考点06 一元二次方程及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（解析版）

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考点06 一元二次方程及其应用

首先一元二次方程及其解法是初中数学计算的基础，很多几何问题都需要有一元二次方程的解题基础，其次，正是因为一元二次方程在后续几何问题中也有占比，所以中考数学中单独考察的问题占比并不大，其中，一元二次方程的各考点均有可能出成小题考察，而解答题则多出有关于一元二次方程的解法、一元二次方程的应用题等问题，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的众坐标公式记混了。



一、 一元二次方程及其解法
二、 一元二次方程根的判别式
三、 一元二次方程根与系数的关系
四、 一元二次方程的简单应用
考向一：一元二次方程及其解法
1. 一元二次方程的一般形式：
判断一元二次方程的特征：
2. 一元二次方程的解法：
解法
适用范围
步骤

直接
开方法


符合型的一元二次方程
1) 两边分别开方，得：；
2) 两边同除以系数，得，
因式
分解法

化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程
(1) 将一元二次方程化成一般是
(2) 将“=”左边的部分因式分解
(3) 让各部分因式分别=0
(4) 各部分因式分别=0的x的值即为方程的解

配方法
适用二次项系数为1的一元二次方程
1) 将一般形式的常数项移到“=”右边
2) 两边同时加上一次项系数一半的平方，得到式的一元二次方程
3) 利用直接开方法求解方程


公式法


适用所有一元二次方程
(1) 将方程写成一般式；
(2) 分别写出a、b、c的表达式，带入求出根的判别式的值
(3) 将数据带入公式，得到方程的两个解x1、x2
【易错警示】
Ø 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；
Ø 一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；
Ø 一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a、b、c以及b2-4ac的值，之后再带入计算；

1．一元二次方程3（x2﹣3）＝5x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．3，﹣5；9 B．3，﹣5，﹣9 C．3，5，9 D．3，5，﹣9
【分析】先把一元二次方程化成一般形式得到3x2﹣5x﹣9＝0，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．
【解答】解：去括号得3x2﹣9＝5x，
移项得3x2﹣5x﹣9＝0，
所以二次项系数为3，一次项系数为﹣5，常数项为﹣9．
故选：B．
2．若m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个实数根，则2019﹣m2﹣2m的值是 　2018　．
【分析】根据题意可得：把x＝m代入方程x2+2x﹣1＝0中得：m2+2m﹣1＝0，从而可得m2+2m＝1，然后利用整体的思想进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2+2x﹣1＝0中得：
m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∴2019﹣m2﹣2m＝2019﹣（m2+2m）
＝2019﹣1
＝2018，
故答案为：2018．
3．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　）
x
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ax2+bx+c
﹣0.44
﹣0.25
﹣0.04
0.19
0.44
A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．0.6＜x＜0.7 D．0.7＜x＜0.8
【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：由表格可知：当x＝0.6时，ax2+bx+c＝﹣0.04，当x＝0.7时，ax2+bx+c＝0.19，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）一个解x的范围为0.6＜x＜0.7，
故选：C．
4．如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　）

A．±2 B．±3 C．3或﹣1 D．2或﹣1
【分析】利用运算程序得到2（x﹣1）2＝8，利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：根据题意2（x﹣1）2＝8，
∴（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
故选：C．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝﹣5 B．（x﹣4）2＝5 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9
【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣4x+4＝5+4，
（x﹣2）2＝9，
故选：C．
6．方程2x2﹣10x＝3的解是 　x1＝，x2＝　．
【分析】先将原方程化成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．
【解答】解：2x2﹣10x＝3，
2x2﹣10x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）
＝100+24
＝124，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝，
故答案为：x1＝，x2＝．
7．解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）2x2﹣7x+3＝0；
（3）9（x+1）2＝（2x﹣5）2；
（4）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0．
【分析】（1）利用配方法得到（x+2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法把方程转化为2x﹣1＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程；
（3）把方程两边开方得到3（x+1）＝±（2x﹣5），然后解两个一次方程；
（4）把方程看作关于（x+2）的一元二次方程，然后利用配方法解方程．
【解答】解：（1）x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
x+2＝±，
所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）2x2﹣7x+3＝0，
（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝，x2＝3；
（3）9（x+1）2＝（2x﹣5）2，
3（x+1）＝±（2x﹣5），
即3（x+1）＝2x﹣5或3（x+1）＝﹣（2x﹣5），
所以x1＝﹣8，x2＝；
（4）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0，
[（x+2）﹣5]2＝0，
x+2﹣5＝0，
所以x1＝x2＝3．
考向二：一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程的一般形式：，
(1) 方程有两个不相等的实数根
(2) 方程有两个相等的实数根
(3) 方程没有实数根
【易错警示】
Ø 在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
Ø 当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知

1．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣4 B．k＞﹣3 C．k＞﹣3且k≠1 D．k≥﹣3且k≠1
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝16+4（k﹣1）＝4k+12＞0，且k﹣1≠0，
解得：k＞﹣3且k≠1．
故选：D．
3．若关于x的方程x2+2x﹣m+9＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤8 B．m≥8 C．m＞8 D．m＜8
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝4+4m﹣36≥0，解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣m+9＝0有实数根，
∴Δ＝22﹣4（﹣m+9）＝4+4m﹣36≥0，
解得m≥8，
故选：B．
4．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k可取最大整数是 　﹣1　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4k＞0，解不等式得k＜，然后在此范围内找出最大整数即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4k＞0，
解得k＜1，
因为k为二次项的系数，k≠0，
所以k可取的最大整数为﹣1．
故答案为﹣1．
5．已知，关于x的一元二次方程x2+（k+3）x﹣2＝0，请完成下面的问题．
（1）若此方程有一个根是1，请求出另一个跟及k的值．
（2）求证：此方程一定有两个不相等的实数根．
【分析】（1）设此方程的另一个根是x1，由根与系数关系得：x1•1＝﹣2，1+（﹣2）＝﹣（k+3），解得即可；
（2）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明Δ＞0即可．
【解答】（1）解：设此方程的另一个根是x1，由根与系数关系得：x1•1＝﹣2，
∴x1＝﹣2，
由1+（﹣2）＝﹣（k+3），
∴k＝﹣2．
∴另一个根为﹣2，，k的值为﹣2；
（2）证明：b2﹣4ac＝（k+3）2﹣4×（﹣2）×1＝（k+3）2+8，
∵（k+3）2≥0，
∴（k+3）2+8＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
考向三：一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程的两个根为，则有，

1．关于x的一元二次方程x2+px+4＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系来求方程的另一个根，即可得到答案．
【解答】∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+px+4＝0的两个根，
∴一元二次方程的根与系数的关系得，
∵x1＝2，
∴即方程的另一个解是2．
故选：D．
2．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．0 B．1 C．2022 D．2021
【分析】根据题意可得a+b＝﹣1，a2+a﹣2022＝0，从而得到a2+a＝2022，再代入，即可求解．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2022＝0，
∴a2+a＝2022，
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2022+（﹣1）＝2021．
故选：D．
3．设一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1、x2，则的值为（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣5
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2及x1•x2的值，再把原式化为的形式进行计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5，
∴＝＝＝﹣．
故选：B．
4．等腰三角形的三边长分别为a，b，1，且关于x的一元二次方程x2﹣4x+n+2＝0的两个根是a和b，则n的值为（　　）
A．1 B．1或2 C．2 D．1且2
【分析】分1为底边长或腰长两种情况考虑：当1为底时，由a＝b及a+b＝4即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出n+2＝2×2即可；当1为腰时，则a、b中有一个为1，则另一个为3，由1、1、3不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论．
【解答】解：当1为底边长时，则a＝b，a+b＝4，∴a＝b＝2．
∵1，2，2能围成三角形，
∴n+2＝2×2，
解得：n＝2；
当1为腰长时，a、b中有一个为1，则另一个为3，
∵1，1，3不能围成三角形，
∴此种情况不存在．
故选：C．
5．已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）的值为（　　）
A．2020 B．2022 C．2 D．4
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出α2+2020α＝﹣1、β2+2020β＝﹣1、αβ＝1，将（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）转化为4αβ代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，
∴α2+2020α＝﹣1，β2+2020β＝﹣1，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝（α2+2020α+1+2α）（β2+2020β+1+2β）＝4αβ＝4．
故选：D．
6．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）如果方程有两个实数根x1，x2当（x1﹣x2）2＝4时，求出m的值．
【分析】（1）根据方程根的判别式即可得出Δ＝（m﹣3）2≥0，由此即可证出结论；
（2）根据根与系数的关系式得到x1+x2＝m+1，x1x2＝2（m﹣1），由（x1﹣x2）2＝4得到一个关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝m+1，x1x2＝2（m﹣1），
∵（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（m+1）2﹣8（m﹣1）＝4，
∴m2﹣6m+5＝0，
解得m＝1或5．
∴m的值为1或5．
考向四：一元二次方程的实际应用
列方程解应用题的一般步骤：
步骤
“点睛”
“审”（即审题）
“审”题目中的已知量、未知量、基本关系；
“设”（即设未知数）
一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量
“列”【即列方程】
找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程
“解”【即解方程】
根据一元二次方程的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现
“验”（即检验）
非题目要求，此步可以不写
检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意
“答”（即写出答案）
最后的综上所述

1．某展览馆计划将长60m，宽40m的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是面积为1500m2的一个矩形展览区，四周留有等宽的通道（如图所示），求通道的宽．设通道的宽为xm，根据题意列方程正确的是（　　）

A．（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1500
C．（60﹣x）（40﹣2x）＝1500 D．（60﹣x）（40﹣x）＝1500
【分析】设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣2x）米，根据中间的矩形展览区的面积为1500平方米，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣2x）米，
根据题意得：（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500，
故选：A．
2．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．2500（1+x）2＝3200 B．2500（1﹣x）2＝3200
C．3200（1﹣x）2＝2500 D．3200（1+x）2＝3200
【分析】可根据：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．
【解答】解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2＝2500，
故选：C．
3．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有 　9　人．
【分析】设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝72，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴该小组共有9人．
故答案为：9．
4．如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，已知草坪的面积为矩形面积的，若设道路的宽为xm，则所列方程为 　（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12　．

【分析】设道路的宽为xm，则余下的部分可合成长（20﹣x）m，宽（12﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为整个矩形面积的，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设道路的宽为xm，则余下的部分可合成长（20﹣x）m，宽（12﹣x）m的矩形，
依题意得：（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12，
g故答案为：．
5．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的宽AB长为x米，请你用含x的代数式表示BC的长为 　（24﹣3x）　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时AB的长度．

【分析】（1）设花圃的宽AB为x米，由矩形面积S＝长×宽，列出BC长的解析式即可；
（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长变为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．
【解答】解：（1）BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x．
故答案为：（24﹣3x）；
（2）x（24﹣3x）＝45，
化简得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝5，x2＝3．
当x＝5时，24﹣3x＝9＜14，符合要求；
当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，不符合要求，舍去．
答：花圃的宽为5m．

1．（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得（x+3）2＝﹣c+9，可得2c＝﹣c+9，解方程即可得c的值．
【解答】解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝2c，
∴2c＝﹣c+9，解得c＝3，
故选：C．
2．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（　　）
A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4
C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，
（x﹣6）（x+4）＝0，
x﹣6＝0或x+4＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣4，
故选：B．
3．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1，
故选：D．
4．（2022•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：A．
5．（2022•巴中）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）
A．k＞﹣ B．k＜﹣ C．k＞﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可．
【解答】解：根定义新运算，得x2﹣x＝k，
即x2﹣x﹣k＝0，
∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，
解得：，
故选：A．
6．（2022•兰州）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
7．（2022•河南）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：在一元二次方程x2+x﹣1＝0中，
a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（2022•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
9．（2022•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（　　）
A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6
【分析】根据根与系数的关系求出x2，a的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣a，
∵x1＝﹣1，
∴x2＝3，x1•x2＝﹣3＝﹣a，
∴a＝3，
∴原式＝3﹣（﹣1）2﹣32
＝3﹣1﹣9
＝﹣7．
故选：B．
10．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　）
A．8 B．10 C．7 D．9
【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
11．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（　　）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
【分析】若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，则二月份的口罩产量是30（1+x）万个，三月份的口罩产量是30（1+x）2万个，根据三月份的口罩产量是50万个，列出方程即可．
【解答】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得，30（1+x）2＝50．
故选：A．
12．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
13．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　6　．
【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
14．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是　x1＝2，x2＝﹣4　．
【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解答】解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
15．（2020•雅安）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝　6　．
【分析】设x2+y2＝t．则原方程转化为关于t的一元二次方程t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0；然后解关于t的方程即可．
【解答】解：设x2+y2＝t（t≥0）．则
t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0，
解得，t＝6或t＝﹣1（不合题意，舍去）；
故x2+y2＝6．
故答案是：6．
16．（2022•荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　1　．
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1，
∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，
∴k＝1，
故答案为：1．
17．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　15x（10﹣x）＝360　（不必化简）．

【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），
则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．
故答案为：15x（10﹣x）＝360．
18．（2022•徐州）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 　c＜﹣　．
【分析】根据判别式的意义得到＝12+4c＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12+4c＜0，
解得c＜﹣．
故答案为：c＜﹣．
19．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是 　3　．
【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
∴x1•x2＝3，
故答案为：3．
20．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　20%　．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
由题意得25（1+x）2＝36，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为20%．
故答案为：20%．
21．（2018•兰州）解方程：3x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】先找出a，b，c，再求出b2﹣4ac＝28，根据公式即可求出答案．
【解答】解：a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，
则△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，
则＝
即，
∴原方程的解为，
22．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
23．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答；
（2）利用根与系数的关系和已知可得，求出α，β的值，再根据αβ＝﹣3m2，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．

1．（2022•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（　　）
A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0
【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为a，
∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，
∴4﹣4+m＝0，
解得m＝0，
则﹣2a＝0，
解得a＝0．
故选：B．
2．（2022•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（　　）
A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6
【分析】先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或x＝﹣1，
①x1＝3，x2＝﹣1时，＝3，
②x1＝﹣1，x2＝3时，＝﹣9，
故选：A．
3．（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（　　）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
【分析】根据各方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可求出各方程根的判别式Δ的值，取Δ≥0的选项即可得出结论．
【解答】解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，
∴方程2x2﹣x+1＝0没有实数根；
B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；
C．∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根；
D．∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，
∴方程x2+2＝0没有实数根．
故选：C．
4．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（　　）
A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2
C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，
则x＝＝＝﹣2±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，
故选：D．
5．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　）
A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9
【分析】方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可计算出c的值．
【解答】解：∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：C．
6．（2022•甘肃）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（　　）
A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．
故选：C．
7．（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x，
根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
8．（2022•大连）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　）
A．36 B．9 C．6 D．﹣9
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：B．
9．（2022•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　）
A．0 B．﹣10 C．3 D．10
【分析】由于m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣2，mn＝﹣5，而m是方程的一个根，可得m2+2m﹣5＝0，即m2+2m＝5，那么m2+mn+2m＝m2+2m+mn，再把m2+2m、mn的值整体代入计算即可．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故选：A．
10．（2022•西宁）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣
【分析】利用Δ的符号求出k的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，
∴12﹣4×2×（﹣k）＜0，
∴1+8k＜0，
∴k＜﹣．
故选A．
11．（2022•内蒙古）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A．
12．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（　　）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．
【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0．
故选：B．
13．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝，
则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
∴a＝1，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
14．（2022•眉山）设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x12+x22的值为 　10　．
【分析】由根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；
故答案为：10．
15．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　30%　（用百分数表示）．
【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
0.3＝30%，
∴新注册用户数的年平均增长率为30%．
故答案为：30%．
16．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜2且k≠1　．
【分析】根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，
解得k＜2且k≠1，
所以k的取值范围是k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
17．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 　1　．
【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
18．（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　（11﹣2x）（7﹣2x）＝21　．

【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是（11﹣2x）cm，宽为（7﹣2x）cm，然后根据长方形的面积＝长×宽，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，
故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．
19．（2022•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为 　2　．
【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把+＝x12+2x2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．
【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵+＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
20．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
21．（2022•广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式化简T；
（2）根据根的判别式可求a2+ab，再代入计算可求T的值．
【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2
＝6a2+6ab；
（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，
∴a2+ab＝1，
∴T＝6×1＝6．
22．（2022•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“＜”或“＞”填空：a　＜　b，ab　＜　0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．

【分析】（1）先根据数轴确定a、b的正负，再利用乘法法则确定ab；
（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．
【解答】解：（1）由数轴上点的坐标知：a＜0＜b，
∴a＜b，ab＜0．
故答案为：＜，＜．
（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，
Δ＝22﹣4×1×（﹣1）
＝4+4
＝8，
∴x＝
＝
＝
＝﹣1±．
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0．
∴x1＝0，x2＝3；
③利用配方法：x2﹣4x＝4，
两边都加上4，得x2﹣4x+4＝8，
∴（x﹣2）2＝8．
∴x﹣2＝±2．
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；
④利用因式分解法：x2﹣4＝0，
∴（x+2）（x﹣2）＝0．
∴x1＝﹣2，x2＝2．
23．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．

【分析】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据扩充后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，
根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，
整理得：x2+50x﹣275＝0
解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），
∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，
根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，
即3（35+y）＝5（15+y），
解得：y＝15，
∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．
答：新的矩形绿地面积为1500m2．
24．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【分析】（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，利用总价＝单价×数量，结合该网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出（78﹣2a）件，利用平均每天销售B款钥匙扣获得的总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
依题意得：，
解得：．
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，
依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（80﹣m）＝3m+960．
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此时80﹣m＝80﹣40＝40．
答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，
依题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，
整理得：a2﹣64a+1020＝0，
解得：a1＝30，a2＝34．
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
25．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣　；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣0，再模仿例题解决问题．
【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；
故答案为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；

（2）∵a≠b，
∴a2≠b2或a2＝b2，
①当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝．
②当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2＝，此时a4+b4＝2a4＝2（a2）2＝，
综上所述，a4+b4＝或．
（3）令＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴≠﹣n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴，
故+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．

1．（2022•顺城区模拟）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x2﹣＝0 B．2x+3y＝0
C．2x2+3＝2（x2+3x） D．y2﹣3y＝4
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是方式方程，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．化简可得6x﹣3＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2022•汉阳区校级模拟）将一元二次方程2x2+7＝9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．2，9 B．2，7 C．2，﹣9 D．2x2，﹣9x
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：2x2+7＝9x化成一元二次方程一般形式是2x2﹣9x+7＝0，则它的二次项系数是2，一次项系数是﹣9．
故选：C．
3．（2022•南岸区校级模拟）若m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，则3﹣2m2+2m的值是（　　）
A．2 B．1 C．4 D．5
【分析】把m代入方程得到m2﹣m的值，变形代数式后整体代入得结果．
【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1．
∴3﹣2m2+2m
＝3﹣2（m2﹣m）
＝3﹣2×1
＝3﹣2
＝1．
故选：B．
4．（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，由于关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是x＝2022，于是可判断一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为2020．
【解答】解：一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，
所以此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，
因为关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，
所以关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是x＝2022，
即x+2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为2020．
故选：A．
5．（2022•永康市模拟）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个解，则﹣4a2+6a的值为（　　）
A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣40
【分析】把x＝a代入方程求得2a2﹣3a＝5，然后根据﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）即可求解．
【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣3a﹣5＝0，
则2a2﹣3a＝5，
则﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）＝﹣10．
故选：B．
6．（2022•黄冈模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣m2﹣1＝0的两个根，则a2+3b+ab的值等于（　　）
A．8 B．9
C．10 D．与m的值有关
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2﹣3a＝m2+1，a+b＝3，ab＝﹣m2﹣1，再将其代入a2+3b+ab＝a2﹣3a+3（a+b）+ab中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣m2﹣1＝0的两个根，
∴a2﹣3a＝m2+1，a+b＝3，ab＝﹣m2﹣1，
∴a2+3b+ab＝a2﹣3a+3a+3b+ab＝a2﹣3a+3（a+b）+ab＝m2+1+3×3﹣m2﹣1＝9．
故选：B．
7．（2022•东阿县三模）观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（　　）
x
﹣1
0
1
2
3
4
x2+3x﹣5
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【分析】由表格可发现x2+3x﹣5的值﹣1和5最接近0，再看对应的x的值即可得到答案．
【解答】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，x2+3x﹣5＝0，即这个数是x2+3x﹣5＝0的一个根．
x2+3x﹣5＝0的一个解x的取值范围为1和2之间．
故选：C．
8．（2022•白云区一模）方程（x+1）2＝9的解为（　　）
A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4
【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程（x+1）2＝9，
开方得：x+1＝3或x+1＝﹣3，
解得：x1＝2，x2＝﹣4．
故选：A．
9．（2022•义乌市模拟）用配方法解方程x2﹣8x+1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝5 B．（x﹣4）2＝16 C．（x﹣4）2＝7 D．（x﹣4）2＝15
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣8x+1＝0，
x2﹣8x＝﹣1，
x2﹣8x+16＝﹣1+16，
（x﹣4）2＝15，
故选：D．
10．（2022•镇海区校级二模）已知（a2+b2）2﹣8（a2+b2）﹣48＝0，则a2+b2的值为（　　）
A．12 B．4 C．﹣4 D．12或﹣4
【分析】设a2+b2＝m，则原方程化为：m2﹣8m﹣48＝0，解出m的值即可确定a2+b2的值．
【解答】解：设a2+b2＝m，
则原方程化为：m2﹣8m﹣48＝0，
解得m＝﹣4（不符合题意，舍去）或m＝12，
∴a2+b2＝12，
故选：A．
11．（2022•瓯海区模拟）如图是小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（　　）

A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步
【分析】将二次项系数化为1，继而将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得，继而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣4x﹣2＝0，
∴x2﹣4x＝2，
则x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步，
故选：C．
12．（2022•城关区一模）已知一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根是菱形的一条边和一条对角线的长，则这个菱形的面积是（　　）
A．3 B． C．4 D．或4
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝3，然后分类讨论，根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理计算出菱形的另一条对角线，然后根据菱形的面积公式计算．
【解答】解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
当菱形的一边长为2，一条对角线长为3，则菱形的另一条对角线长为2＝，此时菱形的面积＝×3×＝；
当菱形的一边长为3，一条对角线长为2，则菱形的另一条对角线长为2＝4，此时菱形的面积＝×2×4＝4，
综上所述，菱形的面积为或4．
故选：D．
13．（2022•铁岭模拟）关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a＝0根的情况是（　　）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝22﹣4×a×（﹣a）＝4+a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
14．（2022•大理州二模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据题意可得根的判别式Δ＞0，列出不等式，求出k的取值范围，在此取值范围内找出符合条件的k的非负整数值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）×1＞0，且k﹣2≠0，
∴k＜3且k≠2，
∴符合条件的k的非负整数值是0，1．
故选：B．
15．（2022•仁怀市模拟）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2020的值是（　　）
A．2024 B．2022 C．2021 D．2020
【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2＝3﹣a，则a2﹣b+2020化为2023﹣（a+b），再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣3＝0的实数根，
∴a2+a﹣3＝0，
∴a2＝3﹣a，
∴a2﹣b+2020＝3﹣a﹣b+2020＝2023﹣（a+b），
∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2﹣b+2020＝2023﹣（﹣1）＝2024．
故选：A．
16．（2022•仁怀市模拟）若α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，且αβ﹣2α﹣2β＝﹣11，则b的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β＝﹣b，αβ＝﹣1，代入αβ﹣2α﹣2β＝﹣11得到关于b的方程，求出b的值即可．
【解答】解：∵α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，
∴α+β＝﹣b，αβ＝﹣1，
∴αβ﹣2α﹣2β＝αβ﹣2（α+β）＝﹣1+2b＝﹣11．
∴b＝﹣5．
故选：C．
17．（2022•西华县三模）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A．82+x2＝x2 B．82+（x﹣3）2＝x2
C．82+x2＝（x﹣3）2 D．x2+（x﹣3）2＝82
【分析】由绳索的长度，可得出木柱的高度，再利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若设绳索长x尺，则木柱高（x﹣3）尺，
根据题意得：82+（x﹣3）2＝x2．
故选：B．
18．（2022•肥东县校级模拟）春节期间，阜阳市商务局组织举办了“皖美消费，乐享阜阳”﹣2022年跨年迎新购物季”列促销活动，某超市对一款原价位a元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价x%，此时售价共降低了b元，则（　　）
A．b＝a（1﹣2x%） B．b＝a﹣a（1﹣x%）2
C．b＝a（1﹣x%）2 D．b＝a﹣a（1﹣2x%）
【分析】根据某超市对一款原价位a元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价x%，此时售价降低了b元列方程即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，b＝a﹣a（1﹣x%）2，
故选：B．
19．（2022•泉港区模拟）小张的书法作品荣获学校书法比赛一等奖．作品尺寸如图所示：书法作品长5尺，宽3尺；将书法作品贴在一张矩形装裱纸的正中央，书法作品四周外露装裱纸的宽度相同；矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍．设书法作品四周外露装裱纸的宽度为x尺，下面所列方程正确的是（　　）

A．（5+2x）（3+2x）＝2×5×3 B．（5+x）（3+x）＝2×5×3
C．2（5+2x）（3+2x）＝5×3 D．（5+2x）（3+2x）＝5×3
【分析】根据关键语句“矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍”列出方程求解即可．
【解答】解：根据题干，矩形装裱纸的长为（5+2x）尺，宽为（3+2x）尺，
其面积为（5+2x）（3+2x）平方尺，
根据题意得：
（5+2x）（3+2x）＝2×5×3，
故选：A．
20．（2022•竞秀区二模）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8100元，且今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致，则4月份的房价单价为每平方米（　　）
A．7300元 B．7290元 C．7280元 D．7270元
【分析】设今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率为x，利用今年3月份的房价＝今年1月份的房价×（1﹣今年房价在2月份、3月份的下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其符合题意的值代入8100（1﹣x）中，即可求出结论．
【解答】解：设今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率为x，
根据题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
∴8100（1﹣x）＝8100×（1﹣10%）＝7290，
∴4月份的房价单价为每平方米7290元．
故选：B．
21．（2022•金水区校级模拟）已知关于x的方程2x2﹣k＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的k值 　1（答案不唯一）　．
【分析】根据根的判别式的意义得到＝02﹣4×2×（﹣k）＞0，再解不等式得到k的取值范围，然后在此范围内选取一个值即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝02﹣4×2×（﹣k）＞0，
解得k＞0，
所以k可以取1．
故答案为：1（答案不唯一）．
22．（2022•潍坊二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣6mx+9m﹣1＝0有x1，x2两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1＝1，求x2．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝（﹣6m）2﹣4m（9m﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先把x＝1代入方程求出m＝，则原方程化为x2﹣x+＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得m≠0且Δ＝（﹣6m）2﹣4m（9m﹣1）≥0，
解得m＞0，
即m的取值范围为m＞0；
（2）把x＝1代入方程得m﹣6m+9m﹣1＝0，
解得m＝，
原方程化为x2﹣x+＝0，
整理得x2﹣6x+5＝0，
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝1，x2＝5．
23．（2022•玉州区二模）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分为x1、x2，且，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k+1）2≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣3，x1x2＝﹣2k+2，结合可得出关于k的一元二次方程，解之即可求出k的值．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k﹣3），c＝﹣2k+2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣2k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝k﹣3，x1x2＝﹣2k+2，
∵，
∴（x1+x2）2﹣x1x2＝19，
∴（k﹣3）2﹣（﹣2k+2）＝19，
整理得：k2﹣4k﹣12＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝6，
∴k的值为﹣2或6．
24．（2022•璧山区模拟）五一期间，璧山区丁家街道天天农家乐的草莓和枇杷相继成熟，为了吸引更多游客走进乡村，体验采摘乐趣，天天农家乐推出采摘草莓和采摘枇杷两种方式：采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元．
（1）求采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是多少元？
（2）根据去年采摘情况表明，平均每天采摘草莓30公斤，采摘枇杷20公斤．天天农家乐决定今年采摘枇杷的价格保持不变，采摘草莓的价格下调，采摘草莓的费用每降价3元，采摘草莓的数量会增加2公斤．天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，请问采摘草莓每公斤应降价多少元？
【分析】（1）设采摘1公斤草莓的费用是x元，采摘1公斤枇杷的费用是y元，根据“采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采摘草莓每公斤应降价m元，则采摘1公斤草莓的费用是（35﹣m）元，平均每天采摘草莓（30+2×）公斤，根据天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设采摘1公斤草莓的费用是x元，采摘1公斤枇杷的费用是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：采摘1公斤草莓的费用是35元，采摘1公斤枇杷的费用是20元．
（2）设采摘草莓每公斤应降价m元，则采摘1公斤草莓的费用是（35﹣m）元，平均每天采摘草莓（30+2×）公斤，
根据题意得：（35﹣m）（30+2×）+20×20＝1386，
整理得：m2+10m﹣96＝0，
解得：m1＝6，m2＝﹣16（不符合题意，舍去）．
答：采摘草莓每公斤应降价6元．