2023届内蒙古自治区赤峰市林东第一中学高三下学期3月模拟考试数学（理）试题含解析

2023届内蒙古自治区赤峰市林东第一中学高三下学期3月模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】根据题意可得，，可知集合C必包含，可能有，列举或根据子集理解．

【详解】由知．又，则集合．又，则满足条件的集合C可以为，，，，共4个，

故选：C．

2．已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：

甲：；    乙：；

丙：；    丁：．

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【分析】设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.

【详解】设，

由于对应点在第二象限，所以，

，，

，.

甲，

乙，

丙，

丁，

由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.

故选：B

3．在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得，再分析求解即可.

【详解】如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，

所以为三角形的重心，所以.

故选：B.

4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由“斐波那契数列”满足，将转化为问题中的项.

【详解】因为，

所以，

又因为，所以，

故选：B.

5．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】设点的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.

【详解】由题意得，所以准线为，

又因为，设点的坐标为，

则有，解得：

将代入解析式得：，

所以M点到x轴的距离为．

故选：D．

6．二项式的展开式中的系数与的系数之比为（    ）

A．6 B．-6 C．15 D．-15

【答案】B

【分析】根据二项式写出含、的项，即可得结果.

【详解】由题设，

所以含项为，含项为，，

则系数之比为-6.

故选：B

7．已知某品牌手机电池充满时的电量为4000（单位：毫安时），且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式：电量呈线性衰减，每小时耗电400（单位：毫安时）；模式：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启模式，并在小时后，切换为模式，若使且在待机10小时后有超过的电量，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可列出方程，建立一次函数和指数函数的图像，即可分析的取值范围.

【详解】由题意：模式A在待机t小时后电池内电量为：；设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为：；则该电子产品处于满电量待机状态时开启模式，并在小时后，切换为模式，其在待机10小时后的电量为：，由，即，令，则，由图可分析，

当时，，即，因为

故选：C.

8．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（    ）

A．9 B．7 C．11 D．3

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出的关系式，再求出函数含有数0的单调区间即可判断作答.

【详解】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，

由得，则函数在上单调递增，

而函数在区间上不单调，则，解得，

所以的最小值为11.

故选：C

9．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造且、，利用导数研究其单调性，即可判断a、b、c的大小关系.

【详解】由，

令且，则，

所以在上递增，故，

所以，即，故；

由，

设，则，

，，

在上单调递增，故，

，即．

综上，.

故选：A

10．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，以彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点在半径为的大上，点，在半径为的小上，点，点在弦的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】用表示出的面积函数，利用导数研究其单调性，从而求得面积最大时对应的值．

【详解】如图所示，等腰中，，

所以的面积为：

，；

，

令，，

∵，

所以在上单调递减，

令，得，

解得（负值舍去）；

设，，

则在，，单调递增，

在，，单调递减，

所以当取，即时，取最大值，

即的面积最大时，对应的．

故选：C．

11．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.

【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，

设，则，显然有，，

，因此，，在，，

即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，

所以E的离心率为.

故选：B

【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率；

②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

12．已知函数 ，若函数有三个不同的零点，，且，则 的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数零点定义，结合数形结合思想、一元二次方程根与系数关系，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.

【详解】函数的图象如下图所示：

令，因为函数有三个不同的零点，

所以，

因为二次函数的对称轴为，所以有，

显然是方程的两个不相等的实数根，因此有，

是方程的根，即，所以，

于是有，设，

设，

当时，单调递增，所以有，

即单调递减，

所以当时，，

故选：C

【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，利用构造函数法结合导数的性质是解题的关键.

二、填空题

13．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则________．

【答案】2

【分析】根据平均数和方差的定义进行求解即可.

【详解】因为将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，

所以这6个实数组成的一组数据的平均数不变，设为，

设没有变化的4个数与平均数差的平方和为，

所以，

故答案为：

14．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．

【答案】

【分析】结合拿破仑定理求得，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB＋AC的最大值.

【详解】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图，连接AF，BD，AD．

由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．

因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，，

同理．

又，

所以．

在△ADF中，由勾股定理可得，

即，化简得，

由基本不等式得，解得

（当且仅当时取等号），所以．

故答案为：

15．在三棱锥中，平面，三棱锥的体积为，已知三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.

【答案】

【分析】根据外接球与三棱柱的几何位置关系，作出图形，在直角中利用勾股定理求出外接球半径即可求解.

【详解】根据题意，作图如下，

设，

则，

所以，

所以，

如图，点为等边三角形外接圆的圆心，则，

设外接球的球心为，则有,

所以在直角中，，

所以外接球的表面积为,

故答案为: .

16．已知，，若对，，使得，则实数的最小值为_________.

【答案】

【分析】依题意可知，分别求出及，列式即可求解

【详解】依题意可知

则，当时，；当时，

所以在上单调递增，在上单调递减

所以

在上单调递增，则

所以，所以，即的最小值为

故答案为：

三、解答题

17．2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为 ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.

(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;

(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用 表示以下结论:

①求某个混合样本呈阳性的概率;

②设总检测次数为，求的分布列和数学期望 .

【答案】(1)；

(2)①；②分布列见解析，.

【分析】（1）对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，利用独立重复试验概率即可求解；

（2）采用“5合1检测法”，“某个混合样本呈阴性”仍然属于独立重复试验，可求出该事件的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可求出；此时总检测次数可能为2,7,12，列出分布列，计算数学期望.

【详解】（1）由题意可知，对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，所以最多有1个阳性样本的概率为：

，

所以

（2）①设“某个混合样本呈阳性”为事件，则表示事件“某个混合样本呈阴性”，而混合样本呈阴性即为该混合样本全部为阴性，．

故

②X的可能取值为2，7，12．

当两个混合样本都呈阴性时，.

当两个混合样本一个呈阳性，一个呈阴性时，．

当两个混合样本都呈阳性时，．

故X的分布列为：

的数学期望，

所以的数学期望为

18．已知数列满足

(1)证明：数列为等差数列：

(2)设数列满足，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）对进行整理得到，即可说明数列为等差数列；

（2）将变形为或，然后求和即可.

【详解】（1）法1：由，

两边同除以得，，（）为常数，

∴数列为等差数列，首项，公差为1，

法2：由得，

∴（）为常数，

∴数列为等差数列，首项，公差为1.

（2）由，∴，

法1：，

则

.

法2：，

则

.

19．在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱的中点，且，，.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）为中点，连接，易得为平行四边形，即知△为等腰三角形，进而有，由等边三角形性质有，根据中位线、平行线的推论知，再根据线面垂直的判定、面面垂直的判定证结论.

（2）构建空间直角坐标系，求出直线方向向量和平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.

【详解】（1）若为中点，连接，

由且，故为平行四边形，

所以，又且，即为中点，

等腰△中，即，

又为正三角形，故，

因为分别为，中点，故，则，

由，面，故面，

而面，则平面平面；

（2）过作面，由（1）可构建以为原点，为轴的空间直角坐标系，

所以，而，则，

所以，故，

若是面的一个法向量，则，令，则，

所以，故直线与平面所成角的正弦值.

20．已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，．证明：

（i）的面积等于的面积；

（ii）为定值．

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）根据，，由，直线的斜率为求解；

（2）设直线的方程为，得到，，与椭圆方程联立，根据，，利用韦达定理求解.

【详解】（1）解：、是椭圆的两个顶点，

且，直线的斜率为，

由，，得，

又，解得，，

椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，则，，

联立方程消去，整理得．

， 得

设，，，．

，．

所以，

则有

的面积等于的面积；

21．已知函数.

(1)若有两个零点，的取值范围；

(2)若方程有两个实根、，且，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分析可知，由参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；

（2）令，其中，令，，分析可知关于的方程也有两个实根、，且，设，将所求不等式等价变形为，令，即证，令，其中，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立.

【详解】（1）解：函数的定义域为.

当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，

由可得，

构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，

，由可得，列表如下：

所以，函数的极大值为，如下图所示：

且当时，，

由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，

故实数的取值范围是.

（2）证明：因为，则，

令，其中，则有，

，所以，函数在上单调递增，

因为方程有两个实根、，令，，

则关于的方程也有两个实根、，且，

要证，即证，即证，即证，

由已知，所以，，整理可得，

不妨设，即证，即证，

令，即证，其中，

构造函数，其中，

，所以，函数在上单调递增，

当时，，故原不等式成立.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．

(1)求直线l以及曲线C的极坐标方程；

(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求的面积．

【答案】(1)直线l：（）；曲线C：；

(2).

【分析】（1）消去参数求出直线l，曲线C的普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可得极坐标方程.

（2）求出弦长AB，点P到直线l的距离即可计算三角形面积作答.

【详解】（1）由消去得：，将代入得：，则（），

所以直线l的极坐标方程为（），

消去曲线的参数方程中参数得：，将代入得：

，整理得：，

所以曲线C的极坐标方程为.

（2）由（1）知，曲线是以点为圆心，2为半径的圆，则点到直线l：的距离，

因此弦AB长为，点的直角坐标为，

点P到直线l的距离，

所以的面积.

23．已知函数，M为不等式的解集.

（1）求M；

（2）证明：当，.

【答案】（1）  （2）证明见解析

【分析】（1）用分类讨论法去掉绝对值符号，化为分段函数，再解不等式．

（2）用分析法证明．

【详解】（1），

时，，无解，同样时，，无解，只有时，满足不等式，∴；   

（2）要证，只需证，

即证，即证，

因为，所以，则，

原不等式成立.

【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，考查用分析法证明不等式．解含绝对值的不等式，一般都是按绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号后再求解．