2023年中考数学二轮复习之图形的相似(含解析)

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2023年中考数学二轮复习之图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•镇海区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为（　　）

A．2 B．4 C．9 D．10
2．（2022秋•余姚市期末）已知线段a＝3，b＝12，则a，b的比例中项线段等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．9
3．（2022秋•紫金县期末）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，相似比是2：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
4．（2022秋•永春县期末）若，则的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．
5．（2022秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）

A． B． C． D．
6．（2022秋•万州区期末）如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（　　）

A．8 B．6 C．5 D．4
7．（2022秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F，则下列结论中错误的是（　　）

A．△AFE∽△DFC B．AD＝AF C．DA平分∠BDE D．∠CDF＝∠BAD
8．（2022秋•龙华区校级期末）如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列条件后不能判定△ADB与△ABC相似的是（　　）

A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
9．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1＝∠B．当EA＝ED时，则BD的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
10．（2022秋•叙州区期末）数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长BA为20米（如图），然后在A处树立一根高3米的标杆，测得标杆的影长AC为4米，则楼高为（　　）

A．10米 B．12米 C．15米 D．25米
二．填空题（共8小题）
11．（2022秋•榕城区期末）如图，l1∥l2∥l3，BC＝2cm，＝3，则AB的长为 　 　．

12．（2022秋•扶风县期末）如图，点P把线段AB的黄金分割点，且AP＜BP．如果AB＝2，那么BP＝　 　（结果保留小数）．

13．（2022秋•扶风县期末）已知线段a＝2，b＝8，则线段a和b的比例中项为 　 　．
14．（2022秋•东湖区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：3，若S△AEF＝1，则△ADF的面积为 　 　．

15．（2022秋•永春县期末）如图，AB∥CD∥EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，E和点B，D，F．已知AC＝3，AE＝7，DF＝5，则BF的长为 　 　．

16．（2022秋•叙州区期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G在线段AC上，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，如果EG＝3，那么AC的长为 　 　．

17．（2022秋•镇海区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过E作EF⊥DE，交AB边于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．
（1）当CE＝4时，则EF的长＝　 　．
（2）点H在DC上，且HD＝1，连接HG，则HG长的最小值是 　 　．

18．（2022秋•西湖区校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则AF：FD＝　 　，S△BFD：S△ABC＝　 　．

三．解答题（共2小题）
19．（2022秋•余姚市期末）计算：
（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°；
（2）已知，求的值．
20．（2022秋•未央区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在正方形网格顶点上．以原点O为位似中心，相似比为1：2，在y轴的右侧，画出将△ABO放大后得到的△A1B1O．


2023年中考数学二轮复习之图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•镇海区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为（　　）

A．2 B．4 C．9 D．10
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式可得出答案．
【解答】解：∵AD：AF＝3：5，
∴，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，准确找到对应线段是解题的关键．
2．（2022秋•余姚市期末）已知线段a＝3，b＝12，则a，b的比例中项线段等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．9
【考点】比例线段．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】利用比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可．
【解答】解：设a，b的比例中项线段为c，
则：c2＝ab＝3×12＝36，
∵c＞0，
∴c＝6．
故选：C．
【点评】本题考查的是比例线段．熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键．
3．（2022秋•紫金县期末）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，相似比是2：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
【考点】位似变换．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是2：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为4：9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
4．（2022秋•永春县期末）若，则的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据比例的性质进行解答．
【解答】解：由，设a＝3x，b＝5x，
把a＝3x，b＝5x代入
故选：B．
【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
5．（2022秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）

A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力．
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵DE∥BC，，
∴△ADE∽△ABC，，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方这一知识点，熟知这条知识点是解题的关键．
6．（2022秋•万州区期末）如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（　　）

A．8 B．6 C．5 D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平移的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力．
【分析】根据线段的中点定义可得CD＝BC，再根据平移的性质可得：AB∥A′B′，从而可得∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，进而可得△ABC∽△A′DC，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴CD＝BC，
由平移得：AB∥A′B′，
∴∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，
∴△ABC∽△A′DC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ABC的面积为16，
∴△A′DC的面积＝△ABC的面积＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2022秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F，则下列结论中错误的是（　　）

A．△AFE∽△DFC B．AD＝AF C．DA平分∠BDE D．∠CDF＝∠BAD
【考点】相似三角形的判定；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据旋转得到∠B＝∠ADE，AB＝AD，推出∠B＝∠ADB，即可判断C；利用两个角对应相等的两个三角形相似判断A；利用相似三角形的性质判断D；没有条件证得B正确，即可得到答案．
【解答】解：∵将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴DA平分∠BDE，故C正确；
∵∠AFE＝∠CFD，∠E＝∠C，
∴△AFE∽△DFC，故A正确；
∴∠CDF＝∠CAE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠CDF＝∠BAD，故D正确；
没有条件证明∠ADF＝∠AFD，即不能判断AD＝AF．
故选：B．
【点评】此题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟记各定理是解题的关键．
8．（2022秋•龙华区校级期末）如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列条件后不能判定△ADB与△ABC相似的是（　　）

A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
【考点】相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意；
当时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，不符合题意；
当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
9．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1＝∠B．当EA＝ED时，则BD的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力．
【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠1，再利用等量代换可得∠EAD＝∠B，然后利用两角相等的两个三角形的相似证明△CAD∽△CBA，从而利用相似三角形的性质可求出CD的长，进而求出BD的长．
【解答】解：∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠1，
∵∠1＝∠B，
∴∠EAD＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2022秋•叙州区期末）数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长BA为20米（如图），然后在A处树立一根高3米的标杆，测得标杆的影长AC为4米，则楼高为（　　）

A．10米 B．12米 C．15米 D．25米
【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】解：∵＝，
即＝，
∴楼高＝15米．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
二．填空题（共8小题）
11．（2022秋•榕城区期末）如图，l1∥l2∥l3，BC＝2cm，＝3，则AB的长为 　4cm　．

【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】由平行线分线段成比例，可得比例式：，代入值，利用线段间的关系，直接求解．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵BC＝2cm，，
∴，
∴AB＝4cm，
故答案为：4cm．
【点评】本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键．
12．（2022秋•扶风县期末）如图，点P把线段AB的黄金分割点，且AP＜BP．如果AB＝2，那么BP＝　1.2　（结果保留小数）．

【考点】黄金分割．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】由黄金分割的定义得，即可得出答案．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），
∴，
∴，
故答案为：1.2．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．
13．（2022秋•扶风县期末）已知线段a＝2，b＝8，则线段a和b的比例中项为 　4　．
【考点】比例线段．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据比例中项的定义得到c2＝ab，然后利用算术平方根的定义求c的值．
【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝2×8＝16，
∴c＝4（负值舍去）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
14．（2022秋•东湖区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：3，若S△AEF＝1，则△ADF的面积为 　4　．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据题意可得：△AFE∽△CFD，根据相似的性质可得：S△AFE：S△CFD＝1：16，且S△AEF＝1，而S△ADF：S△CFD＝1：4，即可求得△ADF的面积为4．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：3，
∴AE：CD＝1：4，
∵∠FAE＝∠FCD，∠AFE＝∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴AF：CF＝AE：CD＝1：4，
∴S△AFE：S△CFD＝1：16，且S△AEF＝1，
∴S△CFD＝16，
∵AF：CF＝1：4，
∴S△ADF：S△CFD＝1：4，
∴S△ADF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了利用相似比求面积，理解相似比的特征是解决本题的关键．
15．（2022秋•永春县期末）如图，AB∥CD∥EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，E和点B，D，F．已知AC＝3，AE＝7，DF＝5，则BF的长为 　　．

【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【分析】求出CE＝4，再由平行线分线段成比例定理得＝，即可得出结论．
【解答】解：∵AC＝3，AE＝7，
∴CE＝AE﹣AC＝7﹣3＝4，
∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
即＝，
解得：BF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
16．（2022秋•叙州区期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G在线段AC上，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，如果EG＝3，那么AC的长为 　9　．

【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【分析】由平行线分线段成比例定理得＝＝，＝＝，得出AE、CG的长，即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，EG＝3，
∴＝＝，＝＝，
∴AE＝EG＝2，CG＝EG＝4，
∴AC＝AE+EG+CG＝2+3+4＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
17．（2022秋•镇海区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过E作EF⊥DE，交AB边于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．
（1）当CE＝4时，则EF的长＝　　．
（2）点H在DC上，且HD＝1，连接HG，则HG长的最小值是 　4.4　．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）过E作EM⊥DC于M，延长ME交AB于N，证明△CEM～△CAD和△DME～△ENF，根据相似三角形的性质可求解；
（2）连结AG并延长交CD的延长线与L，分别证明△ANE～△ABC和△CDE～△ADG，根据相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）过E作EM⊥DC于M，延长ME交AB于N，
则△CEM∽△CAD，
∴＝＝，
∴ME＝，CM＝，
∴DM＝，EN＝，
在Rt△DME中，DE＝，
∵∠DME+∠EDM＝90°，∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
又∠DEM＝∠FNE，
∴△DME∽△ENF，
∴＝，
∴EF＝，
故答案为：；
（2）连结AG并延长交CD的延长线与L，
∵△DME∽△ENF，
∴，
∵△ANE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∵∠CDE＝∠ADG，
∴△CDE∽△ADG，
∴∠DCA＝∠DAL，
∴tan∠DCA＝tan∠DAL＝，
∴当HG⊥AL时，HG最小，S△ALH＝AD•HL＝GH•AL，
∵AD＝6，DL＝，LH＝，AL＝，
∴HG＝＝，
故答案为：4.4．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三形的判定和性质等知识是解题的关键．
18．（2022秋•西湖区校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则AF：FD＝　3：2　，S△BFD：S△ABC＝　2：15　．

【考点】平行线分线段成比例；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；推理能力．
【分析】连接ED．先根据已知条件证明△CDE∽△CBA，推出，DE∥BA，再证明△EDF∽△BAF，利用相似三角形的性质得出，最后通过等高三角形的面积比等于底长之比即可求解．
【解答】解：如图所示，连接ED，

∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴，，
∵∠DCE＝∠BCA，
∴△CDE∽△CBA，
∴，∠EDC＝∠ABC，
∴DE∥BA，
∴∠EDF＝∠BAF，∠FED＝∠FBA，
∴△EDF∽△BAF，
∴，
∴，
∴，
∵CD＝2BD，
∴，
∴，
故答案为：3：2，2：15．

【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质，相似三角形的判定与性质，等高三角形的面积比等于底长之比是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
19．（2022秋•余姚市期末）计算：
（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°；
（2）已知，求的值．
【考点】比例的性质；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值代入计算即可．
（2）变形得y＝2x，代入化简计算即可．
【解答】解：（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°
＝
＝
＝．
（2）根据题意得y＝2x，
故．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，条件求值，熟记三角函数值，掌握消元变形代入计算的技能是解题的关键．
20．（2022秋•未央区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在正方形网格顶点上．以原点O为位似中心，相似比为1：2，在y轴的右侧，画出将△ABO放大后得到的△A1B1O．

【考点】作图﹣位似变换．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；几何直观．
【分析】根据位似图变换的定义和性质作出点A和点B的对应点，再与点O顺次连接即可得到答案．
【解答】解：如图，△OA1B1即为所求．
．

【点评】本题考查了作图—位似变换，熟练掌握位似变换的定义和性质是解题关键．

考点卡片
1．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
3．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
4．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
6．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
7．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
8．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
9．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
10．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
11．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
12．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
13．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
14．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
16．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
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