2023届江苏省淮安市盱眙中学高三下学期四模数学试题含解析

这是一份2023届江苏省淮安市盱眙中学高三下学期四模数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省淮安市盱眙中学高三下学期四模数学试题 一、单选题1．已知．若p为假命题，则a的取值范围为(   )A． B． C． D．【答案】A【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参. 【详解】因为p为假命题，所以，为真命题，故当时，恒成立．因为当时，的最小值为，所以，即a的取值范围为．故选：A. 2．已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，则(   )A． B． C．6 D．【答案】D【分析】先化简复数，再由复数对应的坐标在直线上可得参数. 【详解】由题意，得，其在复平面内对应的点的坐标为．因为z在复平面内对应的点在直线上，所以，解得．故选:D．3．在数列中，，且，则的通项为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解：∵，∴，由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．故选：A4．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　）A．(1，－1,1) B．(1,3，)C．(1，－3，) D．(－1,3，－)【答案】B【分析】要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量是否垂直，即判断是否为0即可.【详解】对于选项A，，则，故排除A；对于选项B，，则对于选项C，，则，故排除C；对于选项D，，则，故排除D；故选:B5．若在是减函数，则的最大值是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据辅助角公式化简，再结合余弦函数单调性性质列不等式，解得结果.【详解】.当x∈时，∈，所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是·故选C.【点睛】本题考查辅助角公式、余弦函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.6．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　)A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品 D．都不是一等品【答案】C【分析】将件一等品编号为，件二等品的编号为，列举出从中任取件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M，N两点（），作，垂足为K，则外接圆的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，列出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，求出点，利用两点间距离公式与抛物线的性质，得到为等边三角形，且边长，再利用正弦定理求出外接圆的半径，进而得到外接圆的面积.【详解】由题得焦点，，则直线MN的方程为，联立解得，作，则点K的坐标为，，同理可得.由抛物线定义可知，所以为等边三角形，所以外接圆的半径，所以外接圆的面积故选：D8．已知函数，若的最小值为m，其中是函数的导函数，则在处的切线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义即可求解.【详解】由题得，则的最小值．，，函数在处的切线方程是：，即.故选：B． 二、多选题9．设函数，则（    ）A．的最小值为，其周期为B．的最小值为，其周期为C．在单调递增，其图象关于直线对称D．在单调递减，其图象关于直线对称【答案】AD【分析】首先化简函数，再判断函数的性质.【详解】，函数的最小值是，周期，故A正确，B错误；时，，所以在单调递减，令，得，其中一条对称轴是，故C错误，D正确.故选：AD10．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD. 11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，I为的内心，O为坐标原点，则下列结论成立的是（    ）A．若C的离心率，则的取值范围是B．若且，则C的离心率C．若C的离心率，则D．过作，垂足为P，若I的横坐标为m，则【答案】BCD【分析】对于选项A，根据离心率求得渐近线方程，数形结合即可判断；对于选项B，根据已知条件并结合双曲线的定义可以求得相关线段长度，利用余弦定理可建立a，c之间的关系，即可求得离心率；对于选项C，设的内切圆半径为r，结合三角形的面积公式和双曲线的定义可以判断；对于选项D，运用双曲线的定义以及平面几何中圆的切线长定理，即可判断．【详解】对于选项A，当时，双曲线的渐近线方程为，其倾斜角分别为，，因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，所以的取值范围是，故A错误．对于选项B，由双曲线的定义可知，又，故，，由，得，所以，连接 ，则，由得，在中，由余弦定理得，得，故，故B正确．对于选项C，因为C的离心率，所以，设的内切圆I的半径为r，则，故C正确．对于选项D，设，因为，AP为的平分线，所以为等腰三角形，，，则，在中，OP为中位线，所以．设的内切圆I与，，相切的切点分别为D，N，M，则，又所以，，故D正确．故选：BCD．12．已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合作差法和特殊值依次判断，即可求解．【详解】解：对于①：，因为，所以，，所以，即，故①正确，对于②：，因为，所以，，所以，即，故②正确，对于③：当，时，，，所以，故③错误，对于④：，因为，所以，，所以，即，故④正确，综上所述，正确的有①②④．故选：ABD． 三、填空题13．已知向量的夹角为，，则__________．【答案】【分析】利用条件，根据向量数量积的定义及模长的定义即可求出结果.【详解】因为向量的夹角为，，所以所以，故答案为：.14．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．【答案】【分析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.【点睛】函数的性质（1）.（2）周期（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，（4）由求增区间；由求减区间.15．已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.【答案】【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.【详解】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.16．已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为_________.【答案】【分析】由题知，进而将问题转化为函数与函数的图象恰有2个公共点，再结合导数几何意义求解切线，数形结合求解即可.【详解】解：由得，由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，作出函数的图象，如图，再作出直线，它始终过原点，设直线与相切，切点为，由知，切线斜率为，切线方程为，把代入得，所以切线斜率为，设与相切，则，所以，，解得舍去），由图可得实数m的取值范围是或.故答案为： 四、解答题17．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，面积为2，求．【答案】（1）；（2）2．【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.试题解析：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．18．已知等差数列满足，成等比数列，且公差，数列的前n项和为．(1)求；(2)若数列满足，且，设数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据成等比数列，列出方程，求出公差，得到答案；（2）由题干条件得到，推导出，求出，列出不等式，得到，作差法求出的单调性，得到最值，求出答案.【详解】（1）因为数列为等差数列，，成等比数列，所以，因为，所以，所以．（2）因为，所以，两式相减得，所以．所以，所以，所以．因为对任意的，都有，所以，所以．令，则，所以当时，递增，而，所以，所以．19．如图，在平面五边形ABCDE中是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中．将沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使．(1)求证：平面平面ABCD；(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)正弦值为 【分析】（1）取AD的中点N，连接MN，BN．通过证明，，得平面MAD．再根据面面垂直的判定可得平面平面ABCD；（2）以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值，再根据同角公式求出其正弦值.【详解】（1）如图，取AD的中点N，连接MN，BN．因为是等边三角形，所以，且，在直角梯形ABCD中，因为，所以四边形BCDN是矩形，所以，且，所以，即，又，平面MAD．平面MAD．所以平面MAD．因为平面ABCD，所以平面平面ABCD．（2）由（1）知NA，NB，NM两两互相垂直，以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，，由P是棱CM的靠近点C的三等分点得，，设平面PBD的一个法向量为，则，即，令，则，故平面BDP的一个法向量为．而平面MAD的一个法向量为，设平面PBD与平面MAD所成的二面角的平面角为，则，所以，所以平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值为．20．自2020年初以来，由于新冠疫情的冲击，人们日常购物的方式发生了较大的变化，各种便民的团购群异常活跃，据某微信公众号消息，参团进行团购已逐渐成为一大常规的购物形式，因此外卖员的收入明显提高.为调查某市外卖员的收入，现随机抽取500名外卖员，按照他们投送的距离分类统计得到如图所示的频率分布直方图.将上述调查所得到的频率视为概率.(1)估计该市外卖员的平均运送距离；(2)假设外卖平台给外卖员的运送距离与外卖员的收入有关，其中甲平台规定：1000米以内每份2元，1000米至3000米每份5元，3000米以上每份13元.乙平台规定：2000米以内每份3元，2000米至3000米每份6元，3000米至4000米每份12元，4000米以上每份18元，若你暑期打工去送外卖，每天能送50份，并且只考虑每天的平均收入，你会选择哪一家平台？为什么？【答案】(1)2.8千米(2)会选择乙平台，因为每天平均收入会高一些 【分析】（1）由分布直方图直接求解平均数即可.（2）首先根据题意写出的所有可能，列出分布列,然后比较两个平台收入的大小即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知，平均运送距离为(千米)，所以估计该市外卖员的平均运送距离为2.8千米.（2）设外卖员在甲平台每份外卖的收入为X元，在乙平台每份外卖的收入为Y元，则可得到X，Y的分布列分别为X2513P0.050.550.4则(元)，(元)，即选择甲平台每天的平均收入为402.5元.Y361218P0.250.350.250.15则(元)，(元)，即选择乙平台每天的平均收入为427.5元.因为故会选择乙平台，因为每天平均收入会高一些.21．①离心率为；②经过点；③，请在上述三个条件中选择一个作为已知条件，回答下列问题．已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆经过点，_________．(1)求椭圆的方程；(2)过的斜率为的直线与椭圆交于点(异于点)，过与直线垂直的直线交椭圆于点，，记中点为，记的中点为，求满足的直线的斜率．【答案】(1)(2)或1 【分析】（1）根据所选条件得到关于、、的方程组，解得、，即可得到椭圆方程；（2）由题意得直线的方程为，点，联立直线与椭圆方程，求出，表示直线的方程，设，，联立方程，消元、列出韦达定理，即可表示出，根据得到方程，解得即可.【详解】（1）若选①，离心率为，由题意得，解得，所以椭圆方程为．若选②，经过点．将点、代入椭圆方程得，解得，所以椭圆方程为．若选③，．由题意得，解得，所以椭圆方程为．（2）由题意得直线的方程为，点，联立直线方程与椭圆方程，消去并整理得，由，则，所以，则，由（1）知，所以直线的方程为，即，设点，，联立直线方程与椭圆方程，消去并整理得，因为，所以，因为是中点，所以，所以，因为，所以，化简得，则，解得或（舍去），所以满足条件的斜率的值为或．22．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有个不等实根，求证：.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析 【分析】（1）求导后，根据的正负可得的单调性；（2）根据（1）中的单调性可求得的极值，进而确定的图象，采用数形结合的方式可求得的范围，根据范围可知只需证明即可；为此可构造函数，利用导数可求得的单调性，得到，代入，结合函数单调性可证得，由此可得结论.【详解】（1）定义域为，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知：极小值为，极大值为，又当时，恒成立，可得图象如下图所示，若有三个不等实根，则与有三个不同交点，由图象可知：，，，设，则，当时，，，，，，在上单调递减，，，又，，又，，，，在上单调递减，，即，又，.