2023届北京市西城区高三二模数学试题含解析

这是一份2023届北京市西城区高三二模数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京市西城区高三二模数学试题

一、单选题
1．复数的虚部为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可判断其虚部.
【详解】，所以复数的虚部为.
故选：A
2．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质求出集合，再根据并集的定义求解即可.
【详解】解：因为，
所以.
故选：D.
3．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线的准线方程.
【详解】抛物线的准线方程为，因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以两个抛物线的准线也关于轴对称，所以的准线方程是.
故选：D
4．在中，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的数量积运算及性质，结合平面向量的线性运算求解即可．
【详解】因为，所以，又因为，
所以，
故选：B．
5．设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可.
【详解】因为，，
又，，所以，
且，所以，
所以.
故选：A
6．将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为．若，则四面体的体积为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将正方形折起得到四面体，由，得平面，再求出，的长度，证明，最后把四面体看做两个同底的三棱锥和拼接而成，即可用三棱锥的体积公式求体积.
【详解】如图1，连接与相交于点，则.

如图2，将正方形沿对角线折起，折起后点记为．

因为，，，平面，平面，
所以平面，
因为正方形边长为，所以,，
又因为,所以,所以.
所以四面体的体积为
．
故选：A
7．已知数轴上两点的坐标为，现两点在数轴上同时相向运动．点的运动规律为第一秒运动个单位长度，以后每秒比前一秒多运动个单位长度；点的运动规律为每秒运动个单位长度．则点相遇时在数轴上的坐标为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合等差数列分析可得第秒时，两点的坐标为，列式求解即可.
【详解】设点第秒运动个单位长度，前秒运动总长度为，
则，
所以是以首项为2，公差为1的等差数列，则，
可得；
设点第秒运动个单位长度，前秒运动总长度为，
则；
故第秒时，两点的坐标为.
由题意可得：，解得或（舍去），
即，所以点相遇时在数轴上的坐标为.
故选：B.
8．已知函数．则“”是“为偶函数”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项.
【详解】当，即
则，
化简为，即，，
当时，，为偶函数，
当时，，为偶函数，
所以，能推出函数是偶函数
反过来，若函数是偶函数，则有，
所以“”是“为偶函数”的充分必要条件.
故选：C
9．某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二项式定理即可估算近似值.
【详解】由题意可知

故选：C
10．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.
【详解】每次跳跃的路径对应的向量为，
因为求跳跃次数的最小值，则只取，
设对应的跳跃次数分别为，其中，
可得
则，两式相加可得，
因为，则或，
当时，则次数为；
当，则次数为；
综上所述：次数最小值为10.
故选：B.

二、填空题
11．函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.
【详解】解：根据题意，要使函数有意义，
则需满足，解得且.
所以函数的定义域为：
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域的求解，是基础题.

三、双空题
12．设等比数列的前项和为，，，则____；使成立的的最小值为____．
【答案】
【分析】根据等比数列基本量的计算以及求和公式即可求解.
【详解】由，得：，
所以，故，
故得：，
由于为整数，故的最小值为7，
故答案为：，7

四、填空题
13．在中，若，，，则____．
【答案】/
【分析】先利用商数关系和平方关系求出，再利用正弦定理即可得解.
【详解】由，得，则，
则，所以（负值舍去），
由，在三角形中易得，
因为，所以.
故答案为：.

五、双空题
14．已知两点．点满足，则的面积是____；的一个取值为____．
【答案】 / （答案不唯一）
【分析】根据条件求出点的轨迹方程，联立方程后求点的坐标，即可求解面积和角的取值.
【详解】由点可知，，所以点在圆，
且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为，
联立，解得：或，
则的面积；
当时，，，，
当时，，，，
则其中的一个取值是.
故答案为：；（答案不唯一）

六、填空题
15．已知直线和曲线，给出下列四个结论：
①存在实数和，使直线和曲线没有交点；
②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；
③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；
④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
【答案】① ② ③
【分析】根据图象的对称性，求导得切线斜率的最大值，由数形结合，结合选项即可判断.
【详解】对于①,由于为偶函数，故图象关于轴对称，且，
当或时，此时直线和曲线没有交点；（如下图）故正确 ①，

对于②，，当时，，
所以当，
故当 单调递减，当 单调递增，
故当时，此时 取极大值也是最大值，
故某一点处的切线的斜率最大值为，
当时，此时直线和曲线恰有个交点；故②正确，
对于③，当时，对任意的 直线过原点，此时直线与只有一个零点，故③正确，

对于④，当直线与曲线上某一点处的切线平行时（斜率小于），且在切点之上的位置时，此时直线与曲线有3个交点，故④错误.

故答案为：① ② ③
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

七、解答题
16．如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，依题意可得，从而得到，再说明，，即可得到，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接，因为，分别为，的中点，所以．                
在三棱柱中，，
所以，四点共面．                        
因为，，、分别为、的中点，
所以，，所以四边形为平行四边形．    
所以，                  
因为平面，平面，
所以平面．                

（2）由题设平面，平面，所以，，
因为，所以两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，                         
所以，
则，，．
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，于是，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17．已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解，
（2）由和差角公式以及辅助角公式化简，由整体法即可代入求解.
【详解】（1）选条件①：无意义，所以选条件①时不存在，故不能选①，
选条件②．
由题设，所以．                                    
因为， 所以，所以．                                        
所以．  
选条件③，由题设．整理得．                                
以下同选条件②．
（2）由（1）
因为， 所以．                     
于是，当且仅当，即时，取得最大值；    
当且仅当，即时，取得最小值．        
又，即时，．
且当 时， 单调递增，所以曲线与直线恰有一个公共点，则或
的取值范围是．
18．体重指数（，简称）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标．已知，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）．对成人，若，则身体处于肥胖状态．某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取人，测量他们的体重（单位：）和身高（单位：），得到如下散点图（图中曲线表示时体重和身高的关系），假设用频率估计概率．

(1)该企业员工总数为人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；
(2)从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，设其中体重在以上的人数为，估计的分布列和数学期望；
(3)从样本中身高大于或等于的员工中随机抽取人，若其身体处于肥胖状态的概率小于，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）
【答案】(1)300
(2)分布列见解析，1
(3)或

【分析】（1）求出该企业身体处于肥胖状态的员工得概率，再乘以即可得解；
（2）求出从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，其中体重在以上的概率，写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可；
（3）求出中所有的其身体处于肥胖状态的概率，即可得出结论.
【详解】（1）由散点图可知，抽取人中有人身体处于肥胖状态，
故该企业身体处于肥胖状态的员工得概率为，
则估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数为人；
（2）因为抽取人中有人身体处于肥胖状态，其中人体重在以上，
则从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，
其中体重在以上的概率为，
由题设，可取，
，，
，，
所以的分布列为：










；
（3）有散点图可知，
从样本中身高大于或等于的员工中随机抽取人，
当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，
概率为，
当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，
概率为，
当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，
概率为，
当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，
概率为，
当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，
概率为，
当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，
概率为，
综上所述，当或，符合题意.
19．已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据求椭圆方程和离心率；
（2）首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示四边形的面积，并利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题设                                 
解得     
所以椭圆的方程为．                            
的离心率为．
（2）设椭圆的另一个焦点为，则直线过点．            
由  得．                     
设，则，．         
由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等．
所以四边形的面积为面积的倍．                
又，
所以
．                
所以．            
设，则．
所以．             
当且仅当，即时，．
所以四边形的面积最大时，．

20．已知函数．
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)若恒成立，求实数的值．
【答案】(1)最小值为，最大值为
(2)

【分析】（1）先求的导函数，再根据导函数在区间上的正负确定的单调性，从而可求其在给定区间的最大与最小值；
（2）设，由已知得，当时，；当时，，从而可得，当时，；当时，，所以，得，再证明当时，恒成立即可．
【详解】（1）因为，                    
所以在区间上单调递增．                        
所以的最小值为；的最大值为．
（2）的定义域为．
由（1）知，且在上单调递增，
所以当时，；当时，．            
设．
若恒成立，则当时，；当时，．
所以，即，解得．                    
下面证明：当时，恒成立．
此时，，．
当时，．
所以在上单调递增，．                
当时，设．
因为，所以在上单调递增．
又，，
所以存在唯一的，使得．                    
且当，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，且，
所以当时，恒成立．
综上，．
【点睛】关键点睛：本题第一小问考查函数在给定区间的最值，通过对单调性的讨论即可，属于基础题；第二小问主要考查不等式恒成立求参数问题，关键是通过的正负得到的正负，从而确定的值再证明，考查数学运算和逻辑推理等核心素养．
21．给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为．
(1)当时，设，，写出，并求；
(2)当时，对给定的数阵，证明：是的倍数；
(3)证明：对给定的数阵，总存在，使得．
【答案】(1)，；，
(2)证明见解析
(3)证明见解析

【分析】（1）由变换的由来，可得，由的定义即可求解，
（2）由变换的定义以及的定义即可求解，
（3）每行中的个数为，由反证法证明，进而由在中考虑等于的个数与的关系，即可分类讨论求解，
【详解】（1）由题设，．                    
所以，．
（2）设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为．
经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为．
所以．
即是的倍数．
（3）数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为．
由（2）可知，．
设当时，取得最小值，其中．
记每行中的个数为，则必有．
否则，若存在使得，则令，有
，与为最小值矛盾．
在中，① 若等于的个数不超过，
则．            
②若等于的个数大于，则必存在满足，且．
否则，不妨设，则共有个满足，且，
所以中至多有个等于，矛盾．
故存在满足，且．                     
取，因为，所以．
由变换为时，从变为，故数阵第行中的个数为．
故，
这与为最小值矛盾．
综上，对给定的数阵，总存在，使得．
【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.