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2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0 B．a＞3 C．a≠3 D．a＜3
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC
4．2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车x辆，租用53座客车y辆，则不等式“55x+53y≥990”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人
B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人
D．两种客车总的载客量恰好等于990人
5．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）
C．4m3n＝4m3•n D．m2+5m＝m（m+5）
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．100°
7．已知点M（m+2，m）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞0 D．﹣2＜m＜0
8．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
9．不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
二、填空题（每题3分，共18分）
11．分解因式：16a﹣a3＝ ．
12．如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 ．
13．不等式组 的解集为 ．
14．如图，在△ABC中，已知AC＝20，AB边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为35，则BC的长为 ．
15．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m）关于原点对称，则m＝ ．
16．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为 ．
三、解答题（共9小题）
17．（16分）把下列多项式分解因式．
（1）ab2﹣25a3b2；
（2）8x2﹣8xy+2y2；
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（3）5x＞4x+6；
（4）x﹣2＜﹣1；
18．解不等式，要求写出详细步骤：，并把解集在数轴上表示出来．
19．解不等式组
请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
20．如图，在8×8的方格纸巾有一条直线m和△ABC，请按要求解答．
（1）将△ABC向右平移4个单位，在图①中画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O旋转180°，在图③中画出旋转后的△A3B3C3．
21．如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
22．“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元．
（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？
23．如图，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC＝4．
①设BD＝x，用x表示AD2；
②求BD长；
③求△ABC的面积．
24．如图，已知直线l1：y1＝x+b经过点A（﹣5，0），交y轴于点B，直线l2：y2＝﹣2x﹣4与直线l1：y1＝x+b交于点C，交y轴于点D．
（1）求b的值；
（2）求△BCD的面积；
（3）当0≤y2＜y1时，则x的取值范围是 ．（直接写出结果）
25．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】
（1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】
（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．
【解决问题】
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长．
参考答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）逐项判断即可得．
解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0 B．a＞3 C．a≠3 D．a＜3
【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可．
解：∵不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3，
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC
【分析】由AB＝AC知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可．
解：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，
∵D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
故选项A、B、C正确，AB＝BC不一定成立，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车x辆，租用53座客车y辆，则不等式“55x+53y≥990”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人
B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人
D．两种客车总的载客量恰好等于990人
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
解：不等式“55x+53y≥990”表示的实际意义是租用x辆55座的客车和y辆53座的客车总的载客量不少于990人．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
5．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）
C．4m3n＝4m3•n D．m2+5m＝m（m+5）
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
解：A．，该等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．x2﹣2x+1≠x（x﹣2），故本选项不符合题意；
C．4m3n＝4m3•n，该等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．m2+5m＝m（m+5），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．100°
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝80°，由等腰三角形的性质可求解．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝80°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
7．已知点M（m+2，m）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞0 D．﹣2＜m＜0
【分析】根据第四象限内点的坐标的特点，得到关于m的不等式，求解可得答案．
解：∵点M（m+2，m）在第四象限，
∴，
解不等式组，可得：﹣2＜m＜0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是理解并掌握各个象限内点的坐标特点，列出关于m的不等式．
8．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【分析】由题意可知，点P到射线OB，OA的距离相等，则点P在∠BOA的平分线上，即可得出答案．
解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．
9．不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式x+1＞2，得：x＞1，
解不等式，得：x≤4，
则不等式组的解集为1＜x≤4，
解集表示在数轴上为：
，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找”是解题关键．
10．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】分别求两图形的面积，可得出平方差公式．
解：如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个图形的面积相等列等式是关键，属于基础题．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．分解因式：16a﹣a3＝ a（4+a）（4﹣a） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．
解：16a﹣a3
＝a（16﹣a2）
＝a（4+a）（4﹣a），
故答案为：a（4+a）（4﹣a）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 9 ．
【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解．
解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了矩形是中心对称．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
13．不等式组 的解集为 0＜x＜3 ．
【分析】分别解两个不等式得到 x＞0和x＜3，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
解：，
解①得x＞0，
解②得x＜3，
所以不等式组的解集为0＜x＜3．
故答案为：0＜x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
14．如图，在△ABC中，已知AC＝20，AB边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为35，则BC的长为 15 ．
【分析】根据线段垂直平分线性质知，AE＝BE．△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+AE+EC＝BC+AC．解方程得解．
解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB．
△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+AE+EC＝BC+AC，
即 BC+20＝35，
∴BC＝15．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线性质，难度不大．
15．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m）关于原点对称，则m＝ ﹣5 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
解：∵P、Q两点关于原点对称，
∴横、纵坐标均互为相反数，
∴m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
16．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为 2 ．
【分析】连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，由S△ABC＝S△ABP+S△ACP得CD＝PE+PF，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出CD的长即可得到答案．
解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，
则S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
即AB•CD＝AB•PE+AC•PF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴CD＝PE+PF，
∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形面积的计算方法、勾股定理等知识，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出CD＝PE+PF是解题的关键．
三、解答题（共9小题）
17．（16分）把下列多项式分解因式．
（1）ab2﹣25a3b2；
（2）8x2﹣8xy+2y2；
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（3）5x＞4x+6；
（4）x﹣2＜﹣1；
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
（3）（4）利用不等式的性质得结论．
解：（1）ab2﹣25a3b2
＝ab2（1﹣25a2）
＝ab2（1﹣5a）（1+5a）；
（2）8x2﹣8xy+2y2
＝2（4x2﹣4xy+y2）
＝2（2x﹣y）2；
（3）5x＞4x+6，
∴5x﹣4x＞6，
∴x＞6；
（4）x﹣2＜﹣1
x＜2﹣1，
∴x＜1．
【点评】本题奥考查了整式的因式分解和不等式，掌握因式分解的提公因式法和公式法、不等式的性质是解决本题的关键．
18．解不等式，要求写出详细步骤：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，再把解集在数轴上表示，即可求解．
解：，
去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），
去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，
移项合并同类项得：5x≤20，
解得：x≤4．
把解集在数轴上表示出来，如图：
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
19．解不等式组
请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 x≤1 ；
（2）解不等式②，得 x＜4 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 1≤x＜4 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）解不等式①，得x≤1；
（2）解不等式②，得：x＜4；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（4）原不等式组的解集为：x≤1．
故答案为：x≤1，x＜4，x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．如图，在8×8的方格纸巾有一条直线m和△ABC，请按要求解答．
（1）将△ABC向右平移4个单位，在图①中画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O旋转180°，在图③中画出旋转后的△A3B3C3．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据轴对称的性质即可画出图形；
（3）根据旋转的性质即可画出图形．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，△A3B3C3即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，轴对称变换，熟练掌握图形变换的性质是解题的关键．
21．如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
【分析】根据角平分线的定义可知∠FCE＝∠BCE，根据平行线的性质可知∠FEC＝∠BCE，等量代换得∠FCE＝∠FEC，根据等角对等边可得结论．
【解答】证明：∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠FCE＝∠BCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∴FE＝FC，
∴△FEC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
22．“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元．
（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据“购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（200﹣m）件，根据购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量（购进数量），可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需100元，B种纪念品每件需50元；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（200﹣m）件，
根据题意得：200﹣m≤3m，
解得：m≥50．
设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝30m+50×0.8（200﹣m），
即w＝﹣10m+8000，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≥50，且m为正整数，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣10×50+8000＝7500，此时200﹣m＝200﹣50＝150．
∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品150件时，获得的总利润最大，最大总利润为7500元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23．如图，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC＝4．
①设BD＝x，用x表示AD2；
②求BD长；
③求△ABC的面积．
【分析】①在Rt△ABD中，根据勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2；
②BD＝x，则CD＝7﹣x，根据勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，解出x即可；
③求出AD，根据三角形的面积公式计算即可．
解：①∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，根据勾股定理可得：
AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2；
②∵BD＝x，BC＝7，
∴CD＝7﹣x，
∵AD⊥BC，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：
AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即25﹣x2＝32﹣（7﹣x）2，
解得x＝3，
即BD的长为3；
③∵AD2＝25﹣x2，
∴AD＝，
∴S△ABC＝＝＝14．
【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理并灵活运用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
24．如图，已知直线l1：y1＝x+b经过点A（﹣5，0），交y轴于点B，直线l2：y2＝﹣2x﹣4与直线l1：y1＝x+b交于点C，交y轴于点D．
（1）求b的值；
（2）求△BCD的面积；
（3）当0≤y2＜y1时，则x的取值范围是 ﹣3＜x≤﹣2 ．（直接写出结果）
【分析】（1）把点A的坐标代入直线l1：y1＝x+b，列出方程并解答；
（2）利用两直线相交求得点C的坐标，由直线l2、l1求得点B、D的坐标，根据三角形的面积公式解答；
（3）结合图形直接得到答案．
解：（1）把A（﹣5，0）代入y1＝x+b，得﹣5+b＝0
解得b＝5．
（2）由（1）知，直线l1：y1＝x+5．且B（0，5）．
根题意知，．
解得，即C（﹣3，2）．
又由y2＝﹣2x﹣4知，D（0，﹣4）．
所以 BD＝9．
所以S△BCD＝BD•|xC|＝＝；
（3）由（2）知，C（﹣3，2）．
当y＝0时，﹣2x﹣4＝0，此时x＝﹣2．
所以由图象知，当0≤y2＜y1时，则x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2．
故答案是：﹣3＜x≤﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出直线与坐标轴的交点坐标是解答本题的关键．
25．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】
（1）顶角为120°的等腰三角形 不是 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】
（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．
【解决问题】
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出等腰三角形的两个底角，然后根据“准等边三角形”的定义，即可解答；
（2）分两种情况：当∠C﹣∠A＝60°时；当∠C﹣∠B＝60°时；然后分别进行计算即可解答；
（3）在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得∠ABC＝60°，AB＝2+2，然后分两种情况：当∠C﹣∠CBD＝60°时；当∠BDC﹣∠CBD＝60°时；最后分别进行计算即可解答．
解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°，
∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°，
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；
（2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，
∴分两种情况：
当∠C﹣∠A＝60°时，
∴∠C＝∠A+60°＝95°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°；
当∠C﹣∠B＝60°时，
∵∠A＝35°，
∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，
∴2∠B＝85°，
∴∠B＝42.5°；
综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；
（3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2，
∵△BCD是“准等边三角形”，
∴分两种情况：
当∠C﹣∠CBD＝60°时，
∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°，
∴BD＝2CD，
∵CD2+BC2＝BD2，
∴CD2+（1+）2＝（2CD）2，
解得：CD＝或CD＝﹣（舍去），
∴BD＝2CD＝；
当∠BDC﹣∠CBD＝60°时，
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵∠C＝90°，
∴∠BDC+∠CBD＝90°，
∴2∠BDC＝150°，
∴∠BDC＝75°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，BD＝DE，
设DE＝BE＝x，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴AE＝DE＝x，
∵BE+AE＝AB，
∴x+x＝2+2，
解得：x＝2，
∴BE＝DE＝2，
∴BD＝DE＝2；
综上所述：BD的长为或2．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键．
2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0 B．a＞3 C．a≠3 D．a＜3
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC
4．2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车x辆，租用53座客车y辆，则不等式“55x+53y≥990”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人
B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人
D．两种客车总的载客量恰好等于990人
5．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）
C．4m3n＝4m3•n D．m2+5m＝m（m+5）
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．100°
7．已知点M（m+2，m）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞0 D．﹣2＜m＜0
8．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
9．不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
二、填空题（每题3分，共18分）
11．分解因式：16a﹣a3＝ ．
12．如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 ．
13．不等式组 的解集为 ．
14．如图，在△ABC中，已知AC＝20，AB边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为35，则BC的长为 ．
15．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m）关于原点对称，则m＝ ．
16．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为 ．
三、解答题（共9小题）
17．（16分）把下列多项式分解因式．
（1）ab2﹣25a3b2；
（2）8x2﹣8xy+2y2；
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（3）5x＞4x+6；
（4）x﹣2＜﹣1；
18．解不等式，要求写出详细步骤：，并把解集在数轴上表示出来．
19．解不等式组
请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
20．如图，在8×8的方格纸巾有一条直线m和△ABC，请按要求解答．
（1）将△ABC向右平移4个单位，在图①中画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O旋转180°，在图③中画出旋转后的△A3B3C3．
21．如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
22．“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元．
（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？
23．如图，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC＝4．
①设BD＝x，用x表示AD2；
②求BD长；
③求△ABC的面积．
24．如图，已知直线l1：y1＝x+b经过点A（﹣5，0），交y轴于点B，直线l2：y2＝﹣2x﹣4与直线l1：y1＝x+b交于点C，交y轴于点D．
（1）求b的值；
（2）求△BCD的面积；
（3）当0≤y2＜y1时，则x的取值范围是 ．（直接写出结果）
25．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】
（1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】
（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．
【解决问题】
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长．
参考答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）逐项判断即可得．
解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0 B．a＞3 C．a≠3 D．a＜3
【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可．
解：∵不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集为x＞1，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3，
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC
【分析】由AB＝AC知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可．
解：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，
∵D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
故选项A、B、C正确，AB＝BC不一定成立，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车x辆，租用53座客车y辆，则不等式“55x+53y≥990”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人
B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人
D．两种客车总的载客量恰好等于990人
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
解：不等式“55x+53y≥990”表示的实际意义是租用x辆55座的客车和y辆53座的客车总的载客量不少于990人．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
5．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）
C．4m3n＝4m3•n D．m2+5m＝m（m+5）
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
解：A．，该等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．x2﹣2x+1≠x（x﹣2），故本选项不符合题意；
C．4m3n＝4m3•n，该等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．m2+5m＝m（m+5），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．100°
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝80°，由等腰三角形的性质可求解．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝80°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
7．已知点M（m+2，m）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞0 D．﹣2＜m＜0
【分析】根据第四象限内点的坐标的特点，得到关于m的不等式，求解可得答案．
解：∵点M（m+2，m）在第四象限，
∴，
解不等式组，可得：﹣2＜m＜0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是理解并掌握各个象限内点的坐标特点，列出关于m的不等式．
8．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【分析】由题意可知，点P到射线OB，OA的距离相等，则点P在∠BOA的平分线上，即可得出答案．
解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．
9．不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式x+1＞2，得：x＞1，
解不等式，得：x≤4，
则不等式组的解集为1＜x≤4，
解集表示在数轴上为：
，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找”是解题关键．
10．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】分别求两图形的面积，可得出平方差公式．
解：如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个图形的面积相等列等式是关键，属于基础题．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．分解因式：16a﹣a3＝ a（4+a）（4﹣a） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．
解：16a﹣a3
＝a（16﹣a2）
＝a（4+a）（4﹣a），
故答案为：a（4+a）（4﹣a）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 9 ．
【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解．
解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了矩形是中心对称．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
13．不等式组 的解集为 0＜x＜3 ．
【分析】分别解两个不等式得到 x＞0和x＜3，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
解：，
解①得x＞0，
解②得x＜3，
所以不等式组的解集为0＜x＜3．
故答案为：0＜x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
14．如图，在△ABC中，已知AC＝20，AB边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为35，则BC的长为 15 ．
【分析】根据线段垂直平分线性质知，AE＝BE．△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+AE+EC＝BC+AC．解方程得解．
解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB．
△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+AE+EC＝BC+AC，
即 BC+20＝35，
∴BC＝15．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线性质，难度不大．
15．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m）关于原点对称，则m＝ ﹣5 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
解：∵P、Q两点关于原点对称，
∴横、纵坐标均互为相反数，
∴m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
16．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为 2 ．
【分析】连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，由S△ABC＝S△ABP+S△ACP得CD＝PE+PF，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出CD的长即可得到答案．
解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，
则S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
即AB•CD＝AB•PE+AC•PF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴CD＝PE+PF，
∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形面积的计算方法、勾股定理等知识，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出CD＝PE+PF是解题的关键．
三、解答题（共9小题）
17．（16分）把下列多项式分解因式．
（1）ab2﹣25a3b2；
（2）8x2﹣8xy+2y2；
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（3）5x＞4x+6；
（4）x﹣2＜﹣1；
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
（3）（4）利用不等式的性质得结论．
解：（1）ab2﹣25a3b2
＝ab2（1﹣25a2）
＝ab2（1﹣5a）（1+5a）；
（2）8x2﹣8xy+2y2
＝2（4x2﹣4xy+y2）
＝2（2x﹣y）2；
（3）5x＞4x+6，
∴5x﹣4x＞6，
∴x＞6；
（4）x﹣2＜﹣1
x＜2﹣1，
∴x＜1．
【点评】本题奥考查了整式的因式分解和不等式，掌握因式分解的提公因式法和公式法、不等式的性质是解决本题的关键．
18．解不等式，要求写出详细步骤：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，再把解集在数轴上表示，即可求解．
解：，
去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），
去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，
移项合并同类项得：5x≤20，
解得：x≤4．
把解集在数轴上表示出来，如图：
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
19．解不等式组
请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 x≤1 ；
（2）解不等式②，得 x＜4 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 1≤x＜4 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）解不等式①，得x≤1；
（2）解不等式②，得：x＜4；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（4）原不等式组的解集为：x≤1．
故答案为：x≤1，x＜4，x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．如图，在8×8的方格纸巾有一条直线m和△ABC，请按要求解答．
（1）将△ABC向右平移4个单位，在图①中画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O旋转180°，在图③中画出旋转后的△A3B3C3．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据轴对称的性质即可画出图形；
（3）根据旋转的性质即可画出图形．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，△A3B3C3即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，轴对称变换，熟练掌握图形变换的性质是解题的关键．
21．如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
【分析】根据角平分线的定义可知∠FCE＝∠BCE，根据平行线的性质可知∠FEC＝∠BCE，等量代换得∠FCE＝∠FEC，根据等角对等边可得结论．
【解答】证明：∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠FCE＝∠BCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∴FE＝FC，
∴△FEC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
22．“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元．
（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据“购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（200﹣m）件，根据购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量（购进数量），可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需100元，B种纪念品每件需50元；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（200﹣m）件，
根据题意得：200﹣m≤3m，
解得：m≥50．
设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝30m+50×0.8（200﹣m），
即w＝﹣10m+8000，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≥50，且m为正整数，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣10×50+8000＝7500，此时200﹣m＝200﹣50＝150．
∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品150件时，获得的总利润最大，最大总利润为7500元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23．如图，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC＝4．
①设BD＝x，用x表示AD2；
②求BD长；
③求△ABC的面积．
【分析】①在Rt△ABD中，根据勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2；
②BD＝x，则CD＝7﹣x，根据勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，解出x即可；
③求出AD，根据三角形的面积公式计算即可．
解：①∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，根据勾股定理可得：
AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2；
②∵BD＝x，BC＝7，
∴CD＝7﹣x，
∵AD⊥BC，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：
AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即25﹣x2＝32﹣（7﹣x）2，
解得x＝3，
即BD的长为3；
③∵AD2＝25﹣x2，
∴AD＝，
∴S△ABC＝＝＝14．
【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理并灵活运用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
24．如图，已知直线l1：y1＝x+b经过点A（﹣5，0），交y轴于点B，直线l2：y2＝﹣2x﹣4与直线l1：y1＝x+b交于点C，交y轴于点D．
（1）求b的值；
（2）求△BCD的面积；
（3）当0≤y2＜y1时，则x的取值范围是 ﹣3＜x≤﹣2 ．（直接写出结果）
【分析】（1）把点A的坐标代入直线l1：y1＝x+b，列出方程并解答；
（2）利用两直线相交求得点C的坐标，由直线l2、l1求得点B、D的坐标，根据三角形的面积公式解答；
（3）结合图形直接得到答案．
解：（1）把A（﹣5，0）代入y1＝x+b，得﹣5+b＝0
解得b＝5．
（2）由（1）知，直线l1：y1＝x+5．且B（0，5）．
根题意知，．
解得，即C（﹣3，2）．
又由y2＝﹣2x﹣4知，D（0，﹣4）．
所以 BD＝9．
所以S△BCD＝BD•|xC|＝＝；
（3）由（2）知，C（﹣3，2）．
当y＝0时，﹣2x﹣4＝0，此时x＝﹣2．
所以由图象知，当0≤y2＜y1时，则x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2．
故答案是：﹣3＜x≤﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出直线与坐标轴的交点坐标是解答本题的关键．
25．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】
（1）顶角为120°的等腰三角形 不是 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】
（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．
【解决问题】
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出等腰三角形的两个底角，然后根据“准等边三角形”的定义，即可解答；
（2）分两种情况：当∠C﹣∠A＝60°时；当∠C﹣∠B＝60°时；然后分别进行计算即可解答；
（3）在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得∠ABC＝60°，AB＝2+2，然后分两种情况：当∠C﹣∠CBD＝60°时；当∠BDC﹣∠CBD＝60°时；最后分别进行计算即可解答．
解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°，
∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°，
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；
（2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，
∴分两种情况：
当∠C﹣∠A＝60°时，
∴∠C＝∠A+60°＝95°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°；
当∠C﹣∠B＝60°时，
∵∠A＝35°，
∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，
∴2∠B＝85°，
∴∠B＝42.5°；
综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；
（3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2，
∵△BCD是“准等边三角形”，
∴分两种情况：
当∠C﹣∠CBD＝60°时，
∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°，
∴BD＝2CD，
∵CD2+BC2＝BD2，
∴CD2+（1+）2＝（2CD）2，
解得：CD＝或CD＝﹣（舍去），
∴BD＝2CD＝；
当∠BDC﹣∠CBD＝60°时，
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵∠C＝90°，
∴∠BDC+∠CBD＝90°，
∴2∠BDC＝150°，
∴∠BDC＝75°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，BD＝DE，
设DE＝BE＝x，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴AE＝DE＝x，
∵BE+AE＝AB，
∴x+x＝2+2，
解得：x＝2，
∴BE＝DE＝2，
∴BD＝DE＝2；
综上所述：BD的长为或2．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键．
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