考点07 一元一次不等式（组）及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（原卷版）

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考点07 一元一次不等式（组）及其应用

中考数学中，一元一次不等式（组）的解法及应用时有考察，其中，不等式基本性质和一元一次不等式（组）解法的考察通常是以选择题或填空题的形式出题，还通常难度不大。而对其简单应用，常会和其他考点（如二元一次方程组、二次函数等）结合考察，此时难度上升，需要小心应对。对于一元一次不等式中含参数问题，虽然难度系数上升，但是考察几率并不大，复习的时候只需要兼顾即可！


一、 不等式的基本性质
二、 一元一次不等式（组）的解法
三、 求不等式（组）中参数的值或范围
四、 不等式（组）的应用
考向一：不等式的基本性质
不等式的传递性

基本性质1


基本性质2






【易错警示】
Ø 当不等式两边同乘一个负数时，一定不要忘记改变不等号的方向；
Ø 简单的不等式的解，结果必须写成x＞a（或x＜b）的形式，即未知数必须写在不等号的左边

1．若a＞b，则下列不等式中，错误的是（　　）
A．3a＞3b B．﹣＜﹣ C．4a﹣3＞4b﹣3 D．ac2＞bc2
2．已知x＜y，下列式子不成立的是（　　）
A．x+1＜y+1 B．x＜y+100
C．﹣2022x＜﹣2022y D．
3．若x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，求a的取值范围 　 　．
4．已知3x﹣y＝1，且x≤3，则y的取值范围是 　 　．
5．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为 　 　．

考向二：一元一次不等式（组）的解法
1. 一元一次不等式的解法
步骤
名 称
方 法
注 意 事 项
1
去分母
在不等式的两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
①不含分母的项也要乘以最小公倍数；
②分子是多项式的一定要先用括号括起来
③去分母同乘的一般是正数，所以不牵涉到不等号的方向改变
2
去括号
去括号法则（可先分配再去括号）
注意正确的去掉括号前带负数的括号
3
移项
把未知项移到不等号的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
移项一定要改变符号
4
合并同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加
单独的一个未知数的系数为“±1”
5
系数化为“1”
在不等号两边同时除以未知数的系数（即不等式两边同时乘以未知数系数的倒数）
①不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
②两边同除一个负数时，一要注意改变不等号的方向，二是要注意结果的正负
2. 一元一次不等式（组）的解法
①按照一元一次不等式的解法解出每个不等式的解集
②依据数轴取各不等式解集的公共部分
一元一次不等式组解法及解集的四种情况
一元一次不等式组
在数轴上表示
解
解集确定口诀



大大取大



小小取小



大小小大取中间


无解
大大小小则无解












1．不等式3（2﹣x）＞x+2的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（　　）
A．1 B．﹣ C．0 D．4或﹣4
3．关于x的方程ax＝2x﹣7的解为负数，则a的取值范围是 　 　．
4．已知x＞2是关于x的不等式x﹣3m+1＞0的解集，那么m的值为 　 　．
5．若关于的不等式﹣ax＞bx﹣b（ab≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b的解集是 　 　．
6．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．
（1）﹣x+19≥2（x+5）；
（2）．
7．关于x的方程5x﹣2k＝6+4k﹣x的解是负数，求字母k的值．


8．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
9．对于任意实数x，我们用{x}表示不小于x的最小整数．如：{2.7}＝3，{2022}＝2022，{﹣3.14}＝﹣3，若{2x+3}＝﹣2，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．不等式组的解集是 　 　．
11．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：
（1）2（x﹣1）+2＜3x；
（2）．

考向三：求不等式中参数的值或范围
方法步骤总结：
① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示；
② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间；
③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）；
④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。

Ø 一定要借助数学画图分析解析范围以及边界值能否取“=”；
Ø 不等式组的解集的判断口诀一定要牢记。

1．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　）
A．a≤3 B．a＜3 C．a≥3 D．a＞3
2．若关于x的一元一次不等式组无解，关于y的一元一次方程2（y﹣3）+m＝0的解为非负整数，则满足所有条件的整数m的和为（　　）
A．10 B．12 C．18 D．20
3．若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜3，那么m的取值范围是 　 　．
4．已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣5，则m的取值范围为（　　）
A．﹣6＜m≤﹣3或3＜m≤6 B．﹣6≤m＜﹣3或3≤m＜6
C．﹣6≤m＜﹣3 D．﹣6＜m≤﹣3
5．若关于x的不等式组恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A．4＜a＜5 B．4＜a≤5 C．4≤a≤5 D．4≤a＜5
6．已知关于x的不等式组的解集恰好只有一个整数解﹣3，若a，b均为整数，则a+b的最大值是 　 　．
考向四：不等式的实际应用
列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①审题， ②设元， ③列不等式（依据题目中的不等量关系）， ④解不等式， ⑤检验并写出
☆：和实际结合的问题，不等式（组）解出后，一般会要求取正整数，进而得到对应的不同方案

1．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（　　）

A．100m B．120m C．180m D．144m
2．某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（　　）
A．10件 B．11件 C．12件 D．13件
3．一张试卷共20道题，做对一题得5分，做错或A不做一题扣3分，小辛做了全部试题，若要成绩及格（注：60分及以上成绩为及格），那么小辛至少要做对 　 　道题．
4．如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于10”为一次运算．
（1）若x＝5，则输出的结果为 　 　；
（2）若某运算进行了3次就输出停止，则x的最大值 　 　．

5．超市先后两次共进货板栗1000kg，进货价依次为10元/kg和8元/kg，第二次比第一次多付款800元．（利润＝销售总收入﹣进货总成本）
（1）该超市这两次购进的板栗分别是多少kg？
（2）超市对这1000kg板栗以14元/kg的标价销售了700kg后，把剩下的板栗全部打折售出，合计获得利润不少于4570元，问超市对剩下的板栗至多打几折销售？


6．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元．

甲型
乙型
价格（单位：元/台）
a
b
有效监控半径（单位：米/台）
100
150
（1）求a，b的值；
（2）若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？
（3）在（2）购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．



1．（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（　　）
A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0
2．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
3．（2022•沈阳）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022•十堰）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 　 　．

6．（2022•聊城）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（　　）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
7．（2022•大连）不等式4x＜3x+2的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
8．（2022•深圳）一元一次不等式组的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（2022•丽水）不等式3x＞2x+4的解集是 　 　．
10．（2022•百色）解不等式2x+3≥﹣5，并把解集在数轴上表示出来．
11．（2022•兰州）解不等式：2（x﹣3）＜8．
12．（2022•温州）（1）计算：+（﹣3）2+3﹣2﹣|﹣|．
（2）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在数轴上．

13．（2022•山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 　 　元．

14．（2022•德州）不等式组的解集是 　 　．
15．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 　 　．
16．（2022•上海）解关于x的不等式组：．

17．（2022•阜新）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？

18．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？

19．（2022•资阳）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
20．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？


1．（2022•宿迁）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1
2．（2022•杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
3．（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 　 　．
4．（2022•盘锦）不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022•阜新）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022•安徽）不等式≥1的解集为 　 　．
7．（2022•衢州）不等式组的解集是（　　）
A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
8．（2022•益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程x﹣1＝0是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 　 　．
10．（2022•绥化）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为 　 　．
11．（2022•攀枝花）解不等式：（x﹣3）＜﹣2x．

12．（2022•枣庄）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③x+3≥1﹣x．


13．（2022•河北）整式3（﹣m）的值为P．
（1）当m＝2时，求P的值；
（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．


14．（2022•菏泽）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．


15．（2022•北京）解不等式组：．

16．（2022•六盘水）钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价：

（1）根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量；
（2）钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20元，求有哪几种购买方案．

17．（2022•玉林）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？

18．（2022•牡丹江）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：
（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；
（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
（3）为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）

19．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？


1．（2022•云冈区二模）已知实数x，y，若x＞y，则下列结论中不正确的是（　　）
A．3x＞3y B．﹣2x＞﹣2y C．x+4＞y+4 D．x﹣6＞y﹣6
2．（2022•丛台区校级模拟）若x＜y，且（4﹣2a）x≥（4﹣2a）y，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≤2
3．（2022•景县校级模拟）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则在■，●，▲中，质量最小的是（　　）

A．■ B．● C．▲ D．无法确定
4．（2022•金沙县一模）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（　　）

A．2＜x≤4 B．2≤x＜4 C．2＜x＜4 D．2≤x≤4
5．（2022•大渡口区校级模拟）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，
①输入整数11，输出结果为27；②若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最大值是8；③若操作停止时输出结果为21，则输入的整数x是9；④输入整数x后，该操作永不停止，则x≤3，以上结论正确有（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
6．（2022•云安区模拟）关于x的不等式x﹣1＞0，则x的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022•普定县模拟）关于x的一元一次不等式（k﹣1）x≤k﹣1的解集为x≥1，则k的值不能为（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C．﹣1 D．3
8．（2022•如皋市一模）若x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，而x＝2不是其整数解，则m的取值范围为（　　）
A．0＜m＜2 B．0≤m≤2 C．0＜m≤2 D．0≤m＜2
9．（2022•红花岗区二模）
如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．该电梯乘载的重量超过480公斤时警示音响起．已知小丽为45公斤、小欧为65公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列哪一个不等式表示（　　）
A．370＜x≤415 B．370＜x≤435 C．370＜x≤480 D．415＜x≤435
10．（2022•上城区一模）斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路．某人行横道全长24米，小明以1.2m/s的速度过该人行横道，行至处时，9秒倒计时灯亮了．小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（　　）
A．1.1倍 B．1.4倍 C．1.5倍 D．1.6倍
11．（2022•阜新模拟）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2022•南充模拟）不等式的解集是 　 　．
13．（2022•呼和浩特模拟）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 　 　．
14．（2022•绥化三模）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如表：

甲
乙
进价/（元/件）
15
35
售价/（元/件）
20
45
若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，则获利最大时，购进甲种商品 　 　件．
15．（2022•长汀县模拟）解不等式﹣1＜，并把它的解集在数轴上表示出来．

16．（2022•修水县二模）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．


17．（2022•安顺模拟）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价．
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？

18．（2022•兰考县二模）2022年4月5日清明节，人民日报客户端发文“1173+15239”！4月6日，人民日报客户端又发文“1383+19089”！4月7日，人民日报客户端再度发文“1284+21711”！“变异新型冠状病毒——奥密克戎”疫情严重！某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元．

（1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？
（2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过1900元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有几种购买方案？哪种方案花费资金最少？

19．（2022•大武口区模拟）2020年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元，从2021年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2021年处理的这两种垃圾数量与2020年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．
（1）该企业2020年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2021年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2021年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？