2023届湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中高三下学期5月“一起考”数学试题含解析

  2023年5月长郡、一中、雅礼、师大附中“一起考”

数学

本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，则满足的集合B的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．16

2．若（i为虚数单位），则复数z的模为（    ）

A．1 B． C． D．2

3．若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

4．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则实数m的值为（    ）

A．12302 B．13304 C．23004 D．24034

5．若数列中，，，且，记数列的前n项积为，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．

6．已知抛物线C：，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ）

A． B． C．5 D．3

7．若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知底面边长为a的正四棱柱内接于半径为的球内，E，F分别为，的中点，G，H分别为线段，EF上的动点，M为线段的中点，当正四棱柱的体积最大时，的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．，则 D．若，则

10．已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（    ）

A．  B．的取值范围是

C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1 D．的取值范围是

11．“”表示不大于x的最大整数，例如：，，．下列关于的性质的叙述中，正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．若数列中，，，则

D．被3除余数为0

12．在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（    ）

A．存在点M使得

B．四棱锥外接球的表面积为

C．直线PC与直线AD所成角为

D．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，则________．

14．第31届世界大学生夏季运动会将在今年7月28日至8月8日在四川省成都市举行．有编号为1，2，3，4，5的五位裁判，分别就座于编号为1，2，3，4，5的五个座位上，每个座位恰好坐一位裁判，则恰有两位裁判编号和座位编号一致的坐法种数为________．

15．设函数，的定义域均为R，且函数，均为偶函数．若当时，，则的值为________．

16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P，Q为椭圆上的动点．当的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为时，的最大值为4，则________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A的值；

（2）若△ABC是锐角三角形，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐。如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．

（1）（1）求王同学第2天去A餐厅用餐的概率；

（2）如果王同学第2天去A餐厅用餐，求他第1天在A餐厅用餐的概率．

（2）A餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升改造提升后，A餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）．

依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？

附：，其中．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，，，G为点B在平面ACD上的射影，M为BC的中点．

（1）证明：平面ABD；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知数列满足，且

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．

（1）求C的方程；

（2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M，N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点，，，中的一个．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若，，求证：有且仅有一个零点；

（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．

2023届高三“一起考”大联考·数学

双向细目表

参考答案

1．C

解析：由且，得，2，所以，又因为，所以满足条件的集合B可能为，，，，共4个．故选C．

2．C

解析：由，得，即，所以，故选C．

3．B

解析：设向量与的夹角为，则，在上的投影向量为．故选B．

4．B

解析：设每年的衰变率为P，古物中原的含量为a，由半衰期，得．所以，即．由题意，知，即．于是．所以．故选B．

5．D

解析：由题意，得，，，，，，发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，则，，所以原式的值为，故选D．

6．A

解析：因为抛物线C的方程为，所以，抛物线C的准线方程为，因为方程可化为，所以过定点．

设，设FB的中点为A，则，因为，P为垂足，

所以，所以，

即点P的轨迹为以A为圆心，半径为的圆．

过点M作准线的垂线，垂足为，则，

所以．

又，当且仅当M，P，A三点共线且P在M，A之间时等号成立，所以．

过点A作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，M，A三点共线时等号成立．

所以，当且仅当，M，P，A四点共线且P在M，A之间时等号成立，所以的最小值为，故选A．

7．A

解析：关于x的不等式恒成立，

因为，所以，

即，即，

即，易证，且，

所以，所以，即．

又易知，据此可以判断满足不等式成立，但考虑其充分性及题设中为最小整数．故选A．

8．B

解析：正四棱柱的高．

（方法一），令，

则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，的最大值为．

（方法二），，

当且仅当时等号成立，解得．

当时，，此时正四棱柱为正方体，的最小值就是点G到EF的距离，由正方体的性质知，当H为EF的中点时，，动线段GH，GM分别在，内，将两个平面沿展开翻折至共面．如图，当M，G，H三点共线时，最小，可得，又因为M为线段的中点，

所以．

9．AD

解析：由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确．

由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误．

当时，，，所以C错误．

反过来，当，即时，一定成立，所以D正确．故选AD．

10．ABD

解析：不妨设，，则，，则，．

因为的图象在A，B两点处的切线互相垂直，所以，即．

对于A，因为，所以A正确．

对于B，因为：，：，

则，，所以，所以B正确．

对于C，当时，，

即直线AM与BN的交点的横坐标恒小于1，所以C错误．

对于D，，所以D正确．故选ABD．

11．ACD

解析：对于A，由定义“”表示不大于x的最大整数可知，，故，用代换x，即得，故A正确．

对于B，不妨设，，易知B错误．

对于C，由，可得，故，

则，故C正确．

对于D，对任意自然数k，与均不是整数，且，

则．

当时，，即被3除余数为1．

当时，，

，

则被3除余数为1，

，

由上述分析知其被3除余数为1011，而，即M能被3整除，故D正确．

故选ACD．

12．BCD

解析：如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，．

因为平面平面ABCD，易知，平面平面，所以平面ABCD，则．

又因为，所以，

又，所以平面PGC．

因为平面PGC，平面PGC，所以不成立，A错误．

因为△APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确．

如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为，C正确．

如图1，因为平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，此时M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，可知N为QA的中点，故，D正确．

故选BCD．

13．1

解析：由，得，则，

所以．

14．20

解析：由题意，5人中选出2人出来，她们的编号一致，有种方法，剩余3人都不坐与自己编号相同的座位有两种情形，故总的坐法种数为．

15．

解析：因为函数，的定义域均为R，且函数为偶函数，

则，求导得，

即，所以函数的图象关于对称．

因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于对称，可得函数的周期为4，．所以，即，即，于是．

16．2

解析：令，则的外接圆半径为，内切圆半径为，故两半径之积为，

因为，所以，

所以，此时P是椭圆的短轴顶点．不妨设P是椭圆的上顶点，

设，，

则，所以．

17．解析：（1）因为，

所以，……（2分）

即，……（3分）

所以或（舍去）．

所以，结合，得．……（5分）

（2）由（1）得，．……（7分）

因为△ABC是锐角三角形，所以B，C均为锐角，

即，，所以，……（8分）

所以，，

所以的取值范围是．……（10分）

18．解析：（1）设事件A：第i天去A餐厅用餐，事件B：第i天去B餐厅用餐，其中，2．

①王同学第2天去A餐厅用餐的概率为：

．……（4分）

②如果王同学第2天去A餐厅用餐，那么他第1天在A餐厅用餐的概率为：

．……（8分）

（2）提出零假设：学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升没有关联．

，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联．……（12分）

19．解析：（1）（方法一）过点G作于点N，连接MN，则，

又平面ABD，平面ABD，所以平面ABD．……（2分）

因为，平面ACD，连接AG，则，所以N为AC的中点，故MN为△CBA的中位线，．……（4分）

又平面ABD，平面ABD，所以平面ABD．

又，所以平面平面ABD，

又平面MNG，所以平面ABD．……（5分）

（方法二）延长CG，交AD于点K，连接AG，BK．

因为，平面ACD，则．

又，所以，即G为CK的中点．

因为M为BC的中点，所以MG为△CBK的中位线，．……（3分）

因为平面ABD，平面ABD，所以平面ABD．……（5分）

（2）过点A作，以A为原点，AC，AD，AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由于，，则由（1）知，

又，所以．

则，，，．……（7分）

设，则，设平面AMC的法向量为，

又，，

则可取．……（9分）

设平面AMD的法向量为，

又，，

则可取．……（10分）

设二面角的平面角为，

则，，

即二面角的正弦值为．……（12分）

20．解析：（1）因为

所以，，，所以．

又因为，所以，所以．

因为，所以，

又因为，所以，所以，所以，

即，……（3分）

所以，

又因为，所以，所以，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以，即．……（5分）

（2）由（1）可知，所以，

所以，……（6分）

又因为，所以，

即，所以，……（8分）

所以，

因为，

，……（10分）

所以是一个增数列，

因为，，

所以满足题意的n的最小值是20．……（12分）

21．解析：（1）设C的焦距为2c，则，即，，．……（1分）

由双曲线的定义，得，

即，所以，故C的方程为．……（4分）

（2）证明：设，，，直线l的方程为，

联立整理得，……（5分）

由题意，得即

则，，……（6分）

．……（7分）

设MN的中点为，则，，……（8分）

所以线段MN的垂直平分线的方程为．

令，得，即，

所以，……（9分）

由题意，得，即，……（10分）

从而．

当，即时，解得或；

当，即时，解得或．……（11分）

所以直线l的方程为，或，或，或．

故直线l过四个定点，，，中的一个．……（12分）

22．解析：（1）证明：由题意得，当时，，

故．

（i）当时，，记，

则，单调递增，，

所以，即当时，无零点．……（2分）

（ii）当时，，，

即当时，无零点．……（3分）

（iii）当时，．

因为，所以，即单调递增．

又因为，，

所以当时，存在唯一零点．

综上，当时，有且仅有一个零点．……（6分）

（2）易知，由题意，在0的左侧邻域内，有，则．

因为，

所以，得是对任意成立的必要条件．……（7分）

下面证明充分性．

当时，，等价于．

令，，即证．……（8分）

（i）当时，，，

即成立．……（9分）

（ii）当时，记，则．

由，得，所以，即单调递增，

，即，

又．

综上，．……（12分）