2023届陕西省榆林市高三四模数学（文）试题含解析

2023届陕西省榆林市高三四模数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】化简集合，利用两集合的交集运算定义即可解出.

【详解】因为，所以.

故选：C.

2．已知，则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】A

【分析】利用复数除法运算和复数模长求法直接求解即可．

【详解】因为，

所以，

故选：A．

3．设为等差数列的前项和，若，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】根据等差数列的中项公式和等差数列的求和公式，准确运算，即可求解.

【详解】由等差数列性质和的求和公式，可得，所以.

故选：A.

4．双曲线的一条渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用给定的双曲线方程，求出双曲线的实半轴、虚半轴长即可求出渐近线的方程作答.

【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，且焦点在x轴上，

所以双曲线的渐近线方程为，即，则D正确，ABC错误.

故选：D

5．大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一.某校组织全校学生进行立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校学生中随机抽出100人进行立定跳远达标测试，其中高一抽取了40人，高二抽取了30人，高三抽取了30人.达标率如图所示，则估计该校学生的平均达标率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平均数的计算规则求解.

【详解】估计该校学生的平均达标率为.

故选：C.

6．已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对函数进行求导，求出在处的切线的斜率，代入，求出，利用点斜式方程求出切线方程.

【详解】因为，所以，则，

所以的图象在处的切线方程为，

即.

故选：B.

7．已知球的内接三棱锥的体积为6，且的长分别为，则三棱锥的体积为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】B

【分析】设点到平面的距离为，根据锥体的体积公式得到，，两两互相垂直，取的中点，连接并延长至点，使，连接，则的中点即为球心，则，即可得解.

【详解】设点到平面的距离为，则

，

又，所以，，两两互相垂直，

取的中点，连接并延长至点，使，连接，则的中点即为球心.

因为点到平面的距离等于点到平面的距离的，

而点到平面的距离等于点到平面的距离，

所以.

故选：B

8．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数图象变换的知识求得图象变换后的函数解析式，再根据三角函数对称轴的求法求得正确答案.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，

所得函数图象的解析式为，

再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），

所得图象的函数解析式是.

令，则，当时，.

故选：C

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】通过判断来确定正确答案.

【详解】因为，所以.

因为，所以.

故选：C

10．已知等比数列的前项和为，若，则（    ）

A．41 B．45 C．36 D．43

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质，可得仍成等比数列，得到，即可求解.

【详解】设，则，

因为为等比数列，根据等比数列的性质，

可得仍成等比数列.

因为，所以，

所以，故.

故选：D.

11．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过做辅助线把平移到，得到为异面直线和所成的角或其补角．在中求出三边的长度，再用余弦定理即可得到的余弦值.

【详解】如图，

延长到点，使得，连接，由，得，即，

所以为异面直线和所成的角或其补角．

设正方体的棱长为2，

则，

所以.

故选：A

12．若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，，则在区间内的“8倍倒域区间”为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得的解析式，判断出在区间上的单调性，由此列方程组来求得正确答案.

【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以.

因为当时，，所以当时，，

所以，

则当时，单调递减，

设，由，

得，

解得，

所以在区间内的“8倍倒域区间”为.

故选：D

【点睛】求解有关“新定义”函数问题的解题策略是：理解辨析题目所给“新定义”，将新的问题，转化为学过的知识来进行求解.如本题中，将“8倍倒域区间”转化为函数的单调性与最值来进行求解.

二、填空题

13．已知向量，若，则__________.

【答案】7

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.

【详解】因为，所以，得.

故答案为：

14．设，满足约束条件，则的最大值为__________．

【答案】32

【分析】画出可行域，得到在轴截距最大值时所过的点，再求出z的最大值即可．

【详解】由约束条件可得可行域，如图阴影部分所示，

由，得，

由图像可知，当过点时，在轴截距最大，

由，得，即，

所以，

故答案为：32．

15．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是，和棋的概率是，则张三不输的概率为__________．

【答案】

【分析】张三不输即和棋或者获胜，而和棋与获胜是互斥事件，根据互斥事件概率加法公式计算即可．

【详解】由题意得，张三不输的情况有：和棋或者获胜，

所以张三不输的概率，

故答案为：．

16．已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则的面积为_________．

【答案】

【分析】根据抛物线焦半径的求解可得，进而得，由面积公式即可求解.

【详解】设，由，可得，所以，

则，即，所以的面积为．

故答案为：

三、解答题

17．电影《中国乒乓之绝地反击》讲述了中国乒乓男团在1995年天津世乒赛绝地反击、重回巅峰的故事．该片致敬国球，重温历史瞬间，再现自我博弈与家国情怀．某电影平台为了解观众对该影片的感受，从所有参评的观众中随机抽取男､女观众各200人进行调查，其中的男观众200人中有120人给了“赞一个”的评价，女观众200人中有90人给了“赞一个”的评价．

(1)把下面列联表补充完整，并判断是否有的把握认为对该影片的评价与性别有关；

(2)从随机抽取的400人中所有给出“赞一个”的观众中按性别采用分层抽样的方法随机抽取7人参加宣传活动，为了方便活动，现从7人中随机选出2人作为组长，求所选出的2人是不同性别的概率．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)列联表见解析，有

(2)

【分析】（1）根据题意完成列联表，再计算出与比较即可得出判断；

（2）首先求出分层抽样的样本中男观众和女观众的人数，列举出从7人中抽取2人包含的基本事件，再分析出不同性别的基本事件，根据古典概型计算公式，计算即可．

【详解】（1）列联表补充完整如下：

因为，

所以有的把握认为对该影片的评价与性别有关．

（2）采用分层抽样的方法从男观众给出“赞一个”者中抽取人，记作；

从女观众给出“赞一个”者中抽取人，记作，

所以从7人中抽取2人包含的基本事件有，，共21个，

其中不同性别的基本事件有，共12个，

所以所求概率．

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换分析运算；

（2）利用面积公式、余弦定理运算求解.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，

则，

又因为，则，得，

即，所以.

（2）因为△ABC的面积，即，可得，

由余弦定理可得：，

即，解得，

所以△ABC的周长为.

19．如图，在四棱锥中，平面上平面，已知底面为梯形，，，.

(1)证明：.

(2)若平面，，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）余弦定理求得，进而易知，利用面面垂直的性质得平面，最后由线面垂直的性质证结论；

（2）利用等体积法求点到平面的距离.

【详解】（1）因为，，由余弦定理得，

所以，则，

因为平面平面，且相交于，面，

所以平面，平面，所以.

（2）因为平面，所以，

由平面，则，故，

在△中，，，

设点到平面的距离为，所以，解得，

即点到平面的距离为.

20．已知函数，.

(1)讨论的单调区间；

(2)若有3个零点，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先求出函数的定义域，从而根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，

根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系即可求出所求区间．

（2）由条件，根据函数的单调性结合零点存在性定理可求的取值范围.

【详解】（1）的定义域为，

若，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

若，则恒成立，在上单调递增.

综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，无单调递减区间

（2）因为有3个零点，所以，

又的单调递增区间为，，单调递减区间为，

所以，，

解得，

此时，，

故函数在区间上各有一个零点，

即函数在区间上各有一个零点，满足要求；

所以的取值范围为.

【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

21．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于两点，连接并交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据题意可得，结合离心率和即可求解；

（2）根据题意可设直线AC的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AC的距离，结合三角形面积公式计算求出t，即可求解.

【详解】（1）联立得，由题意得，所以.

因为椭圆的离心率，所以.

因为，所以，

故椭圆的方程为.

（2）由题意知，直线不垂直于轴.

设直线的方程为，

联立方程组，消去并整理得，

所以，

所以

因为点到直线的距离，且是线段的中点，

所以点到直线的距离为，

所以.

由，解得或（舍去），

所以，

故直线的方程为，即或.

22．在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆以为圆心且与相切.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求圆的极坐标方程；

(2)若射线与圆交于两点，且，求直线的直角坐标方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先由题意得出圆的标准方程，再化为一般式，根据普通方程化为极坐标方程的公式，即可得到结果；

（2）根据题意，把代入圆的极坐标方程，结合韦达定理即可得到，，结合，即可求出，从而得到，再得到直线的方程．

【详解】（1）因为圆以为圆心且与相切，所以其半径为，

所以圆的普通方程为，展开得，

由，得圆的极坐标方程为．

（2）把代入，得，

则是的两个根，

所以，，

则，解得，

因为，所以，

所以，即直线的直角坐标方程为．

23．已知函数的最小值为.

(1)解关于的不等式；

(2)若正数满足，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角不等式先求得，从而原不等式化简为，即可求解；

（2）由柯西不等式可得，从而可解.

【详解】（1）因为，

当且仅当，即或时，等号成立，所以.

又，则，即，

所以，则，所以不等式的解集为.

（2）由（1）可知，则.

由柯西不等式可知，

则，解得，当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为.