2023届天津市河北区高三二模数学试题含解析

2023届天津市河北区高三二模数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用集合间的基本运算，即可得到答案；

【详解】因为，所以，

所以.

故选：D.

2．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】若，令，满足，但；

若，则一定成立，

所以“ ”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设球心到圆锥底面的距离为，由题设可得关于的方程，求出其解后可得球的半径，从而可求其表面积.

【详解】因为，故球心在圆锥的内部且在高上，

设球心到圆锥底面的距离为，

则有，解得，则圆半径，

表面积.

故选：C

4．函数的图象大致为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】当时，函数，由函数的单调性，排除；当时，函数，此时，代入特殊值验证，排除，只有正确.

【详解】当时，函数，

由函数在上递减，

可得在上递减，排除；

当时，函数，此时，

而选项的最小值为2 ，故可排除，只有正确，故选B.

【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

5．某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ）

A．图中的x值为0.020 B．得分在的人数为400

C．这组数据的极差为50 D．这组数据的平均数的估计值为77

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对于A，由，可解得，故选项A正确；

对于B，得分在80分及以上的人数的频率为，

故人数为，故选项B正确；

对于C，频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项C不正确；

对于D，这组数据的平均数的估计值为：，故选项D正确.

故选：C.

6．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若 (为坐标原点)，则双曲线的离心率为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由，可知为的三等分点，用两种方式表示，可得关于的方程组，结合即可得到双曲线的离心率.

【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，

由到渐近线的距离为，

所以，又，所以，

因为，

所以，整理可得：，

即，所以，可得，所以，

所以双曲线的离心率为，

故选：A.

7．设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据的奇偶性化简，结合的单调性确定的大小关系.

【详解】依题意是定义域为R的偶函数，

，

，

，

，

，

，

，

由于在上单调递增，所以.

故选：D

8．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则是奇函数 B．若，则在区间上单调递减

C．若，则的图像关于点对称 D．若，则在区间上单调递增

【答案】C

【分析】由函数平移得，讨论、，结合正余弦函数的性质判断奇偶、对称性以及上的单调性，即可得答案.

【详解】将函数的图像向右平移个单位长度，得到函，

当时，为偶函数，

在上有，递增，故A，B错误；

当时，，

此时，，即关于点对称，

在上有，不单调，故C正确，D错误.

故选：C

9．在中，角的边长分别为，点为的外心，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出辅助线，对数量积进行转化得到，求出的取值范围，进而求出答案.

【详解】取的中点，则，所以.

因为，则，即.

所以，

故选：D.

二、填空题

10．i是虚数单位，则复数______.

【答案】

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；

【详解】

故答案为：

11．的展开式中含项的系数为______.

【答案】

【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中含项的系数．

【详解】的展开式中，通项公式为，

令，求得，可得展开式中含项的系数.

故答案为：．

12．抛物线的准线截圆所得弦长为4，则抛物线的焦点坐标为__________．

【答案】

【分析】先写出准线方程，整理圆的标准方程得到圆心和半径，再利用弦长得到关于p的关系式，求出，即得焦点坐标.

【详解】抛物线的准线为：，

圆，即，圆心是，半径是，

故圆心到准线的距离为，而弦长为4，故，

解得，故抛物线的焦点，即.

故答案为：.

三、双空题

13．在5道题中有3道代数题和2道几何题，不放回地依次抽取2道题，则第1次和第2次都抽到代数题的概率为______；在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______.

【答案】     /     /

【分析】用表示第次抽到代数题，用表示第2次抽到几何题，利用排列数和古典概型概率公式即可求解第1次和第2次都抽到代数题的概率；先计算，，结合条件概率的计算公式，即可求解在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

【详解】用表示第次抽到代数题，用表示第2次抽到几何题，

所以第1次和第2次都抽到代数题的概率，

因为，，

所以在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为:

.

故答案为：；.

四、填空题

14．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则的最大值为________．

【答案】1

【分析】根据指对互化公式得到x＝loga3，y＝logb3，.＝＝log3a＋log3b＝log3ab，结合均值不等式可得到最值.

【详解】因为a>1，b>1，ax＝by＝3，a＋b＝2，所以x＝loga3，y＝logb3.＝＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝log32＝1，当且仅当a＝b时，等号成立．

故答案为1.

【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

五、双空题

15．已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是___________.

【答案】     1    

【分析】作出函数的图象，结合图象可知之间的关系，利用此关系直接求出，再将转化为关于的二次函数求范围即可.

【详解】作出函数的图象，如图，

因为，

所以由图可知，，即，，且，

，

在上单调递增，

，

即的取值范围是.

故答案为：1；

六、解答题

16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.

(1)求角A的大小；

(2)若，，求边c及的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理化简为，从而可得，结合角的范围可得，从而可求得；

（2）由正弦定理求得，再根据余弦定理可求得，由求得，进而求得，，再结合和角正弦公式可得.

【详解】（1）根据正弦定理，

由可得.

即，即，

因为，所以.

所以，即.

（2）由正弦定理，可得，解得，

根据余弦定理可得，

即，，解得或（舍去）

故.

因为，所以，所以，

所以，

，

所以.

17．如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，D，E分别为BC，上的点，且.

(1)若，求证：平面；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；

(3)若平面与平面ACD的夹角为，求实数t的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3)

【分析】（1）由，得到点D，E分别为的中点，易得四边形为平行四边形，四边形是平行四边形，进而得到，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，根据线面角的空间向量的求法即可求解；

（3）设平面的一个法向量为，再由平面的一个法向量为，根据二面角的大小为，由求解．

【详解】（1）

当时，，即点D，E分别为的中点，

在直三棱柱中，，

所以四边形为平行四边形，

连接，则，

所以，

所以四边形是平行四边形，

所以．

又因为平面平面，

所以平面．

（2）

平面，又，

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则点，

当时，，即点D，E分别为的中点，则，

所以，

设平面的一个法向量，

则，即，令，则，

所以平面的一个法向量，

则，

令直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（3）由（2）可得，

所以，

所以．

设平面的一个法向量为，

则即，

取，

又平面的一个法向量为，

因为平面与平面ACD的夹角为，

所以，即，得，

又因为，所以．

18．已知数列的前n项和为，满足：

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用关系可得，即有，将两式相减并整理有，即可证结论.

（2）由（1）结论及题设可得，令、，应用作差法比较它们的大小，即可确定的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围．

【详解】（1）由题设，，则，

所以，整理得，则，

所以，即，，

所以，故数列为等差数列，得证.

（2）由，可得，又，结合（1）结论知：公差，

所以，故，则，

所以，且，

所以，即，

所以，在且上递减，则，

要使对任意恒成立，即，

所以.

19．设椭圆C：（）的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析，定点为

【分析】（1）利用椭圆的离心率及其短轴长联立方程组即可求解；

（2）设直线和直线的方程，并求出直线的方程，再求出点、的坐标，及其直线的方程，即可求出直线MN恒过某定点.

【详解】（1）由已知可得，解得，

故椭圆C的方程为；

（2）设直线的方程为（且），

直线的方程为（且），

则直线与x轴的交点为，

直线的方程为，则直线与直线的交点为，

将代入方程，得，

则点P的横坐标为，点P的纵坐标为，

将点P的坐标代入直线的方程，

整理得，

∵，∴，

由点坐标可得直线的方程为：

，

即，

则直线过定点.

20．已知，函数，其中e是自然对数的底数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的单调区间；

(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.

【答案】(1)

(2)单调增区间为，单调减区间为

(3)证明见解析，的最小值是e．

【分析】（1）先求的导函数, 再点斜式求曲线在点处的切线方程

（2）先求的导函数，根据的正负判定函数的增减即可；

（3）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.

【详解】（1）当时，,,

,,

曲线在点处的切线方程,

切线方程.

（2）当时，，

则

令，得；

令，得；

所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．

（3）

令，因为，

所以方程，有两个不相等的实根，

又因为，

所以，

令，列表如下:

所以存在极值点.

所以存在使得成立，

所以存在使得，

所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，

记，

所以，

当时，单调递减；

当时，单调递增．

所以当时，的最小值为．

所以需要，

即需要，

即需要，

即需要

因为在上单调递增，且，

所以需要，

故的最小值是e．