2023届四川省成都市高三三诊数学（理）试题含解析

这是一份2023届四川省成都市高三三诊数学（理）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省成都市高三三诊数学（理）试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，将集合化简，然后结合并集的运算，即可得到结果.【详解】因为，且，则，故选：C2．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果.【详解】由题意可得，“”的否定是，故选：B3．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线的方程，再代入点，即可求解.【详解】由题意设双曲线的标准方程为，代入点，得，得，所以双曲线的标准方程为.故选：A4．如图是某三棱锥的三视图，已知网格纸的小正方形边长是1，则这个三棱锥中最长棱的长为（    ）A．5 B． C． D．7【答案】C【分析】根据三视图得到几何体的直观图，求出棱长，即可判断.【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示：其中，，，且平面，，所以，，，所以三棱锥中最长棱为.故选：C5．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的定义域，单调性以及特殊值，结合选项得出答案．【详解】函数的定义域为，排除选项D，又，所以排除选项C，当时，，且，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，排除选项B，故选：A6．一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为．现发现有两名同学的成绩计算有误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115分．更正后重新计算，得到方差为，则与的大小关系为（    ）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】根据已知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小可得结论．【详解】设班级人数为，因为，所以更正前后平均分不变，且，所以.故选：B7．已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求向量的单位向量，再利用投影向量的求法求解即可.【详解】设与的夹角为，由，可得与方向相同的单位向量为，所以在上的投影向量为：，故选：D.8．世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙等6名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将特殊元素进行选择，然后再排其它元素得到甲，乙两人被安排在同一个场馆的种数，根据先分组再排列的原则可以计算出每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作的种数，即可求得所要求的概率.【详解】将6个志愿者分成三组，每组两个人，然后安排到三个地方工作，共有，甲，乙两人被安排在同一个场馆工作，其它随机安排，共有，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为，故选：C.9．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，又由且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.10．已知函数，当时，的最小值为．若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，由条件可得，再由图像变化可得解析式，即可得到结果.【详解】因为，，当时，则一个为最大值，一个为最小值，且的最小值为，即，所以，即，将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，则，所以，即，解得，即解集为，故选：D11．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．有下列结论：①四边形为平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若（为坐标原点），则四边形的面积为；④若，则椭圆的离心率可以是．其中错误结论的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【分析】根据椭圆的对称性，得到为的中点，也是的中点，可判定①正确；设，则，不妨设，联立方程组，求得的坐标，结合斜率公式，可判定②正确；由，得到，结合勾股定理和椭圆的定义，得到，求得，可判定③错误；求得， ，得到，求得，即可求解.【详解】解：对于①中，如图（1）所示，根据椭圆的对称性，可得为的中点，且也是的中点，所以与互相平分，四边形为平行四边形，所以①正确；对于②中，如图（2）所示，设，则，不妨设，联立方程组，可得，则，可得，即所以直线的斜率为，所以②正确；对于③中，如图（3）所示，不妨设点位于第一象限，因为，所以三点共圆，所以，可得，又由椭圆的定义得，所以，可得，所以的面积为，所以的面积为，所以③错误；对于④中，设，可得，可得，又由，可得，同理可得，要使得，则满足，即，因为，所以，解得，又因为，所以，所以离心率可能为，所以④正确.故选：A.12．已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据解析式得，由，得，设，则，从而可得，求解导函数，分类讨论与两种情况下函数的单调性，从而可得答案.【详解】定义域为，显然，若是零点，则，，所以也是零点，函数有三个零点，不妨设，则，所以，，当时，结合定义域和判别式易知恒成立，即函数在上单调递增，不符合题意；当时，设的两根分别为，易知，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，，，当，，所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.综上，的取值范围是故选：B【点睛】求解本题的关键是根据函数解析式得若是零点，也是零点，从而得，所以求的取值范围即求的取值范围，然后求解导函数，利用导数分类讨论函数的单调性即可. 二、填空题13．已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为_______．【答案】/【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.【详解】因为复数为纯虚数，所以，所以.故答案为：.14．在等比数列中，若，则的值为_______．【答案】81【分析】根据题意，由条件可求得，从而得到结果.【详解】因为数列为等比数列，设其公比为，且，则，所以，则，故答案为:15．如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为_______．【答案】10【分析】先推出平面，设过的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为，连，推出平面，从而可得点的轨迹是矩形，计算这个矩形的面积即可得解.【详解】因为是圆柱下底面圆的直径，所以，又，，平面，所以平面，设过的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为，连，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以点在平面内，又点在圆柱的表面，所以点的轨迹是矩形，依题意得，，，所以，所以矩形的面积为.故点的轨迹所围成图形的面积为.故答案为：.16．在平面直角坐标系中，射线与直线，圆分别相交于两点，若线段上存在点（不含端点），使得对于圆上任意一点都满足，则的最大值为_______．【答案】/【分析】根据题意转化为，得到，求得，得到，代入圆的方程，得到，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】设，则，因为，根据阿氏圆的性质和相似，可得,则，整理得，可得，即，所以，代入圆的方程，可得，所以，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：利用阿氏圆模型得到，转化为相关点坐标值的数量关系，进而得到关于参数的函数. 三、解答题17．某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益．该公司统计了今年以来这款文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示：产品定价（单位：元）99.51010.511销量（单位：万件）1110865(1)依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）；(2)建立关于的回归方程，预测当产品定价为8.5元时，销量可达到多少万件．参考公式：．参考数据：．【答案】(1)，说明与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系(2)12.8万件 【分析】（1）先计算出、的平均值，再结合相关性系数的参考公式计算即可，根据数值得到相关性强弱，（2）根据公式，计算出关于的回归方程，将代入回归方程即可得到结果.【详解】（1）由题条件得，．，，．与的相关系数近似为，说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．（2），关于的线性回归方程为．当时，．∴当产品定价为8.5元时，预测销量可达到12.8万件．18．如图，在多面体中，已知是正方形，，平面分别是的中点，且．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由其性质定理即可得到证明；（2）根据题意，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.【详解】（1）如图，设是的中点，连接．为的中点，．又平面平面，平面．同理可得，平面．平面，∴平面平面．又平面，平面．（2）平面平面，．以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，，，设平面的一个法向量为．由得令，得，设与平面所成角为，则．∴直线与平面所成角的正弦值为19．在中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若是边上一点，且，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理即两角和的正弦公式即可；（2）利用余弦定理结合已知条件即可解决问题.【详解】（1），由正弦定理有：，               ，．               ．               又．．又．（2）在中，由余弦定理得：．在中，由余弦定理得：．．即，整理得．           在中，由余弦定理得:．则．．，即．               20．已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．(1)求线段中点纵坐标的值；(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点的坐标为 【分析】（1）设，其中，利用点差法化简求出线段中点纵坐标的值；（2）设，由直线过点，化简可得，同理可得，代入直线化简，可得定点的坐标．【详解】（1）设，其中，由，得，化简得，，即，线段中点纵坐标的值为；（2）证明：设，，直线的方程为，化简可得，在直线上，解得， 同理，可得，，，又直线的方程为，即，直线恒过定点．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查定点定值问题，考查点差法的应用，关于定点定值问题的思路，一般有以下两种：1.先猜再证，通过特殊位置或者特殊点得出要求的定点或者定值，再用一般方法证明，对任意符合条件的直线都成立；2.边猜边做，直接联立直线与曲线方程，写出韦达定理，将已知条件转化为等式，找出直线所过的定点或者所求的定值．21．已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，求导得，即可得到切线方程；（2）根据题意，设，分与讨论函数的单调性，结合是函数的极小值点，即可得到结果.【详解】（1）当时，函数．．．                   ∴曲线在点处的切线方程为．（2）由题知，不妨设．．               （i）当时，不妨设．在上恒成立．在上单调递增．                   又，∴当时，；当时，．           ，．∴当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增．是函数的极小值点．                   （ii）当时，不妨设．，使得，且．在上单调递减．                 ∴当时，．∴当时，．在上单调递减．             不是函数的极小值点．综上所述，当是函数的极小值点时，的取值范围为．22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)若是曲线上一点，是直线上一点，求的最小值．【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为(2) 【分析】（1）根据题意，由普通方程与参数方程以及极坐标方程的互化，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由点到直线的距离公式结合辅助角公式即可得到结果.【详解】（1）由直线的参数方程，得直线的普通方程为．将代入曲线的极坐标方程，化简得曲线的直角坐标方程为．（2）由（1），设点，由题知的最小值为点到直线的距离的最小值．又点到直线的距离，其中．        当时，的最小值为．的最小值为．23．已知函数，且不等式的解集为．(1)求实数的值；(2)若正实数满足，证明：．【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，可得，然后列出方程求解，即可得到结果；（2）根据题意，结合基本不等式代入计算即可得到证明.【详解】（1），且，，解得．．            ．（i）当时，由，解得（不合题意，舍去）；（ii）当时，由，解得，经检验满足题意．综上所述，．（2）由（1）得．．，           ．当且仅当，即时等号成立．．