2023届云南省曲靖市高三下学期第二次教学质量监测数学试题含解析

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曲靖市2022-2023学年高三年级第二次教学质量监测

数学试题卷

（本卷满分150分，考试时间为120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，将对应的字母填在答题卡相应位置上，在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数（是虚数单位），则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.2010年9月16日，曲靖市麒麟区寥廓山顶的靖宁宝塔竣工开放，成为曲靖当地的又一标志性建筑.某中学数学兴趣小组为了测量宝塔高度，在如图所示的点A处测得塔底位于其北偏东60°方向上的D点处，塔顶C的仰角为60°.在A的正东方向且距A点64的点B处测得塔底在其北偏西45°方向上（A､B､D在同一水平面内），则靖宁宝塔的高度约为（    ）（参考数据：）

A.    B.    C.    D.

4.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知为双曲线的右焦点，为双曲线虚轴的一个端点，直线与双曲线的一条渐近线在轴左侧的交点为，若，则此双曲线渐近线的夹角为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知平面向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.2023年1月至4月，曲靖市辖区内长期没有下雨，4月份处于严重干旱状况，广大市民必须加强节约用水意识，家家户户都要节约用水.为了督促市民节约用水，曲靖市水务投资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费，其收费标准如下：一户居民每月用水量不超过15吨时，收费单价为3.5元/吨；超过15吨但不超过20吨时，超出15吨部分的收费单价为4.75元/吨；超过20吨时属于严重超标，超出20吨部分的收费单价为6元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行用水量调查，该生活区的某单元内居住着3户人家，每户月用水量严重超标的概率均为且相互独立，该单元有至少两户人家月用水量严重超标的概率为，当时，（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（    ）

A.这10天中PM2.5日均值的众数为33

B.这10天中PM2.5日均值的第75百分位数是36

C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数

D.这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差

10.正方体的棱长为分别为的中点，动点在线段上，则下列结论中正确的是（    ）

A.直线与直线异面

B.平面截正方体所得的截面面积为

C.存在点，使得平面平面

D.三棱锥的体积为定值

11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”.给出下列命题，其中正确的命题为（    ）

A.对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个

B.函数可以是某个圆的“太极函数”

C.正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”

D.函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形

12.若实数满足，则（    ）

A.且    B.的最大值为-3

C.的最小值为7    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中含的项的系数为__________.

14.已知圆的圆心是抛物线的焦点，直线与圆相交于两点，且，则圆的标准方程为__________.

15.已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，那么数列的所有“和谐项”的和为__________.

16.某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在①；②；③这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横线上，然后求解.

问题：在中，内角的对边分别为，且，__________.（说明：只需选择一个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）

（1）求角的大小；

（2）求内切圆的半径.

18.（本小题满分12分）

已知数列是公差为的等差数列，且满足.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前10项和.

19.（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.

（1）求证：平面平面；

（2）设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）

阅读对人的成长影响是巨大的，一个人的精神发展史，在一定意义上就是他本人的阅读史，而一个民族的精神境界，在很大程度上取决于全民族的阅读水平，为了倡导全民阅读，1995年，联合国教科文组织宣布，每年的4月23日为“世界读书日”，在今年的“世界读书日”来临之际，某书店为了了解市民阅读情况，在某小区随机抽取了40名居民，将他们的年龄分成7段：､，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求这40名居民中年龄不低于70岁的人数；

（2）①若从样本中年龄在40岁及以上的居民中任取4名赠送图书，求这4名居民中至少有1人年龄不低于70岁的概率；

②该书店采用抽奖方式来提升购书意愿，将某特定书籍售价提高10元，且允许购买此特定书籍的居民抽奖3次.规定中奖1次､2次､3次分别奖现金元､元､元，且居民每次中奖的概率均为.若要使抽奖方案对该书店有利，则奖金最高可定为多少元？（结果精确到个位数）

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）我们称圆心在椭圆上运动且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.过原点作椭圆的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，若直线的斜率存在，并记为，求的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数是的导函数.

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个不同的零点，证明：.

曲靖市2022-2023学年高三年级第二次教学质量监测

数学参考答案

一､选择题

解析：

1.，

所以，选B.

2.，选C.

3.如图，由题意得，.

在中，

平面，

在中，

故选C.

4.由题意可知，，

由图象知，，解得，所以；

代入增区间上的零点后可得：，所以，

所以，因为，所以，即，

所以，选B.

5.设，则直线的方程为，

因为在轴左侧，所以渐近线方程为，

由，得，故.

，

双曲线的渐近线方程为，

故双曲线渐近线的夹角为，选.

6.已知，由于，所以，解得，

所以，得，

则，

故在方向上的投影为，

得在方向上的投影向量为.选.

7.由题意可得，，

令，则，故.

又，所以，故，所以，

当或时，，函数分别单调递减；当时，，函数单调递增.

故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值.

时时，故轴是图象的水平渐近线，其图象如图所示.

结合函数的图象，要使关于的方程恰有两个实数根，

实数的取值范围是.选.

8.设事件为：该单元有2户人家月用水量严重超标，事件为：该单元有3户人家月用水量严重超标，则

，

即，

将各选项代入验证发现，唯有满足要求，选A.

或者，令，整理为：，

所以或，因为，所以，故选A.

二､多选题

解析：

9.由折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，故A正确；因为，

所以第75百分位数是从小到大数的第8个数，即36，故B正确；中位数为，

平均数为，中位数小于平均数，故C错误；

前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差，故D错误.故选AB.

10.依题意作下图，连接，则有，即与共面，构成平面.

对于A，连接都在平面内，

直线与共面，故错误；

对于，平面截正方体的截面就是，以为原点

建立空间直角坐标系如图，

则，

，即，由空间两点距离公式得，

四边形的面积，故B正确；

对于C，直线与相交，平面平面，

故平面与平面相交而不平行，故C错误；

对于D，因为直线底面，所以点到底面的距离就是正方体的棱长1，

也是底面为的三棱椎的高，又因为的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：BD.

11.对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个，故A正确；

函数是奇函数，其图象关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，

则是该圆的“太极函数”，故B正确；

将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数

是该圆的“太极函数”，故有无数个圆成立，故C正确；

函数的图象是中心对称图形，则是“太极函数”，

但函数是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如

图，故D错误.故选：ABC.

12.由，可得，所以且，故A正确；由得，当且仅当，即时，

等号成立，所以的最大值为-3，故B正确；

，当且仅当

时，等号成立，所以的最小值为9，故C错误；

故D正确.故选：ABD.

三､填空题

解析：

13.的展开式中项为：，的展开式中没有项，故的展开式中含项的系数为-12，故答案为-12.

14.由题意可知，圆心圆心到直线的距离，

又直线与圆相交于两点，且，

圆的半径，

圆的标准方程为：，故答案为：.

15.由题意得，当时，，所以.

由，得，所以是公比为2且首项为1的等比数列，所以，

由得，即，所以和为.故答案为：2047.

16.由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面，则是椭圆的长轴，是椭圆的短轴.是圆台的轴线，作于，则

.

.

记与的交点为的中点为，则.

.

由实际情形知，点在圆台的过轴线的中点且与轴线垂直的截面圆上，.由垂径定理知垂直平分，

.

记椭圆的离心率为，长半轴长､短半轴长､半焦距为，则

.故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

特别说明：所标示的得分点，仅仅作为评分参考，具体阅卷需要请阅卷题组长组织讨论制定相对科学合理又方便于评分操作的评分细则.

17.（本小题满分10分）

解：（1）选①，由正弦定理得，因为，所以，所以，化简得，所以，

因为，所以.

选②，因为，所以

，所以，

又因为，所以.

选③，因为，由正弦定理得，而，

，因为，所以，

又因为，所以.

（2）由（1）知，，所以，

所以.

设内切圆的半径为周长为，

因为，故，

所以，即内切圆的半径为.

18.（本小题满分12分）

解：（1）因为是公差为的等差数列，，

所以当时，，

当时，，

因为，即，

解得，所以或（舍去），

所以.

（2）由（1）得，

.

所以.

19.（本小题满分12分）

（1）证明：在中，因，

所以，所以，又，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

（2）解：假设存在点，使得平面平面.

取中点为，连接，则，

因为平面平面，

平面平面，

所以平面.

如图所示建立空间直角坐标系，

不妨设，则，，则，

设是平面的法向量，则，取.

设，其中.

则

连接，因平面平面，平面平面，故取与同向的单位向量.

设是平面的法向量，

则，取.

由平面平面，知，有，解得.

故在侧棱上存在点，使得平面平面.

20.（本小题满分12分）

解：（1）由频率分布直方图，得

40名居民中年龄不低于70岁的人数共有名.

（2）①由频率分布直方图知，40岁以上的居民共有名，

年龄不低于70岁的居民有2名，记事件为“这4名群众至少有1人年龄不低于70岁”，则

②设居民三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能取值为：.

由题意得，

故居民在三次抽奖中获得的奖金总额的期望值为：

，

由题意得，即，而

所以最高定为16元时，才能使得抽奖方案对该书店有利.

21.（本小题满分12分）

解：（1）由题意，得且，又，

解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设切线的方程为，切线的方程为，“环绕圆”的圆心为.

由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为.

因为直线与“环绕圆”相切，则由点到直线的距离公式可得，

化简得.

同理可得.

所以是方程的两个不相等的实数根，

所以.

又因为“环绕圆”的圆心在椭圆上，所以代入椭圆方程中，

可得，解得.

所以.

又因为且，所以或.

所以或，所以或，

所以或.

所以的取值范围是.

22.（本小题满分12分）

（1）解：的定义域为，

.

当时，在上单调递减，故无极值；

当时，时时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故的极小值为，无极大值.

综上所述，当时，无极值；

当时，的极小值为，无极大值.

（2）证明：依题意有两个不同的零点，即有两个不同的根，

即有两个不同的根，

则①，②；

①+②得③，

②-①得④，

由③④整理得.

不妨设，令，

令，则，

所以在上单调递增，所以，

即即，

所以.

又，

所以，即.

令，则在上单调递增，

又，所以，

即，所以.