2023年广东省东莞市虎门五中、成才实验学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省东莞市虎门五中、成才实验学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列简笔画图案中，是轴对称图形的为(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列实数中，是有理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  新型冠状病毒的平均直径为米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某地号汽油价格三月底是元升，五月底是元升，设该号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，、、是上的三个点，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：

；；；，
其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式 ______ ．

12.  点关于轴的对称点的坐标是______．

13.  将抛物线向右平移个单位，可得到抛物线______ ．

14.  如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于，则的值为        ．

15.  如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点不与重合，点为的中点，若，，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，中，，请按要求解决问题．
求作的平分线交边于点用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法
若，，求的面积．

19.  本小题分
中华文化渊源流长，在文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，现东莞某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
本次调查所得数据的众数是______ 部，中位数是______ 部；将条形统计图补充完整；
这项被调查的总人数是多少人？
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角的度数是多少？
没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树出图的方法求他们恰好选中同一名著概率．

20.  本小题分
如图，在中，，、分别是边、的中点，连接、，过点作交的延长线于点．
证明：四边形是平行四边形；
若，，求四边形的周长．
 

21.  本小题分
为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间，学校组织七年级学生参加义务植树，美化校园活动．已知甲班共植树棵，乙班共植树棵，两班完成植树任务所用时间相同，且甲班每天比乙班少植树棵．
问甲、乙两班每天各植树多少棵？
学校计划购进桂花树苗和榕树苗共棵，桂花树苗每棵元，榕树苗每棵元．设桂花树苗买了棵，购买两种树苗所需总费用为元，求与的函数关系式．
在的条件下，如果购买榕树苗的数量不多于桂花树苗数量的一半，求购买桂花树苗多少棵时总费用最低？

22.  本小题分
如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
求证：是的切线；
若，，求线段的长；
与是否相似？请说明理由．

23.  本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的一点包括端点，其横坐标为．

求抛物线的解析式；
当为何值时，面积取得最大值？请说明理由；
如图，连接，抛物线的对称轴上是否存在点，使得，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、图形不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了利用轴对称图形设计图案．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查有理数，解题的关键是熟练运用有理数的定义，本题属于基础题型．根据有理数的定义即可求出答案．
【解答】
解：有理数是整数和分数的集合，因此只有是有理数，选项D符合题意，选项ABC不符合题意．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：．
根据算术平方根，完全平方公式，同底数幂除法，合并同类项等计算法则求解即可．
本题主要考查了求算术平方根，完全平方公式，同底数幂除法，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出，再利用三角形内角和定理求出的度数即可．
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知两直线平行，同位角相等，三角形内角和为是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．
本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据边形的内角和为解答．
【解答】
解：设这个多边形的边数为，则
，
解得，
故这个多边形为六边形．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：依题意得，
故选：．
利用该地号汽油五月底的价格该地号汽油三月底的价格该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，得：，
解得，
故选：．
根据方程有两个不相等的实数根得出，解之可得答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：、、是上的三个点，，
，
故选：．
利用圆周角定理进行求解即可．
本题主要考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图知：抛物线与轴有两个不同的交点，则，故正确；
抛物线开口向上，得：；
抛物线的对称轴为，，故；
抛物线交轴于负半轴，得：；
所以；
故正确；
根据可将抛物线的解析式化为：；
由函数的图象知：当时，；即，故正确；
根据抛物线的对称轴方程可知：关于对称轴的对称点是；
当时，，所以当时，也有，即；故正确；
所以这四个结论都正确．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先提取公因式再利用平方差公式法因式分解即可．
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法和平方差公式法的运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

13.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位，可得到抛物线，
故答案为：．
根据二次函数图象平移的规律即可得出答案．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移规律是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可知：，即．
又反比例函数的图象位于第二象限，
，
．
故答案为：．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．
本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长交于点，连接、，
，即，且是的直径，
，
点为的中点，
，
当取最大值时，也取得最大值，
设的半径为，则，
在中，，
，
解得：，
的最大值为，
的最大值为，
故答案为：．
延长交于点，连接、，根据垂径定理得到，推出，得到当取最大值时，也取得最大值，然后在中利用勾股定理即可求解．
本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算特殊角三角函数值，化简二次根式和计算零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：



，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的除法计算，正确计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，即为所求．

如图所示，过点作于点
在中，已知．
，
为的角平分线，
角平分线上的点到角两边的距离相等，
在和中，
≌，
，，
设，则，
在中，则，
解得：．
的面积为，
故答案为：． 

【解析】作的平分线交于，根据角平分线的性质得到点即可；
过点作于点，利用角平分线的性质结合三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了角平分线的作法与性质，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：由统计图可知读完了部的有人，人数最多，
本次调查所得数据的众数是部；人，
本次调查的人数为人，
将这人读完名著的部数从低到高排列，处在第名和第名读的名著数分别为部，部，
中位数是部，
读完部的人数为人，
故答案为：，；
补全统计图如下：

人，
本次调查的人数为人；
，
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角的度数是；
西游记、三国演义、水浒传、红楼梦分别用字母、、、表示，
树状图如图所示：

一共有种等可能的结果，其中他们恰好选中同一名著的可能性有种，
他们恰好选中同一名著的概率为．
根据读部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得到众数和中位数，再求出读部的人数，进而补全统计图即可；
根据读部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
用乘以读部的人数占比即可得到答案；
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】证明：、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：在中，由勾股定理得：，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，，
是边的中点，
，
，是的延长线，
，
在中，由勾股定理得：，
四边形的周长． 

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理是解题的关键．
证是的中位线，得，由平行四边形的判定即可得出结论；
先由勾股定理得，再由三角形中位线定理得，然后由平行四边形的性质得，，再由勾股定理得，即可得出答案．
 

21.【答案】解：设乙班每天植树棵，则甲班每天植树棵，依题意得：
，
解得：，
检验：把，代入，
是原方程的解，
棵；
由桂花树苗买了棵，则榕树树苗买了棵，
依题意得：；
依题意得：，
解得：，
，且为整数，
，
随的增大而增大，
则当时，有最小值；
答：甲班每天植树棵，乙班每天植树棵；
与的函数表达式为；
桂花树苗购买棵时总费用最低． 

【解析】本题主要考查一次函数的应用，解决此类一次函数的最值的题目，通常需要得到一个一次函数，再根据增减性，判断其最值．
每个班植树的天数等于植树的总棵树除以每天植树的棵树，表示出甲乙两班每天植树的棵树，再根据他们用的时间相等可以构建方程，求出甲乙两班每天各植树的棵数．
桂花树苗买了棵，则榕树买了棵，然后表示总费用即可．
根据购买榕树苗的数量不多于桂花树苗数量的一半，然后列出不等式就可以求出的取值范围，再根据一次函数的增减性，就可以找到总费用最低时，桂花树的棵树．
 

22.【答案】证明：如图所示，连接，

圆心在上，
是的直径，
，
平分，
，
，
，即，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：在中，由勾股定理得，
，
，
，
为的直径，
，
在中，，即，
；
解：∽，理由如下：
，
，
，
，
，，
，
∽． 

【解析】由直径所对的圆周角为直角得到为直角，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证；
利用勾股定理求出的长，进而求出，
先由平行线的性质和圆周角定理证明，再由平角的定义和圆内接四边形的性质证明，即可证明∽．
此题考查了相似三角形的判定，切线的判定，圆周角定理，等等，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
 

23.【答案】解：把，代入抛物线解析式中得：，
，
抛物线解析式为；
如图所示，连接，，过点作轴交于，过点作分别交直线，于、，
设直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
直线与直线平行，
，
，
点在运动过程中的长保持不变，
要使的面积最大，则最大，即要使最大，
，
当最大时，最大，即此时的面积最大，
是点，间抛物线上的一点包括端点，其横坐标为，
，，
，
，
，
当时，最大，即此时的面积最大；

如图所示，过点作使得，过点作轴于，连接，
，
，
，
又，
≌，
，，
在中，令，则，
，
，
，，
，
；
，，
，
与抛物线的交点即为点，
同法可求出直线的解析式为，
联立解得或，
点的坐标为；

如图所示过点作使得，过点作轴于，连接，
同理可得，，
与抛物线的交点即为点，
同理可得同理可求出直线的解析式为，
联立解得或，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
 

【解析】利用待定系数法求解即可；
如图所示，连接，，，过点作轴交于，过点作分别交直线，于、，先求出直线的解析式为，进而得到直线于直线平行，则点在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，，则，求出，据此求解即可；
分图和图两种情况过点作使得，过点作轴于，连接，可证明，则与抛物线的交点即为点，利用一线三垂直模型求出点的坐标，进而求出直线的解析式，再联立直线的解析式和抛物线解析式求出点的坐标即可．
本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．