考点15 等腰三角形-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（原卷版）

这是一份考点15 等腰三角形-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（原卷版），共22页。
考点15 等腰三角形

等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一，也是重要几何模型的“发源地”，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点。


一、 等腰三角形的性质和判定
二、 角平分线的性质定理与判定定理
三、 线段垂直平分线的性质定理与判定定理
考向一：等腰三角形的性质和判定
一． 等腰三角形的性质和判定
定义
有两边长相等的三角形是等腰三角形，相等的两边长叫做腰，第三边叫做底

性质
轴对称性：一般等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴
等边对等角
三线合一（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合）。
判定
①定义法；②等角对等边

二． 等边三角形的性质和判定
定义
三边长都相等的三角形是等边三角形

性质
轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
等边三角形三个角都相等，分别都等于60°
三线合一（等边三角形三边上均存在三线合一）。

判定
定义法
有两个角相等的等腰三角形是等边三角形
有两个角等于60°的三角形是等边三角形

Ø 特别注意：当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形。
Ø 等边三角形面积的求解方法：

1．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的大小是（　　）
A．25° B．20° C．25°或65° D．20°或70°
3．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　）

A．12 B．8 C．15 D．13
4．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，BD＝AD＝AC，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　）

A．75° B．80° C．85° D．84°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF，其中正确的有 　 　．（填序号）

6．等腰△ABC中，AB＝AC，点E为底边BC上一点，以点E为圆心，EA长为半径画弧，交AB于点D，测得∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，则∠DEB＝　 　°．

7．如图所示，在坐标平面中，A（0，4），C为x轴负半轴上一点，CO＝3，AC＝5，若点P为y轴上一动点，以PC为腰作等腰三角形△PCQ，已知∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），连接OQ，则OQ的最小值为 　 　．

8．如图，已知点P是射线MN上一动点，∠AMN＝35°，当∠A为 　 　时，△AMP是等腰三角形．

9．在如图所示的3×3方格中，以AB为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有
　 　个．

10．如图所示，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　 　s时，△POQ是等腰三角形．

11．如图，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（　　）条．

A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝　 　．

14．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若∠BAD＝140°，求∠ACD的度数．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF．
求证：（1）△ADF是等腰三角形．
（2）DF＝2EF．

考向二：角平分线的性质与判定
一． 角平分线的性质定理与判定定理
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

角平分线常见的处理策略：
1.角平分线＋∥→等腰△
特别地：①AD为角平分线；②DE∥AB；③AE=ED
若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。即：三条件满足“知2得1”


☆其中：
1.平行线的引入方法常见的有：
①直接给出的平行；②平行四边形及特殊平行四边形；③梯形的上下底边；
④辅助线作出的平行；⑤其他条件证明得到的平行；
2.当等腰△是结论时，常接着用等腰△的性质；
3.“知2得1”在圆中应用时，常用“角平分线＋等腰→∥”，进而得某角=Rt∠，证直线与圆相切。






2.角平分线＋⊥→等腰△；
（即“三线合一”的你应用，此类问题常和圆的性质结合考察）
3.见角平分线，作双垂→得全等或线段相等，亦可以用；
（作“⊥”，即作“高”；有“高”想“面积”，进而拓展想“等积法”；

其中，“得线段相等”是因为其性质定理；更深一步的应用方向可以是：
①用于“等量代换”；②再证全等的条件；③将“双垂”看作“双高线”，进而得两个△面积之间的关系；④当角平分线多于1条时，可能要结合其判定定理证其他线也是角平分线
再往后还可延伸“平行线等积模型”、面积比=底边之比等）





4.见角平分线，作对称
（即截长补短构全等）
5．圆中：由角平分线得角相等，进而推知1得4；
6．重要思想→倍半角模型：
与角平分线有关的问题，经常会出现“倍半角”关系，可利用“倍半角模型”解题。

1．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）

A．三边高线的交点 B．三条垂直平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三个角的平分线的交点
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．24
3．如图，已知△ABC的面积为10，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　）

A．10 B．8 C．5 D．4
4．如图，∠BOP＝∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于D，PC＝4，则PD的长度为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图：已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，CE为△ABC的角平分线，EF∥AC，则EF的长度是（　　）

A． B． C． D．4
6．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．

8．如图，点A，B，C三点在一直线上，在BC同侧作△BCD、△BCE，若BE，CE分别平分∠ABD，∠BCD，过点B作∠CBD的平分线交CE于点F．
（1）已知∠E＝27°，求∠D的度数；
（2）若BE∥CD，BD＝8，求线段BE的长；
（3）在（2）的条件下，若BF＝6，求线段CD的长．


考向三：线段垂直平分线的性质与判定
线段垂直平分线的性质定理与判定定理
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。
判定定理：到线段两端的距离相等点在这条线段的垂直平分线上。

角平分线与线段垂直平分线常见辅助线的区别：
角平分线：过点作到边的垂线段；
线段垂直平分线：连接两个端点

1．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的角平分线将三角形的面积平分
B．三角形的外角一定大于它的任意一个内角
C．在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，则这个三角形是直角三角形
D．若线段AB垂直平分线段CD，则线段CD必垂直平分线段AB
2．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC＝10，AC＝14，则△BCD的周长为（　　）

A．14 B．24 C．10 D．26
3．如图，∠BAC＝105°，AB＝AC，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．45°
4．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点，若∠A＝65°，∠ACP＝22°，则∠ABP的度数是（　　）

A．31° B．22° C．43° D．32°
5．如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，则AC＝（　　）

A．3 B．3 C．4 D．5
6．在平面直角坐标系xOy中，点A（5，5），点B（1，1），点C（7，1），若点P到点A、B、C的距离相等，则点P的坐标为 　 　．

7．在平面直角坐标系xOy中，A，B为不重合的两个点，若点C到A，B两点的距离相等，则称点C是线段AB的“公正点”．特别地，当60°≤∠ACB≤180°时，称点C是线段AB的“近公正点”．
（1）已知A（1，0），B（3，0），在点C（2，0），D（1，2），E（2，﹣2.3），F（0，4）中，线段AB的“公正点”为 　 　；
（2）已知点M（0，3），作∠OMN＝60°，射线MN交x轴负半轴于点N．
①若点P在y轴上，点P是线段MN的“公正点”，则点P的坐标是 　 　；
②若点Q（a，b）是线段MN的“近公正点”，直接写出b的取值范围是 　 　．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．



1．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为 　 　．

2．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　 　．

3．（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4+2
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是BC边上的动点（不与B、C重合），连接AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为（　　）

A．80° B．110° C．120° D．80°或110°
5．已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是（　　）
A．x＝（9＜y＜18） B．y＝36﹣2x（0＜x＜18）
C．y＝（0＜y＜18） D．y＝36﹣2x（9＜x＜18）
6．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．1
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（　　）

A．10 B．5 C． D．
8．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝69°，若点P是等腰三角形ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是 　 　．

9．如图，玩具车从A点出发，向西走了a米，到达B点，然后顺时针旋转120°，前进b米，到达C点，再顺时针旋转120°，前进c米，到达D点，D点刚好在A点的正北方向，则a、b、c之间的关系为（　　）

A．a+c＝b B．2a＝b+c C．4c＝a+b D．a＝b﹣c
10．在平面直角坐标系xOy中，点A（5，5），点B（1，1），点C（7，1），若点P到点A、B、C的距离相等，则点P的坐标为 　 　．

11．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 　 　．

12．如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（　　）
①△ABE≌△DBC
②BF平分∠AFC
③AF＝DF+BF
④∠AFD＝60°
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（　　）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；
②BF＝2EF；③BE＝CE；
④AB＝BG+AD；
⑤．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
14．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．



1．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　 　．

2．（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）

A．25 B．22 C．19 D．18
3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　 　．

4．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（　　）

A．8 B．6 C．5 D．4
5．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　）

A．23° B．25° C．27° D．30°
6．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（　　）

A．39° B．40° C．49° D．51°
7．（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（　　）

A．5 B．10 C．15 D．20
8．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（　　）

A．（5，4） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，3）
9．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（　　）

A．70° B．65° C．60° D．55°
10．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（　　）
A．是轴对称图形 B．对称轴的交点是其重心
C．是中心对称图形 D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
12．（2022•广安）若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 　 　．
13．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 　 　．
14．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 　 　．
15．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
16．（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（　　）

A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
17．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．

18．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 　 　．

19．（2022•鄂尔多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．


1．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为（　　）
A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°
2．如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，底边BC＝，则腰长AB为（　　）

A． B． C． D．
3．（2022•威远县校级二模）已知实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．10 B．11
C．10或11 D．以上答案均不对
4．（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022•威宁县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC边的中点，CE平分∠ACB，交AB于点E，交AD于点F，则∠AFC的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°
6．（2022•安阳县一模）如图，在△PRQ中，M是线段PQ的中点，PS平分∠RPQ交RQ于点S．ST∥PR交PQ于点T，PQ＝10，MT＝1．则PR的长为（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
7．（2022•庐阳区校级三模）如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（　　）

A．60° B．65° C．75° D．85°
8．（2022•萧山区校级二模）在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D．点E在线段AD上，若∠ABE＝∠C，AE：ED＝2：1，则△BDE与△ADC的面积比为（　　）
A．16：45 B．1：9 C．2：9 D．1：3
9．（2022•道外区二模）在△ABC中，AB＝AC，点F在AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，点H在线段BC上，连接DH交BF于点E，交AB于点G，若∠BAC＝∠BEH＝120°，∠ABF＝∠ABD，CH＝3，则AD＝　 　．

10．（2022•保定一模）如图，将长方形纸条ABCD折叠，重叠部分是一个等边三角形△EFG．
（1）∠AGE＝　 　°；
（2）若这个等边三角形的边长为acm，则纸条的宽度为 　 　cm．

11．（2022•玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B在x轴上，C，D分别是边AO，AB上的点，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，则点A的坐标是 　 　．

12．（2022•于洪区二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△BEC的面积．

13．（2020•海淀区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ABF是等边三角形；
（2）若∠CDF＝45°，CF＝2，求AB的长度．

14．（2022•建湖县一模）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以C为旋转中心，顺时针旋转△ABC到△DCE位置，使点A落在BC边的延长线上的E处，连接AD和BD．
（1）求证：△ADC≌△BCD；
（2）请判断△ABE的形状，并证明你的结论．

15．（2022•虞城县一模）如图，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P为边BC上不与端点B、C重合的一个动点，点Q为点P关于AC的对称点，过点Q作QM⊥AP，垂足为点M，交AB于点N，连接AQ，PN．
（1）当∠CAP＝30°时，∠ANQ的度数为 　 　；
（2）求证：QA＝QN；
（3）若AC＝3，当△APN为等腰三角形时，直接写出CP的长．