2023年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  实数在数轴上的对应点的位置如图所示若，则的值可以是(    )
A.  B.  C.  D. 2.  太阳的体积约为立方千米，将这个数用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是(    )A.
B.
C.
D. 4.  不等式组的解集是(    )A.  B.  C.  D. 无解5.  将一副三角尺厚度不计如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的大小为(    )
 A.  B.  C.  D. 6.  如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆的高度，点、在同一条水平线上，测角仪在处测得旗杆最高点的仰角为若测角仪，，则旗杆的高度为(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图，是的直径，是弦，垂直于过点的切线，垂足为点若，则的大小为(    )A.
B.
C.
D. 8.  如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过、两点连结、，过点作轴于点，交于点若，，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.  分解因式：______．10.  若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ．11.  如图，在平面直角坐标系中，点，点将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为          ．
 12.  如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点若，则的大小是______ 度
 13.  如图，是等边的外接圆若，则的长是______ 结果保留．
 14.  在平面直角坐标系中，点、在抛物线上当时，抛物线上、两点之间含、两点的图象的最高点的纵坐标为，则的值为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．16.  本小题分
某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲朗诵短文、电影片段配音”这三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试甲、乙两位同学报名参加了测试，请用画树状图或列表的方法，求这两位同学恰好都抽到即兴演讲测试项目的概率．17.  本小题分
某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树棵，实际植树棵所需时间与原计划植树棵所需时间相同，求实际每天植树的棵数．18.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不要求写出画法．

在图中作的角平分线．
在图、图中，过点作一条直线，使点、到直线的距离相等，图、图所画直线不相同．19.  本小题分
如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．
求证：四边形是菱形．
若点是的中点，，，则的值为______ ．
20.  本小题分
为整体提升学生的综合素质，某中学利用课后服务时间，对七年级名学生全员开设了、、三类课程经过一个学期的课程学习，学校想了解学生课程学习的效果，从中随机抽取名学生进行了检测这三类课程的成绩均为百分制，抽取的名学生、、三类课程的成绩情况统计图如下：

例如：学生甲类课程的成绩是分，则该生类课程的成绩是分，类课程的成绩是分．
学生乙类课程的成绩是分，则该生类课程的成绩是______ 分
学生丙类课程的成绩是分，则该生三类课程的平均成绩是______ 分
在图中补全这名学生类课程成绩的频数分布直方图．
数据分成组：，，，，，，
学校规定成绩在分及以上为优秀，估计该校七年级学生类课程成绩优秀的人数．21.  本小题分
装有一个进水管和一个出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，分钟时，再打开出水管排水，分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完在整个过程中，容器中的水量升与时间分钟之间的函数关系如图所示．
进水管注水的速度为______ 升分钟．
当时，求与之间的函数关系式．
求的值．
22.  本小题分
【问题原型】如图，在，，，求点到的距离．
【问题延伸】如图，在，，若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______ ．
【问题拓展】如图，在矩形中，点在边上，点在边上，点在线段上，连结若，则的最小值为______ ．
 23.  本小题分
如图，在中，，，点为边的中点点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动以为边作正方形，点在边上设点的运动时间为秒．
用含的代数式表示线段的长．
连接，则 ______ 度；当点与点的距离最短时，线段的长为______ ．
连接，当将正方形的面积分为：两部分时，求的值．
作点关于直线的对称点，当点、点到的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出的值．
24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点点在直线上运动点不与点、重合，过点作轴的平行线，交抛物线于点设点的横坐标为．
求这条抛物线所对应的函数表达式．
求线段的长用含的代数式表示
以为边作矩形，使轴，且点的横坐标为．
当矩形的面积被坐标轴平分时，求的值．
当矩形的周长随的增大而增大，且矩形的边与抛物线有两个交点时，直接写出的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：观察数轴得：，
，
的值可以是．
故选：．
观察数轴得：，即可求解．
本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，根据数轴得到是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：将这个数用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法表示绝对值较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：从左边看，看到的图形分为上下两层，下面一层有个正方形，上面一层右边有个正方形，即看到的图形为，
故选：．
根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
本题考查了简单组合体的三视图，熟知从左边看到的图形是左视图是解答的关键．
 4.【答案】 【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
首先解两个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：如图，

，
，
又，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，再根据三角尺各角的度数以及邻补角的定义即可得的度数．
此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
 6.【答案】 【解析】解：过点作交于点，
由题意得：，

，




故选：．
过点作交于点，根据仰角的正切值解直角三角形，求出，最后再求解即可．
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握构造直角三角形的方法并利用三角函数解直角三角形是解决本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：如图，连接．

由题意可知为的切线，
．
，
，
．
，
．
故选：．
连接，根据切线的性质可得出，从而可证，进而得出最后根据等边对等角即得出．
本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质．连接常用的辅助线是解题关键．
 8.【答案】 【解析】解：过点作轴，作，

轴，
∽，
，

，
设点，
，
，
代入得：，即，
，
，，
，
，
解得：．
故选：．
过点作轴，作，由平行线可得∽，即，设点，可用含有，的代数式分别表示，，，根据列方程求解即可．
本题主要考查反比例函数与相似三角形，熟练运用相似三角形对应边成比例的性质得到边的关系并能利用面积列方程是解决本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 11.【答案】 【解析】解：设．
线段绕点旋转得到线段，
，
点，点，
，，
，，
．
设，根据题意构建方程组求解即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是学会利用参数解决问题即可．
 12.【答案】 【解析】解：由作图方法可知是线段的垂直平分线，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
先根据作图方法得到是线段的垂直平分线，则，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，即可得到答案．
本题主要考查了线段垂线的尺规作图，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：连接，，过点点作交于点，

是等边三角形，
，
，
是圆心，，
，
，
，
的弧长，
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理得到，所以为等腰三角形，过点作，由含角的直角三角形的性质求出半径，然后根据弧长公式可计算出劣弧的长．
本题主要考查弧长的计算，利用垂径定理以及圆周角定理求出半径的长是解决本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：由函数解析式可知抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
当时，，不符合题意；
当时，抛物线上、两点之间含、两点的图象的最高点的纵坐标不可能为，不符合题意；
当时，随增大而增大，
当时，函数值，
即，
解得，
，
，
故答案为：．
根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及顶点坐标，然后分情况结合抛物线的增减性进行求解即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及增减性是解本题的关键．
 15.【答案】解：原式

，
当时，原式，
化简结果为，值为． 【解析】先进行乘法运算，然后去括号，合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可．
本题考查了平方差公式，整式的运算，代数式求值．解题的关键在于正确的运算．
 16.【答案】解：画树状图如下：

．
答：两位同学恰好都抽到即兴表演测试项目的概率是． 【解析】用画树状图法求解两位同学恰好都抽到测试项目的概率即可．
本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是计算概率的关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．
 17.【答案】解：设实际每天植树棵．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：实际每天植树棵． 【解析】设实际每天植树棵，根据题意可列方程，然后计算即可．
本题主要考查分式的应用，解题的关键是理解题意．
 18.【答案】解：由图可得：，找到线段中点，连接点和中点的射线即是的角平分线；

解：要使点、到直线的距离相等，即过点、向直线作垂线，垂线段距离相等；
故图图中的直线即为所求作．
 【解析】根据等腰三角形三线合一即可做出；
利用网格过点、向直线作垂线，垂线段距离相等即可．
本题考查了作图，涉及等腰三角形的性质、平行线的性质等，理解题意，灵活运用所学知识是解题关键．
 19.【答案】 【解析】证明：垂直平分，
，，
，，
≌．
．
，
四边形是平行四边形．
，
▱是菱形．
解：

四边形是菱形，
又，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
由垂直平分，得出，，可得出≌，由此可知，根据菱形的判定即可求证．
由四边形是菱形，，可知，根据勾股定理求出，点是的中点，得出，即可求解．
本题主要考查了菱形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定和性质是解此题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：由统计图可知，
若类课程的成绩是分，则该生类课程的成绩是分．
故答案为：．
由统计图可知，
若类课程的成绩是分，则该生类成绩为分，类成绩为分，
平均成绩为．
故答案为：．
由统计图可知，
类课程的成绩在的人数为人，分数在的人数为人．
补全频数分布直方图如图．

分数高分有人人．
答：该校七年级学生类课程成绩优秀的人数约为人．
观察统计图可得出答案；
观察统计图可得出答案．
由统计图可知，类课程的成绩在的人数为人，分数在的人数为人，即可补全频数分布直方图．
用七年级总人数乘以样本中类课程成绩优秀的人数占比即可．
本题考查统计图、频数分布直方图、平均数、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 21.【答案】 【解析】解：进水管注水的速度为升分钟；
故答案为：
设与之间的函数关系式为，
将，代入，得：，
解得：，
与之间的函数关系式为．
根据题意得：升分，
，
．
观察图象得：分钟进水管注水升，即可求解；
利用待定系数法解答，即可求解；
先求出出水管排水的速度，再求出拍完升水所用的时间，即可求解．
本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键
 22.【答案】  【解析】解：如图，过点作于，过点作于．

，
．
在中，．
，
．
点到的距离为．
如图，连接，过点作于，过点作于．

，
的最小值等于的长，
当时，的长最小，此时点与点重合，
的最小值等于的长，
，
．
在中，．
，
．
即的最小值为；
故答案为：

如图，过点作于点，连接，过点作于点，

在中，，
，
，
的最小值等于，
当时，的长最小，即的长最小，此时点与点重合，
的最小值等于，
四边形是矩形，
，，
，
，
即的最小值等于．
过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；
连接，过点作于，过点作于根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；
过点作于点，连接，过点作于点，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
 23.【答案】   【解析】解：由题可得：当时，；
当时，．

如图：连接，，
四边形是正方形，
，
在中，，，
，
当，即时，有最小值．

故答案为：；；

如图：当时，，，

，，
，即，
，
，
，即，即，
解得：．

如图：当时，，，，
，，
，
解得：．


如图：当时，，点、点到直线距离相等，即点、点、点在同一条直线上，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，即，
作点关于直线的对称点，
≌，
，，
，
，
，
解得：；

如图：当时，，点、点到直线距离相等，即点、点、点在同一条直线上，
作点关于直线的对称点，
≌，
、，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，即，
，
，，即，
，
四边形是平行四边形，
，
，解得：；

当时，，点、点到直线距离相等，即点、点、点在同一条直线上，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，即，
作点关于直线的对称点，
≌，
，
，
，解得：．

综上，当点、点到的某一条直角边所在直线距离相等时，的值为或或．
直接根据题意分和两种情况解答即可；
如图：连接，，根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理列出的表达式，再根据配方法即可解答；
分和两种情况，分别画出图形，再根据图形以及已知条件列式计算即可；
分和两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理进行计算即可．
本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、对称的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
 24.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得，
这条抛物线所对应的函数表达式为；
设直线：，
将点和点代入得：，
解得：，
直线所对应的函数表达式为，
设，，，
当或时，，
当时，；
当矩形的面积被轴平分时，如图、图，，
解得，，
当矩形的面积被轴平分时，如图，，
解得：；

设矩形的周长为，，
当时，即时，此时点在点的右边，
，
当时，，
，
当时，周长随的增大而增大，
由图可知当，矩形的边和抛物线有两个交点；
当时，即，且此时点在点的左边，
，
，
当时，矩形周长随的增大而增大，
已知抛物线的对称轴为：，
当时，矩形的边与抛物线有两个交点时，，
解得：，
当时，如图所示，矩形的边与抛物线有两个交点，
综上所述，的取值范围为：，，．
 【解析】利用待定系数法，将点和点代入抛物解析式求解即可；
利用点和点的坐标求出直线的解析式，再用含的代数式分别表示点，的坐标，求出的长即可；
分类讨论，被轴平分可得，的纵坐标互为相反数列方程求解；被轴平分时，，的横坐标互为相反数求解即可；结合图象，根据，的相对位置得出的范围，再结合，的相对位置用含有的代数式表示出矩形的周长，求出随的增大而增大对应的取值范围，最后结合图象判断矩形的边与抛物线有两个交点时的取值范围．
本题主要考查二次函数综合，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式以及根据二次函数图象轴对称的性质列方程，运用分类讨论的思想解决问题是解决本题的关键．