2023年中考数学二轮复习之圆(含解析)

这是一份2023年中考数学二轮复习之圆(含解析)，共34页。
2023年中考数学二轮复习之圆
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•青川县期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD⊥AB于点E，若OA：OE＝5：3，则弦CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2022秋•西青区期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，连接AB，BC，AC，OA，OB，∠BAO＝20°，则∠ACB的大小是（　　）

A．90° B．70° C．60° D．40°
3．（2022秋•南宁期末）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC度数为（　　）

A．100° B．80° C．50° D．40°
4．（2022秋•镇海区期末）如图，⊙O的弦长为8cm，⊙O的半径为5cm，则弦AB的弦心距为（　　）

A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm
5．（2022秋•沧州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（　　）

A． B． C． D．
6．（2022秋•河西区期末）已知⊙O的半径为6cm，点M到圆心O的距离为5cm，则该点M与⊙O的位置关系为（　　）
A．点M在圆内 B．点M在圆上 C．点M在圆外 D．无法判断
7．（2022秋•南充期末）如图，点A，B，C均在⊙O上，OA⊥OB，若∠A＝20°，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．45° C．60° D．65°
8．（2022秋•西湖区校级期末）如图，已知圆心角∠AOB＝140°，则圆周角∠ACB＝（　　）

A．40° B．70° C．110° D．120°
9．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（　　）

A．36° B．45° C．60° D．75°
10．（2022秋•西青区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝12，若⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，且△ABC的周长为32，则DF的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
二．填空题（共6小题）
11．（2022秋•朔城区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为 　 　cm．

12．（2023•龙川县校级开学）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值为 　 　．

13．（2022秋•兴县期末）如图，AB是⊙O的弦，BD是⊙O的切线，OD与AB相交A于与点E，且OD⊥OA，若OA＝6cm，OE＝3cm，则DB的长度等于 　 　cm．

14．（2022秋•韩城市期末）若一个圆的内接正六边形的边长为2，则这个圆的半径是 　 　．
15．（2022秋•南充期末）如图，在正五边形ABCDE中，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F，若AB＝6．则弧EF的长为 　 　．

16．（2022秋•南昌县期末）若一直角三角形外接圆的半径为2.5，内切圆的半径为1，则其面积是 　 　．
三．解答题（共4小题）
17．（2022秋•河西区期末）如图，⊙O的直径AB＝12，以OA为直径的⊙O1交大圆的弦AC于点D，过D点作小圆的切线交OC于点E，交AB于点F．
（1）说明D是AC的中点；
（2）猜想DF与OC的位置关系，并说明理由．

18．（2022秋•柳州期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是⊙O上异于A、B的点，点C是中点，连接AD、AC、BC、CD，过C作CE⊥AD交AD延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CE＝3，求⊙O的半径．

19．（2022秋•镇海区期末）如图1，在锐角△ABC中，AB＝AC，圆O为△ABC的外接圆．

（1）求证：OA平分∠BAC．
（2）如图2，点E在弧AB上，CE分别与OA，BA交于点F，G，且CF＝BE．
①求证：BG⊥EF；
②若EF＝2，CF＝3，求圆O的半径．
③如图3，连结BO并延长交AC于D，交CE于H，若DH＝OH，求cos∠BAC的值．

20．（2022秋•南开区期末）已知四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC．

（1）如图①，若点D为中点，∠ADC＝124°，求∠CAB和∠CAD的大小；
（2）如图②，若点C为中点，过点C作⊙O的切线与弦AD的延长线交于点E，连接DB，当AD＝2，半径为3时，求EC的长．

2023年中考数学二轮复习之圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•青川县期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD⊥AB于点E，若OA：OE＝5：3，则弦CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】先根据勾股定理求出CE的长，再根据垂径定理即可求出CD的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵弦CD⊥AB于点E，OA：OE＝5：3，
∴OE＝3，
根据勾股定理，得CE＝＝＝4，
再根据垂径定理，得CD＝2CE＝8．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理以及垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
2．（2022秋•西青区期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，连接AB，BC，AC，OA，OB，∠BAO＝20°，则∠ACB的大小是（　　）

A．90° B．70° C．60° D．40°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据题意可知△AOB是等腰三角形，∠BAO＝20°，可得出∠AOB的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案．
【解答】解：∵AO＝OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵∠BAO＝20°，
∴∠OBA＝20°，即∠AOB＝140°，
∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠ACB＝70°．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题的关键．
3．（2022秋•南宁期末）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC度数为（　　）

A．100° B．80° C．50° D．40°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝100°，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了求圆周角的度数，掌握圆周角定理是解题的关键．即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半．
4．（2022秋•镇海区期末）如图，⊙O的弦长为8cm，⊙O的半径为5cm，则弦AB的弦心距为（　　）

A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm
【考点】垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OA，过点O作OC⊥AB，根据垂径定理得出AC＝4cm，再由勾股定理即可求解．
【解答】解：连接OA，过点O作OC⊥AB，

∵OC⊥AB，⊙O的半径为5cm，⊙O的弦长为8cm，
∴OA＝5cm，AC＝4cm，
由勾股定理得：OC＝，
∴弦AB的弦心距为3cm．
故选：C．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出AC长．
5．（2022秋•沧州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】切线的性质；平移的性质；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】连接，根据正切的定义求出∠ABO，根据切线长定理得到∠OBF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理计算得到答案．
【解答】解：⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值，
设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，则OE⊥BC，OF⊥AB，

∵AC＝6，，
∴，，
∴∠ABC＝60°，∠OBF＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：C．

【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、切线长定理，根据题意得出AD为点A到⊙O上点的距离的最大值是解题的关键．
6．（2022秋•河西区期末）已知⊙O的半径为6cm，点M到圆心O的距离为5cm，则该点M与⊙O的位置关系为（　　）
A．点M在圆内 B．点M在圆上 C．点M在圆外 D．无法判断
【考点】点与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，点M到圆心O的距离为5cm，
∴d＜r，
∴点M与⊙O的位置关系是：点M在圆内．
故选：A．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
7．（2022秋•南充期末）如图，点A，B，C均在⊙O上，OA⊥OB，若∠A＝20°，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．45° C．60° D．65°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据圆周角定理知∠AOB＝2∠C，再根据三角形内角和定理得∠B+∠C＝∠O+∠A，易得答案．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠O＝90°，
∴∠C＝∠O＝45°，
∵∠B+∠C＝∠O+∠A，
∴∠B＝∠O+∠A﹣∠C＝90°+20°﹣45°＝65°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（2022秋•西湖区校级期末）如图，已知圆心角∠AOB＝140°，则圆周角∠ACB＝（　　）

A．40° B．70° C．110° D．120°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据圆周角定理求出劣弧所对的圆周角度数，再根据圆内接四边形对角互补的性质即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝140°，
∴劣弧所对的圆周角度数为：，
∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质是解题关键．
9．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（　　）

A．36° B．45° C．60° D．75°
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OC，OD，OE，由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理即可求解．
【解答】解：如图：连接OC，OD，OE，

∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴．
故选：C．

【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠COE＝120°是解决问题的关键．
10．（2022秋•西青区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝12，若⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，且△ABC的周长为32，则DF的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】根据切线长定理可得：AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，再证明△ADF是等边三角形即可作答．
【解答】解：∵⊙O内切于△ABC，
∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，
∵∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵△ABC的周长为32，
∴AB+BC+AC＝32，
∴AD+BD+BE+EC+CF+AF＝32，
∵BC＝12，
∴BE+EC＝12，
∴BE+EC＝BD+FC＝12，
∴AD+AF＝32﹣（BD+BE+EC+CF）＝8，
∵AD＝AF＝DF，
∴AD＝AF＝DF＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，掌握切线长定理是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2022秋•朔城区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为 　8　cm．

【考点】垂径定理的应用；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由垂径定理得，再由勾股定理得AC＝4cm，即可得出结论．
【解答】解：由题意得：OC⊥AB，
∴，∠OCA＝90°，
∵OA＝OD＝5cm，CD＝2cm，
∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm），
在Rt△OAC中，
由勾股定理得：AC＝＝＝4（cm），
∴AB＝2AC＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
12．（2023•龙川县校级开学）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值为 　﹣2　．

【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】首先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠BCP＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB
∴∠CAP+∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
在Rt△CBO中，
∵∠OCB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝＝＝4，
∴OB＝＝，
∴PB＝OB﹣OP＝﹣2．
∴PB最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．

【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
13．（2022秋•兴县期末）如图，AB是⊙O的弦，BD是⊙O的切线，OD与AB相交A于与点E，且OD⊥OA，若OA＝6cm，OE＝3cm，则DB的长度等于 　　cm．

【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】证明△DEB是等腰三角形，DE＝DB，设DB＝DE＝x，根据勾股定理得x2+62＝（x+3）2，解得，则DB长度等于．
【解答】解：连接OB
∵AO＝BO＝6cm，
∴∠BAO＝∠ABO，
∵DB⊥BO，DO⊥AO，
∴∠DBA+∠ABO＝90°∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠DBA＝∠AEO．
∵∠AEO＝∠DEB，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴△DEB是等腰三角形，DE＝DB，
设DB＝DE＝x cm，
根据勾股定理得x2+62＝（x+3）2，
解得．
故答案为：．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握等腰三角形和勾股定理的知识是解题关键．
14．（2022秋•韩城市期末）若一个圆的内接正六边形的边长为2，则这个圆的半径是 　2　．
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】证△BGC是等边三角形，利用等边三角形的性质即可解决．
【解答】解：如图，在正六边形ABCDEF内，BG＝CG＝DG，BC＝DC，
易证△BGC≌△DGC（SSS），
同理△BGC≌△DGC≌△DGE≌△EGF≌△FGA≌△AGB，
∴∠BGC＝360°÷6＝60°，
∴△BGC是等边三角形，BG＝BC＝2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了等边三角形的证明和性质的应用，圆内接正多边形，解题的关键是结合题意证明等边三角形．
15．（2022秋•南充期末）如图，在正五边形ABCDE中，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F，若AB＝6．则弧EF的长为 　　．

【考点】正多边形和圆；弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力．
【分析】如图，连接AF，BF．证明△ABF是等边三角形，求出∠EAF，利用弧长公式求解．
【解答】解：如图，连接AF，BF．
在正五边形中，∠EAB＝108°，
∵AF＝AB＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝∠EAB﹣∠FAB＝108°﹣60°＝48°，
∴弧EF的长＝＝．
故答案为：．

【点评】本题考查正多边形与圆，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，记住弧长公式l＝．
16．（2022秋•南昌县期末）若一直角三角形外接圆的半径为2.5，内切圆的半径为1，则其面积是 　6　．
【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD＝CF＝1，根据切线长定理得出AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，求出AD+BF＝AE+BE＝AB＝5，即可求出△ABC的周长，在结合即可求得面积．
【解答】解：⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，

则∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD＝CF＝1，
由切线长定理得：AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，
∵直角三角形的外接圆半径为2.5，内切圆半径为1，
∴AB＝5＝AE+BE＝BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝5+1+1+5＝12，
∴．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、内切圆与内心，掌握圆周角定理、直角三角形的内心与三边的关系是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
17．（2022秋•河西区期末）如图，⊙O的直径AB＝12，以OA为直径的⊙O1交大圆的弦AC于点D，过D点作小圆的切线交OC于点E，交AB于点F．
（1）说明D是AC的中点；
（2）猜想DF与OC的位置关系，并说明理由．

【考点】切线的性质；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）连接OD，证明OD⊥AC即可；
（2）连接连接O1D，证明O1D∥OC即可得到结论．
【解答】解：（1）连OD．

∵OA为⊙O1的直径，
∴OD⊥AC，
∵OA＝OC，
∴D是AC的中点．
（2）垂直．
理由：连接O1D，
∵DF为⊙O1的切线，
∴O1D⊥DF，即∠O1DF＝90°．
∵O1，D分别为AO，AC中点，
∴O1D∥OC，
∴∠OEF＝∠O1DF＝90°，
∴DF⊥OC．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
18．（2022秋•柳州期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是⊙O上异于A、B的点，点C是中点，连接AD、AC、BC、CD，过C作CE⊥AD交AD延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CE＝3，求⊙O的半径．

【考点】切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）如图，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，推出OC∥AD，根据平行线的性质得到∠OCE＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）如图，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，根据矩形的性质得到OC＝EG，OG＝EC＝3，设⊙O的半径为x，则GD＝x﹣1根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵点C是弧中点，
∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，
∵∠E＝∠OCE＝∠OGE＝90°，
∴四边形OGEC是矩形，
∴OC＝EG，OG＝EC＝3，
设⊙O的半径为x，则GD＝x﹣1
在Rt△OGD中，由勾股定理得：OD2＝OG2+DG2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
解得：x＝5，
∴⊙O的半径是5．

【点评】本题考查了切线的判定和性质定理，勾股定理平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（2022秋•镇海区期末）如图1，在锐角△ABC中，AB＝AC，圆O为△ABC的外接圆．

（1）求证：OA平分∠BAC．
（2）如图2，点E在弧AB上，CE分别与OA，BA交于点F，G，且CF＝BE．
①求证：BG⊥EF；
②若EF＝2，CF＝3，求圆O的半径．
③如图3，连结BO并延长交AC于D，交CE于H，若DH＝OH，求cos∠BAC的值．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】（1）证明△AOB≅△AOC，即可得出OA平分∠BAC；
（2）①连结BF，证明△ABF≅△ACF，推出∠ABE＝∠ABF，即可求证；②连结BO并延长交⊙O于M，连结CM，根据，即可求出半径的长；③延长BD交⊙O于M，连结CM，利用相似三角形的性质和判定即可求解．
【解答】（1）证明：连结OB、OC，
∵OA＝OA，OB＝OC，AB＝AC，
∴△AOB≅△AOC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO；

（2）①连结BF，
∵AF＝AF，∠BAF＝∠CAF，AB＝AC，
∴△ABF≅△ACF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABF，BF＝CF，
又∵∠ACF＝∠ABE，BE＝CF，
∴∠ABE＝∠ABF，BE＝BF，
∴BG⊥EF，且EG＝FG；
②连结BO并延长交⊙O于M，连结CM，
则∠BCM＝90°，
由EF＝2，CF＝3知EG＝FG＝1，BF＝CF＝3，
∴，，
∴，
∴，即半径为；

③延长BD交⊙O于M，连结CM，
∵∠DAO＝∠OAB＝∠ABO，∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO～△BDA，
∴，
即AD2＝DO⋅DB，
∵∠DBC＝90°﹣∠M＝90°﹣∠BAC＝∠DCH∠CDH＝∠BDC，
∴△DCH～△DBC，
∴，即CD2＝DH⋅DB，
又∵DH＝HO，
∴，
∴，
∵AO⊥BC，CM⊥BC，
∴AO∥CM，
∴△DCM～△DAO，
∴，即，
∴，，
∴．



【点评】本题考查圆的综合，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，全等三角形的知识，解题的关键是能够利用性质和判定定理，进行推理．
20．（2022秋•南开区期末）已知四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC．

（1）如图①，若点D为中点，∠ADC＝124°，求∠CAB和∠CAD的大小；
（2）如图②，若点C为中点，过点C作⊙O的切线与弦AD的延长线交于点E，连接DB，当AD＝2，半径为3时，求EC的长．
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补可求∠CBA，利用圆周角定理可得∠ACB＝90°，再利用三角形内角和定理即可求出∠CAB；根据点D为中点，可得，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠CAD；
（2）先利用圆周角定理、切线的定义、垂径定理的推论证明∠EDF＝∠ECF＝∠CFD＝90°，进而得出四边形DECF是矩形，CE＝DF，再利用勾股定理求出BD，利用垂径定理可得，即可求出EC的长．
【解答】解：（1）如图，连接BD．

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝124°，
∴∠CBA＝180°﹣∠ADC＝180°﹣124°＝56°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠CBA＝90°﹣56°＝34°．
∵点D为中点，
∴，
∴∠CAD＝∠CBD＝28°．
综上可知∠CAB＝34°，∠CAD＝28°．
（2）如图，连接OC交BD于点F．

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∵CE为⊙O的切线，
∴CE⊥OC，即∠ECF＝90°，
∵点C为中点，OC为过圆心的线段，
∴OC⊥BD，即∠CFD＝90°，
∵∠EDF＝∠ECF＝∠CFD＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴CE＝DF．
∵AD＝2，半径为3，∠ADB＝90°，
∴，
∵OC⊥BD，
∴，
∴．


【点评】本题考查圆周角定理、切线的定义、垂径定理及其推论、勾股定理、矩形的判定与性质、圆内接四边形的性质等，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识，逐步进行推导．

考点卡片
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
2．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
3．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
4．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
5．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
6．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
7．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
8．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
9．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
10．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
11．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
12．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
13．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
14．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
15．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
16．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
17．圆的综合题
圆的综合题．
18．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
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