（　　）

A．三角形 B．五边形 C．菱形 D．矩形
【考点】矩形的性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观．
【分析】直接观察图形，作答即可．
【解答】解：由图可知：其直观图形形状近似可看作矩形，
故选：D．
【点评】本题考查平面图形的识别，熟练掌握常见的平面图形是解题的关键．
2．（2022秋•潍坊期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（　　）

A．130° B．115° C．65° D．50°
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】利用平行四边形的邻角互补和已知∠A﹣∠B＝50°，就可建立方程求出未知角．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，
又有∠A﹣∠B＝50°，
把这两个式子相加即可求出∠A＝115°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，建立方程组求解．
3．（2022秋•汉台区期末）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，则四边形EFGH的面积是（　　）

A．34 B．36 C．40 D．100
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积，进行计算即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，
∴BE＝AH＝DG＝CF＝8﹣6＝2，
∴四边形EFGH的面积为：；
故选C．
【点评】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，正确的识图，利用割补法求面积是解题的关键．
4．（2023•日照开学）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）

A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】根据三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°得到几个角之间的等量关系，整理化简即可得到所求角之间的关系．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；
在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；
在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；
∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
5．（2022秋•任城区校级期末）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：2，则这个正多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】设这个外角是2x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
【解答】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：2，
∴设这个外角是2x°，则内角是3x°，
根据题意得：2x+3x＝180°，
解得：x＝36°，
360°÷36°＝10（边），
所以这个正多边形是正十边形．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．
6．（2022秋•巴南区期末）若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（　　）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】由多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），可求多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）•180°＝1080°，
∴n＝8，
即这个多边形是八边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握多边形的内角和定理．
7．（2022秋•山亭区期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是几边形（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】多边形的对角线．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；运算能力．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，依此可得n的值．
【解答】解：由题意得，n﹣2＝5，
解得：n＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的对角线，解题的关键在于能够熟练掌握n边形一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形．
8．（2022秋•任城区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：
①S▱ABCD＝AB•AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE＝．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC＝30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【解答】解：∵点E为BC的中点，
∴BC＝2BE＝2CE，
又∵BC＝2AB，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠BEA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC，AO＝CO，
∴∠CAD＝∠ACB，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≅△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
∴AC⊥EF，故③正确，
在Rt△COE中，∠ACE＝30°，
∴，故②正确；
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
又∵点E为BC的中点，
∴，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
9．（2022秋•任城区校级期末）如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】首先根据平行四边形的性质和面积公式，平行四边形和△ADE的高相等，即可得出平行四边形的面积．
【解答】解：设E点到AD的距离为h，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，A点到BE的距离为h．
∵△ADE的面积为2，
∴AD×h＝2，即AD×h＝4．
∴▱ABCD面积＝AD×h＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，求解平行四边形中三角形的面积问题，一般会运用夹在平行线间的距离相等进行转化高．
10．（2023•碑林区校级模拟）下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．AB＝AD C．AC＝BD D．AB⊥BC
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（2022秋•遂川县期末）若正方形的周长为16，则其对角线长为 　4　．
【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；能力层次．
【分析】首先由周长求边长，再由边长用勾股定理求对角线即可．
【解答】解：∵正方形周长为16，
∴边长为4，
∴对角线＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质与勾股定理的结合，熟悉正方形的性质是解题的关键．
12．（2022秋•屯留区期末）如图．在长方形ABCD中，P是其外一点，Q是其内一点，且PA＝QB，PD＝QC，∠P＝∠Q，AB＝2.5cm，BC＝4cm，则图中阴影部分的面积为 　10　cm2．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据题意证明△APD≌△BQC，根据全等三角形的性质得出S△APD＝S△BQC，则阴影部分面积等于长方形的面积，进而即可求解．
【解答】解：∵PA＝QB，∠P＝∠Q，PD＝QC，
∴△APD≌△BQC（SAS），
∴S△APD＝S△BQC，
∴图中阴影部分的面积等于长方形ABCD的面积，
∵AB＝2.5cm，BC＝4cm，
∴图中阴影部分的面积等于2.5×4＝10（cm2），
故答案为：10．
【点评】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（2023•思茅区校级开学）在五边形ABCDE中，DC∥AB，DE⊥AE，∠EAB＝128°，则∠EDC的度数是 　142°　．

【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据平行线的性质求得∠B+∠C＝180°，根据DE⊥AE，可得∠E＝90°，根据∠EAB＝128°，以及五边形的内角和为540°，即可求解．
【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠B+∠C＝180°，
∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∠EAB＝128°，
∴∠EDC＝540°﹣90°﹣180°﹣128°＝142°．
故答案为：142°．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，多边形的内角和，掌握以上知识是解题的关键．
14．（2022秋•洞口县期末）已知菱形的边长为10，一条对角线的长为12，则菱形的面积为 　96　．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】已知菱形的边长为10，一条对角线的长为12，作出图形，由菱形对角线相互垂直，利用勾股定理可知另一条对角线长为16，从而得到菱形的面积为．
【解答】解：根据题意，作图如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵菱形的边长为10，一条对角线的长为12，
∴，
在Rt△AOD中，
∵∠AOD＝90°，OD＝6，AD＝10，
∴，
∴BD＝12，AC＝16，
∴菱形的面积为．
故答案为：96．

【点评】本题考查菱形的面积公式，涉及菱形的性质、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．
15．（2022秋•洞口县期末）如图，在等腰△ABC中，∠C＝30°，顶点B在平行四边形ODEF的边DE上，已知∠2＝110°，则∠1＝　40°　．

【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出∠2+∠ABE＝180°，代入求解即可．
【解答】解：∵等腰△ABC中，∠C＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OF∥DE，
∴∠2+∠ABE＝180°，
∵∠2＝110°，∠ABC＝∠C＝30°，
∴110°+∠1+30°＝180°，
∴∠1＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握平行线的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
16．（2022秋•惠阳区校级期末）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”．已知圆的半径长为6，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 　4　．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】先根据题意画出图形，连接BD、OD、OB，设AM＝x，根据AD2﹣AM2＝OD2﹣OM2，列出方程解求出x，根据线段的和差关系计算即可．
【解答】解：根据题意画图如下：

连接BD，与AC交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AMD＝∠DMC＝90°，∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，AM＝CM，
∴DM2＝AD2﹣AM2，
设AM＝x，
则，
连接OD，OB，
在△OCD和△OCB中，
，
∴△OCD≌OCB（SSS），
∴∠OCD＝∠OCB，
∴∠ACD+∠OCD+∠ACB+∠OCB＝360°，
∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，
∴O、C、A三点在一条直线上，
∴△OMD是直角三角形，
∴OM＝OA﹣AM＝6﹣x，
∴DM2＝OD2﹣OM2，
∴，
解得：x＝1，
∴AM＝CM＝1，
∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝6﹣1﹣1＝4．
故答案为：4．

【点评】本题考查了圆的性质与计算，菱形的性质、勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键．
17．（2023•五华县校级开学）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　9.6　．

【考点】平行四边形的判定；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，作BH⊥AC于H，连接AM，由勾股定理．三角形的面积公式求出BH的长，即可解决问题．
【解答】解：当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，BC和DE交于M，作BH⊥AC于H，连接AM，

在平行四边形BDCE中，MB＝CM，BE∥AC，
∴MB＝BC＝6，
∴AM＝＝＝8，
∵△ABC的面积＝AC•BH＝BC•AM，
∴10BH＝12×8，
∴BH＝9.6，
∵四边形BEDH是矩形，
∴DE＝BH＝9.6．
∴DE长的最小值是9.6．
故答案为：9.6．
【点评】本题考查求线段长的最小值，关键是明白：当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小
18．（2023•龙川县校级开学）在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点P在正方形的边上，若∠AEB＝105°，AE＝EP，则在△AEP中，∠AEP的度数为 　60°或90°　．
【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；分类讨论；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】根据题意画出图形，分两种情况讨论：①当点P′在边AD上时，②当点P″在边CD上时，根据正方形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，连接CE，

在正方形ABCD中，∠ABE＝45°，
∵∠AEB＝105°，
∴∠BAE＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
∴∠EAP′＝60°，
①当点P′在边AD上时，
∵AE＝EP′，
∴△AEP′是等边三角形，
∴∠AEP′＝60°；
②当点P″在边CD上时，
∴AE＝EP′＝EP″，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，∠ECD＝∠EAD＝60°，
∴AE＝EP′＝EP″＝CE，
∴△CEP″是等边三角形，
∴∠CEP″＝60°，
∵∠CED＝∠AED＝180°﹣105°＝75°，
∴∠DEP″＝75°﹣60°＝15°，
∴∠AEP″＝75°+15°＝90°，
综上所述：∠AEP的度数为60°或90°，
故答案为：60°或90°．
【点评】本题考查了正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
三．解答题（共2小题）
19．（2022秋•朔州期末）综合与实践

【问题情境】
（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，则EF的长为 　2　；
【知识拓展】
（2）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
【综合运用】
（3）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点E，F在C，D中间，且点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，如图2，图3所示，求的值．

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【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，角平分线的定义及等角对等边求出AD＝DE＝5，CB＝CF＝5，即可求解；
（2）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出DE＝AD＝5，BC＝CF＝5，即可完成求解；②证明出EF＝CD即可完成求解；
（3）本小题由于E、F点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 DE＝AD，CF＝CB以及点C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．
【解答】解：【问题情境】（1）∵∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，
∴∠DAE＝∠BAE，∠ABF＝∠CBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，AD＝5，
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝8，
∴∠DEA＝∠BAE，∠ABF＝∠CFB，
∴∠DEA＝∠DAE，∠CBF＝∠CFB，
∴AD＝DE＝5，CB＝CF＝5，
∴EF＝AD+CF﹣CD＝2，
故答案为：2；
【知识拓展】（2）①如图①所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝5，
同理：BC＝CF＝5，
∵点E与点F重合，
∴AB＝CD＝DE+CF＝10；
②如图②所示：

∵点E与点C重合，
∴DE＝AD＝5，
∵CF＝BC＝5，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝5；
【综合运用】（3）分两种情况：
①如图2所示：

同（2）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴；
②如图3所示：

同（2）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴；
综上所述，的值为或．
【点评】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等边对等角等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．
20．（2022秋•未央区期末）问题提出：

（1）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，tan∠EAF＝1，连接EF，则线段EF，BE和DF之间的数量关系是 　EF＝BE+DF　．（提示：将△ABE绕点A旋转至△ADG）．
（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，．已知∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　∠B+∠D＝180°　时，EF＝BE+DF成立．
（3）问题解决：为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课．学校内有一个空置讲堂，如图3，其俯视图是边长为12m的正方形ABCD，高为4m，现需用隔音板材填充AE，AF，EF，（板材填充至顶部，隔板上门的面积忽略），分隔中四个空间进行实践教学，点E，F分别在边BC，CD上（EC＞FC），EF＝10m，∠EAF＝45°，求共需消耗的板材面积．

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【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】（1）将△ABE绕点A旋转至△ADG，根据旋转的性质可知：AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，由tan∠EAF＝1，可得∠EAF＝45°，即可证得△EAF≌△GAF，据此即可得线段EF，BE和DF之间的数量；
（2）把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，连接FG，方法同（1）即可证得△EAF≌△GAF，EF＝GF，故当点F、D、G三点共线时，EF＝BE+DF，据此即可解答；
（3）将△AFD绕点A顺时针旋转得到△ATB，则BT＝DF，∠DAF＝∠BAT，AT＝AF，再根据正方形的性质可得点T，B，C共线，可证得△TAE≌△FAE，可得TE＝10m，设FC＝xm，则DF＝（12﹣x）m，BE＝（x﹣2）m，EC＝（14﹣x）m，利用勾股定理可求得FC＝6m，EC＝8m，，，据此即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
如图1，将△ABE绕点A旋转至△ADG，
∴AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，∠ADG＝∠ABC＝90°，DG＝BE，
∴∠FDG＝∠ADC+∠ADG＝180°，
∴点F，D，G共线，
∵tan∠EAF＝1，
∴∠EAF＝45°，
∵∠EAB+∠EAF+∠FAD＝90°，
∴∠EAB+∠FAD＝45°，
∴∠GAD+∠FAD＝∠GAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF与△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
（2）把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，连接FG，

∴AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，∠ADG＝∠ABC，DG＝BE，
∵，
∴∠EAF＝60°，
∵∠EAB+∠EAF+∠FAD＝120°，
∴∠EAB+∠FAD＝∠BAD﹣∠EAF＝120°﹣60°＝60°，
∴∠GAD+∠FAD＝∠GAF＝60°，
∴∠EAF＝∠GAF＝60°，
在△EAF与△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵EF＝BE+DF＝GD+DF，
∴GF＝EF＝DG+DF，
∴点F，D，G共线，
∴∠FDG＝∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠B+∠D＝180°，
故当∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，
故答案为：∠B+∠D＝180°；
（3）如图，将△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ATB，

则BT＝DF，∠DAF＝∠BAT，AT＝AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD＝DC＝BC＝12m，
∴∠TBC＝180°，
∴点T，B，C共线．
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°
∴∠TAE＝∠TAB+∠BAE＝∠EAF＝45°．
在△TAE与△FAE中，
，
∴△TAE≌△FAE（SAS），
∴TE＝EF＝TB+BE＝DF+BE＝10m．
设FC＝xm，则DF＝（12﹣x）m，BE＝EF﹣DF＝（x﹣2）m，EC＝BC﹣BE＝（14﹣x）m，
在Rt△EFC中，EC2+FC2＝EF2，
得（14﹣x）2+x2＝102，
解得x1＝6或x2＝8，
∴FC＝6m或8m，
∴EC＝8m或6m，
∵EC＞FC，
∴FC＝6m，EC＝8m，DF＝6m，BE＝4m，
由勾股定理，得，，
∴所需板材面积＝，
答：共需消耗板材面积为．


【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，根据旋转的性质，构造全等三角形是解决本题的关键．

考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

7．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
8．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
9．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
10．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
11．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
12．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
14．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
15．四边形综合题
四边形综合题．
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