考点11 二次函数的图象性质及相关考点-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（原卷版）

这是一份考点11 二次函数的图象性质及相关考点-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（原卷版），共23页。试卷主要包含了二次函数的表达式，二次函数的图象特征与最值，二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程，二次函数图象上点的坐标特征等内容，欢迎下载使用。
考点11 二次函数的图象性质及其相关考点

二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点。而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。



一、 二次函数的表达式
二、 二次函数的图象特征与最值
三、 二次函数图象与系数的关系
四、 二次函数与方程、不等式（组）
五、 二次函数图象上点的坐标特征

考向一、二次函数的表达式
1. 二次函数的3种表达式及其性质作用
名称
通式
适用范围
一般式
y＝ax2+bx+c（a≠0）
当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式
顶点式
y＝a（x-m）2+h（a≠0）
当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式求其表达式
交点式
y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0）
其中，（x1，0）(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式
相互联系
二次函数表达式间的转化，一般式往顶点式转化，常用配方法进行；

2. 二次函数平移的方法：
①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），
②“左加右减（x），上加下减（y）”；

1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项 　 　，一次项系数为 　 　，常数项为 　 　．
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6
3．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣3）2+3 B．y＝2（x+3）2+3
C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x+3）2+2
4．抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（0，3）
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，3）．若抛物线y＝mx2+2mx+m+3（m为常数，m≠0）向右平移a（a＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB上，则a的取值范围为 　 　．

考向二、二次函数的图象特征与最值
1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：
对称轴：直线；顶点坐标：；
开口向上 a＞0 二次函数有最小值；

开口向下 a＜0 二次函数有最大值；
2. 图象的增减性问题：
抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；

平面直角坐标系内两图象的存在性问题，一般先假设简单函数图象成立，再验证复杂函数是否成立，
利用排除法，得到最后答案。

1．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．函数有最小值1，有最大值3 B．函数有最小值﹣1，有最大值3
C．函数有最小值﹣1，有最大值0 D．函数有最小值﹣1，无最大值
2．如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（　　）

A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
3．如图是二次函数y＝ax2+bx的大致图象，则一次函数y＝（a+b）x﹣b的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
4．在同一坐标系中一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
5．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2
6．如图，点P是抛物线y＝﹣x2+2x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 　 　．


考向三、二次函数图象与系数的关系
a的特征与作用
b的特征与作用(a与b“左同右异”）
c的特征与作用










二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。

1．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④6a﹣2b+c＜0；⑤若点（0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的判断是（　　）

A．②③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
⃯
﹣1
0
1
3
⃯
y
⃯
0
﹣1.5
﹣2
0
⃯
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式；
②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2；
④若y＞0，则x＞3；
⑤a（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）．
其中所有正确的结论为（　　）
A．①②④ B．②③⑤ C．②③④ D．①③⑤
3．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B． C．或a＞0 D．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①③④ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
5．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m
（1）①函数的顶点坐标为 　 　（用含m的代数式表示）；
②该顶点所在直线的解析式为 　 　；在平面直角坐标系中画出该直线的图象；
（2）当m＝1时，二次函数关系式为 　 　，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）已知点A（﹣3，1）、B（1，1）连结AB．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围；
（4）把二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m（x≤2m）的图象记为G，当G的最低点到x轴的距离为1时，直接写出m的值．


考向四、二次函数与方程、不等式（组）
1. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程之间的关系：
1) 求交点：①求抛物线与x轴交点坐标→直接让y=0，即：ax2+bx+c=0
②求抛物线与某直线l的交点坐标→联立抛物线与直线解析式，得新组成的一元二次方程，解新方程即的两图象交点横坐标，再代入直线或抛物线解析式即可得交点坐标。
2) 利用△判断抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交点个数：
①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数
∵△=b2-4ac，
∴△＞0，抛物线与x轴有2个交点；
△=0，抛物线与x轴有1个交点；
△＜0，抛物线与x轴无交点；
②求抛物线与某直线l的交点个数→联立抛物线与直线l解析式，得新组成的一元二次方程，
后续求交点个数方法同上；
3) 一元二次方程方程ax2+bx+c=n的解的几何意义：
表示抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝n的交点横坐标；
2. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元一次不等式之间的关系：
利用图象的交点坐标和上下关系，直接确定不等式的解集，常见关系如下：
①ax2+bx+c＞0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方时，自变量x的取值范围；
②ax2+bx+c＜0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方时，自变量x的取值范围；
③ax2+bx+c＞kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在直线y=kx+m上方时，自变量x的取值范围；
④ax2+bx+c＜kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在直线y=kx+m下方时，自变量x的取值范围；

1．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a＞0，b＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．对于二次函数y＝x2+4x+7，下列说法正确的是（　　）
A．当x＜0，y随x的增大而减小 B．当x＝﹣2时，y有最小值3
C．图象的顶点坐标为（2，3） D．图象与x轴有两个交点
3．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.06
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
4．某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）Z的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N，则当y1＜y2时，自变量x的取值范围是 　 　．

5．如图，已知抛物线y1＝x2+mx与x轴交于点A（2，0）．
（1）求m的值和顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式y2；
（3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围．

考向五、二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象上点的坐标特征主要考点：
1. 点在图象上，点的特征符合其解析式
2. 和二次函数图象性质结合考察抛物线上各点纵坐标比较大小的问题
3. 和其他几何图形结合，综合考察两者的性质

1．已知函数y＝（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
2．二次函数y＝2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB＝30°，则点C的坐标为 　 　．

3．如图，在平面直角坐标系中，点 A、点B均在抛物线y＝x2上，且AB∥x轴，点 C、点D为线段AB的三等分点，以CD为边向下作矩形CDEF，矩形CDEF的顶点 E、F均在此抛物线上，若矩形CDEF的面积为2，则AB的长为 　 　．

4．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2023在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都为等边三角形，则△A2022B2023A2023的边长为 　 　．

5．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），且当x1＝﹣2，x2＝6时，y1＝y2．
（1）求b的值；
（2）若P（m+3，n1），Q（m，n2）也是该二次函数图象上的两个点，且n1＜n2，求实数m的取值范围；
（3）若点T（t，2t）不在该二次函数的图象上，求c的取值范围．



1．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
2．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
4．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（　　）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
5．（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
6．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4
C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
7．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
8．（2022•潍坊）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（　　）
A． B． C．﹣4 D．4
9．（2022•泰州）已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（　　）
A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣
10．（2022•朝阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　）

A．abc＞0
B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）
D．﹣1＜a＜﹣
11．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
12．（2022•巴中）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
13．（2022•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 　 　．（填写代表正确结论的序号）

15．（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
16．（2022•日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2022•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 　 　．
18．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 　 　．

20．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．


1．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（　　）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
2．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
3．（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
4．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（　　）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
5．（2022•资阳）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2022•湖北）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
7．（2022•绵阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022•黔东南州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（　　）

A． B． C． D．
9．（2022•鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（　　）
A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c
11．（2022•玉林）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
13．（2022•铜仁市）如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C． D．
14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 　 　．
15．（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
16．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 　 　．
17．（2022•牡丹江）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 　 　．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．

18．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
19．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．

20．（2022•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



1．（2023•临川区校级一模）抛物线y＝x2﹣2x﹣1的顶点坐标为 　 　．
2．（2022•鹿城区校级三模）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，对应的函数值y不可能是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
3．（2022•长治二模）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝x2﹣6x+5，则原抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣6 D．y＝（x﹣4）2﹣2
4．（2022•海珠区一模）若二次函数y＝ax2﹣6ax+3（a＜0），当2≤x≤5时，8≤y≤12，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
5．（2022•长安区模拟）抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2+1
6．（2022•凤泉区校级一模）关于抛物线y＝﹣2x2+4x+1，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝2
C．顶点坐标是（1，3） D．x＞2时，y随x增大而减小
7．（2022•青县一模）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（　　）

A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
8．（2022•成都模拟）将二次函数y＝x2﹣14x+13化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x+7）2+49 B．y＝（x+7）2﹣36
C．y＝（x﹣7）2+49 D．y＝（x﹣7）2﹣36
9．（2022•德城区模拟）如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
10．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标为x1，x2与y轴正半轴的交点为C，一1＜x1＜0，x2＝2，则下列结论正确的是（　　）

A．b2﹣4ac＜0． B．9a+3b+c＞0 C．abc＞0 D．a+b＞0
11．（2022•鹿城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，点（﹣1，y1），（0，y2），（1.5，y3）在该二次函数图象上，则（　　）

A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
12．（2022•萧山区校级二模）已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＞1，则y1＞y2 B．若x1+x2＜1，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2 D．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2
13．（2022•安顺模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与直线y＝2x+2022上纵坐标为m的点共有3个，且它们的横坐标分别为x1，x2，x3（x1，x2，x3互不相同）．若n＝x1+x2+x3，则m﹣n的值为（　　）
A．2012 B．2022 C．1006 D．1011
14．（2022•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：
x
……
﹣4
﹣
﹣
1
……
y
……
﹣


0
……
①abc＞0；
②当﹣3＜x＜1时，y＞0；
③4a+2b+c＞0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．
正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2022•瑞安市校级三模）如图，将一个含45°的直角三角板ABC放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点A的坐标为（1，0），点C在y轴上．过点A，C作抛物线y＝2x2+bx+c，且点A为抛物线的顶点．要使这条抛物线经过点B，那么抛物线要沿对称轴向下平移（　　）

A．5个单位 B．6个单位 C．7个单位 D．8个单位
16．（2022•南充模拟）在直角坐标系xOy中，点（2，﹣2）在二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＜0）的图象上，对于0＜n＜1，当x＝n+1，n﹣1，n﹣2时，依次对应的函数值y1，y2，y3中最大的是（　　）
A．y1 B．y2
C．y3 D．y1或y2（y1＝y2）
17．（2023•鼓楼区校级一模）若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角线”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为“倒抛物三角形”．那么，当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件 　 　．
18．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝2，则下列说法中正确的有（　　）
①abc＜0；
②＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x＜﹣1．

A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
19．（2022•花都区二模）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
20．（2022•鹿城区校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）点D在射线CO上，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），若EF＝CD，求点E的坐标．

21．（2022•夏邑县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，OA＝OB＝2OC，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，C
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣m）x+2＜n的解集：
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q，当PQ＝时，求P点的坐标．

22．（2022•清丰县校级一模）某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
﹣2
﹣
m
2
1
2
1
﹣
﹣2
…
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表：
其中，m＝　 　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，回答下列问题：
①函数图象的对称性是：　 　．
②当x＞1时，写出y随x的变化规律：　 　．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 　 　个交点，所以方程﹣x2+2|x|+1＝0有 　 　个实数根；
②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是 　 　．