2023届江苏省扬州中学高三下学期模拟检测六数学试题含解析

2023届江苏省扬州中学高三下学期模拟检测六数学试题

一、单选题

1．已知向量，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐标公式得出，从而得出答案.

【详解】若，则，所以；

若，则，解得，得不出．

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

2．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用复数的四则运算得到z的代数形式，再利用复数的概念进行求解.

【详解】由题意，得，

所以，则复数的虚部为．

故选：．

3．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）

A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b

【答案】A

【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.

【详解】由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

4．若向量，满足，，，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由数量积运算和运算律求解即可.

【详解】，，，，

，，，．

故选：B．

5．已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（    ）

A．2007 B．2008 C．2009 D．2010

【答案】B

【分析】根据等差数列的首项和性质,结合可判断出,.结合等差数列的前n项和公式,即可判断的最大项.

【详解】数列为等差数列,若

所以与异号

首项,则公差

所以

则,所以

由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得

所以的最大值为,即

故选:B

【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n项和公式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.

6．如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥E-POB的体积为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】利用等体积法，即计算求解即可.

【详解】因为P，O分别为，AD的中点，

所以由直棱柱的性质知平面ABCD，

又为正三角形，，

所以．

连接CO，如图，

在直角梯形ABCD中，易知．

因为E为PC的中点，

所以，

故选：C

7．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】8．设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋中的球数比为1：3.已知从甲袋中摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为，则从乙袋中摸到红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设甲袋中的总球数为，则甲袋中有个红球，个白球，乙袋中的总球数为，根据题意建立方程求解未知数.

【详解】假设甲袋中的总球数为，则甲袋中有个红球，个白球，乙袋中的总球数为；又甲、乙两袋中共有个红球，所以乙袋中有个红球.因而从乙袋中摸到红球的概率为.

故选：A

【点睛】此题考查古典概型，根据古典概型的概率求解参数的取值，关键在于熟练掌握古典概型的公式特征，建立方程求解.

二、多选题

9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（    ）．

A．当时，

B．函数有五个零点

C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是

D．对，恒成立

【答案】AD

【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断B、C、D．

【详解】设，则，所以，

又函数是定义在上的奇函数，所以，

所以，即

故A正确．

当时，，所以，

令，解得，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故当时，函数取得极小值，

当时，，又，故函数在仅有一个零点．

当时，，所以函数在没有零点，

所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，

故函数在上仅有一个零点，又，

故函数是定义在上有3个零点．

故B错误．

作出函数的大致图象，由图可知

若关于的方程有解，则实数的取值范围是.

故C错误．

由图可知，对，

故D正确．

故选：AD．

【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函数的零点，综合性较强．

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则

B．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

C．函数的单调递增区间为

D．的最小正周期为

【答案】ACD

【分析】利用二倍角公式和诱导公式可求得，知A正确；

根据三角函数平移变换可求得，知B错误；

利用三角恒等变换公式化简得到解析式，利用整体对应的方式可求得单调递增区间，知C正确；

利用二倍角公式化简得到，由正切型函数的周期性可求得结果知D正确.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，向右平移个单位长度得：，即，B错误；

对于C，，

则由，得：，，

的单调递增区间为，C正确；

对于D，，的最小正周期为，D正确.

故选：ACD.

11．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（    ）

A． B．事件B与事件相互独立

C．事件B与事件相互独立 D．，互斥

【答案】AD

【分析】先画出树状图，然后求得， ，的值，得A正确；利用 判断B错误，同理C错误；由，不可能同时发生得D正确.

【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：

因此，，，A正确；

又，因此，B错误；

同理可以求得，C错误；

，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，

故选：AD．

【点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.

12．已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有

A．渐近线方程为 B．渐近线方程为

C． D．

【答案】BC

【分析】由离心率公式化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到的值.

【详解】双曲线离心率为

故渐近线方程为，

取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,

则，

所以则

故选BC

【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.

三、填空题

13．已知函数，若对任意实数，恒有，则____．

【答案】

【分析】对进行化简得到，根据正弦函数和二次函数的单调性得到，进而确定，，，利用两角差的余弦公式得到．

【详解】

对任意实数，恒有

则

即，

【点睛】本题的关键在于 “变角”将变为结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式．

14．已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】画出的图象，数形结合解决问题

【详解】有两个零点，即有两个根，即函数与有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，符合题意

故答案为：

15．已知，则的最小值是__________．

【答案】2

【分析】根据已知条件将进行变形，进而结合均值不等式即可求出结果.

【详解】因为，所以，

而

,

当且仅当时，即时，等号成立，

故的最小值是2，

故答案为：2.

16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

【答案】

【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.

【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，

其中，且点M为BC边上的中点，

设内切圆的圆心为，

由于，故，

设内切圆半径为，则：

，

解得：，其体积：.

故答案为：.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

四、解答题

17．在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．

已知中，内角所对的边分别为，且________．

(1)求的值;

(2)若，求的周长与面积．

【答案】(1)

(2)周长为11，面积为

【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角及诱导公式求出，再求出，由正切的二倍角公式即可求出的值；若选②，由诱导公式化简，再结合三角函数的平方和，可求出，，再由正切的二倍角公式可求出的值；若选③，由余弦的二倍角公式代入化简求出，再求出，由正切的二倍角公式可求出的值；

（2）由，求出，由正弦定理求出，最后根据三角形的面积公式和周长即可得出答案.

【详解】（1）若选①:由正弦定理得，

故，

而在中，，

故，又，

所以，则，

则，

故．

若选②:由，化简得，代入中，整理得，

即，

因为，所以，所以，

则，

故．

若选③:因为，

所以，即，则．

因为，所以，

则，

故．

（2）因为，且，

所以．

由（1）得，则

，

由正弦定理得，则．

故的周长为，

的面积为．

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设分别是数列的前项和，且， ，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组，求出和，从而写出数列的通项公式；

（2）由第（1）题的结论，写出数列的通项，采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列的前项和.

其余两个方案与方案一的解法相近似.

【详解】解：方案一：

（1）∵数列都是等差数列，且，

，解得

，

综上

（2）由（1）得：

方案二：

（1）∵数列都是等差数列，且，

解得

，

.

综上，

（2）同方案一

方案三：

（1）∵数列都是等差数列，且.

，解得，

，

.

综上，

（2）同方案一

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题.

19．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．

由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．

又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

（2）在平面内作，垂足为，

由（1）可知，平面，故，可得平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则

即

可取.

设是平面的法向量，则

即可取.

则，

所以二面角的余弦值为.

【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：

①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；

③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.

20．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.

(1)求的面积；

(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)为定值.·

【分析】（1）设，根据两点间长度得出与，即可根据已知列式解出，即可得出答案；

（2）根据第一问得出双曲线的方程，设，直线l的方程为，根据韦达定理得出，即可根据直线方程得出与，则根基两点斜率公式得出，化简代入即可得出答案.

【详解】（1）依题意可知，，

则，

，

又，所以，

解得（舍去），

又，所以，

则，

所以的面积.

（2）由（1）可，解得，

所以双曲线C的方程为，

设，则，则，，

设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，

由，得，

由一元二次方程根与系数的关系得，

所以，

，

则，

故为定值.·

21．由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．

(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．

附：，，

【答案】(1)从A地抽取6人，从B地抽取7人.

(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

(3)分布列见解析，期望为2.

【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.

（2）补全列联表，再根据独立性检验求解即可.

（3）由题意知，进而根据二项分布求解即可.

【详解】（1）由题意得，解得，

所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）．

（2）完成表格如下：

零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.

，

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

（3）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，

从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

．

所以X的分布列为

方法1：．

方法2：.

22．已知函数，．

(1)求函数的极值点；

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)是的极大值点，无极小值点

(2)

【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；

（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.

【详解】（1）由已知可得，函数的定义域为，且，

当时，；当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以是的极大值点，无极小值点．

（2）解法一：设，，

则，

令，，则对任意恒成立，

所以在上单调递减．

又，，

所以，使得，即，则，即．

因此，当时，，即，则单调递增；

当时，，即，则单调递减，

故，解得，

所以当时，恒成立．

解法二：令，，当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即．

因为，所以，当时等号成立，

即，当时等号成立，

所以的最小值为1．

若恒成立，则，

所以当时，恒成立．