2022年上海交通大学附属中学5月高三高考模拟（二）数学试卷含答案解析

这是一份2022年上海交通大学附属中学5月高三高考模拟（二）数学试卷含答案解析，共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届上海交大附中高考数学模拟试卷（二）数学一、填空题（本大题共54分，其中1-6题各4分，7-12题各5分）1. 已知、，且，（其中为虚数单位），则____________．2. 已知集合，则___________．3. 函数（）为奇函数，则___________.4. 已知方程组的增广矩阵为，若方程组有无穷组解，则___________．5. 已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的一项前的系数为___________．6. 已知实数满足，若，则的最大值为___________．7. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为___________．8. 受新冠肺炎疫情影响，上海市启动了新一轮防控．以下为上海某高校某天计划餐食及其单价．每个套餐提供种类型食物，其中至少有一种荤食和一种素食（每个套餐中的食品种类不重复），且总价不能高于元，则可行的搭配方案种类数量为___________．种类荤食①荤食②素食①素食②素食③单价（元） 9. 已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为2，且直线与双曲线没有交点，则的取值范围是__________．10. 已知矩形是矩形内一点，且到距离为2．若将矩形绕顺时针旋转，则线段扫过的区域面积为__________．11 设实数且，已知函数，则__________．12. 已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为__________．二、选择题（本大题共20分，每小题各5分）13. 已知，，则下列不等式中恒成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 14. 设，为随机事件，为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（    ）A.  B. C  D. 15. 设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（    ）A.  B.  C.  D. 16. 设是定义在非空集合上函数，且对于任意的，总有．对以下命题：命题：任取，总存在，使得；命题：对于任意的，若，则．下列说法正确的是（    ）A. 命题均为真命题B. 命题为假命题，为真命题C. 命题为真命题，为假命题D. 命题均假命题三、解答题（本大题共76分）17. 已知正四棱柱，其中．（1）若点是棱上的动点，求三棱锥的体积．（2）求点到平面的距离18. 已知函数，其中（1）若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；（2）若，求函数在上的最小值；19. 自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．（1）试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时）（2）由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1）20. 已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．（1）若的坐标为，求四边形的面积；（2）若与椭圆相切于且，求的值；（3）作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．21. 设有数列，若存在唯一的正整数，使得，则称为“坠点数列”．记的前项和为．（1）判断：是否为“坠点数列”，并说明理由；（2）已知满足，且是“5坠点数列”，若，求的值；（3）设数列共有2022项且．已知．若为“坠点数列”且为“㞷点数列”，试用表示．
2022届上海交大附中高考数学模拟试卷（二）数学一、填空题（本大题共54分，其中1-6题各4分，7-12题各5分）1. 已知、，且，（其中为虚数单位），则____________．【答案】##【分析】利用复数的减法化简可得结果.【详解】.故答案为：.2. 已知集合，则___________．【答案】【分析】求得再求交集即可【详解】；故答案为：3. 函数（）为奇函数，则___________.【答案】【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数为奇函数，则，即，即对任意的恒成立，则，得.故答案为：.4. 已知方程组的增广矩阵为，若方程组有无穷组解，则___________．【答案】【分析】分别求得，，，令求解即可【详解】，而要使，则，解得；故答案为：5. 已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的一项前的系数为___________．【答案】【分析】根据二项式系数的性质可确定所求的展开式中的项，从而可求其系数.【详解】对给定，二项式系数中最大为，故在所对应的展开式中的项为，其系数为，故答案：6. 已知实数满足，若，则的最大值为___________．【答案】5【分析】根据约束条件，画出可行域，由目标函数的几何意义即可求解.【详解】根据约束条件，作出可行域如图所示，通过直线的平移，可知当经过点 时，；故答案为： 7. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为___________．【答案】6【分析】根据等比数列的通项公式，将题中所给的条件转化为关于首项和公比的关系式，化简求值，得到，之后将待求式子转化为关于的关系式，代入求得结果.【详解】可知，则；故答案为：6.8. 受新冠肺炎疫情影响，上海市启动了新一轮防控．以下为上海某高校某天计划餐食及其单价．每个套餐提供种类型食物，其中至少有一种荤食和一种素食（每个套餐中的食品种类不重复），且总价不能高于元，则可行的搭配方案种类数量为___________．种类荤食①荤食②素食①素食②素食③单价（元） 【答案】【分析】对所选荤菜与素菜种类进行分类讨论，采用列举法与组合计数原理可求得结果.【详解】首先假设两荤一素的情形，则只可能选择荤食①荤食②素食①的组合，接着假设一荤两素的情形，若选择荤食①，此时由于任选两种素食的价格均不超过元，共种；若选择荤食②，则只可能选择素食①素食②或素食①素食③两种，总计种．故答案为：9. 已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为2，且直线与双曲线没有交点，则的取值范围是__________．【答案】【分析】过原点的直线与标准的双曲线没有交点，则该直线的斜率大于或等于双曲线的渐近线的斜率【详解】过双曲线的右焦点F作FA垂直于渐近线，如下图所示：双曲线焦点到渐近线的距离为2，可得：（其中）易知：，又直线与双曲线没有交点，则只需直线的斜率大于或等于渐近线的斜率可得：解得：故答案为：10. 已知矩形是矩形内一点，且到的距离为2．若将矩形绕顺时针旋转，则线段扫过的区域面积为__________．【答案】##【分析】由题可得线段扫过的区域为圆锥的侧面，再根据圆锥侧面积公式求解即可【详解】线段AP扫过的区域面积即为以为半径，母线长为的圆锥的侧面积的即，故；故答案为：11. 设实数且，已知函数，则__________．【答案】1【分析】根据题意计算，进而根据求解即可【详解】，而，则；故答案为：112. 已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为__________．【答案】【分析】不妨设，，则将向量问题转化为解三角形问题，利用极限位置一一分析即可；【详解】解：不妨设，，则向量问题可转化为如下解三角形问题：由，为锐角，同时由余弦定理，而实际上表示的是OA的延长线．故，而，则与的夹角．可知，随着的增大，也在增大，则在减小，由题意，只需求所趋近的最大值和最小值即可．第一种极限情况，当与A重合时，第二种极限情况，当位于OA的延长线无穷远处时，可看作与平行，根据两条平行直线同旁内角互补的性质，，由于恒成立，则，则k的最小值为．故答案为：二、选择题（本大题共20分，每小题各5分）13. 已知，，则下列不等式中恒成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【分析】利用不等式的基本性质即可求解【详解】∵，，∴，则选项不正确；当，时，即，∴和成立，则选项、不正确；∵,∴，∴，则选项正确；故选：.14. 设，为随机事件，为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【分析】类比集合的运算，四个选项逐一分析即可判断【详解】对于A，阴影部分表示，故A错误；对于B，阴影部分表示，故B错误；对于C，阴影部分表示，故C正确；对于D，阴影部分表示，故D错误.故选：C15. 设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【分析】由，再分和分别求解可得，再根据与的关系，逐个选项代入判断即可【详解】已知方程为一元二次方程，则．首先计算方程的根的判别式，并进行分类讨论．第一种情况，若，即，则，解得．第二种情况，若，即，则，解得，故综合上述两种情况，才能满足不等式成立．而．若，则均符合要求；若，则仅有符合要求；若，则均符合要求；若则没有符合要求的项；故选：B16. 设是定义在非空集合上的函数，且对于任意的，总有．对以下命题：命题：任取，总存在，使得；命题：对于任意的，若，则．下列说法正确的是（    ）A. 命题均为真命题B. 命题为假命题，为真命题C. 命题为真命题，为假命题D. 命题均为假命题【答案】B【分析】先判断命题p为假，再利用反证法证明命题即可【详解】命题p显然是错的，下分析命题q为真命题．关注到的任意性，不妨设，则，这是很重要的一点．若，易知，若，则可验证S为无限集．上述为分析过程，下利用反证法进行证明．不妨假设，而由于，由定义，，则，与假设矛盾．故选：B三、解答题（本大题共76分）17. 已知正四棱柱，其中．（1）若点是棱上的动点，求三棱锥的体积．（2）求点到平面的距离【答案】（1）    （2）【分析】（1）根据与平面平行，直接求解三棱锥的体积即可；（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量与，再根据线面距离的空间向量方法求解即可【小问1详解】实际上需求三棱锥体积．由正四棱柱，角形的面积为因为P是棱上的动点且与平面平行，则只需写出与平面间的距离即可．由于平面，不妨记三棱锥的高为则三棱锥的体积【小问2详解】以D为原点，如图建立空间直角坐标系．则可知设平面的法向量为则不妨设，同时设点到平面的距离为d则故点到平面的距离为18. 已知函数，其中（1）若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；（2）若，求函数在上的最小值；【答案】（1）；    （2）【分析】（1）根据题设中的对称轴可得，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.【小问1详解】可知，因为直线是图象的一条对称轴，故，解得，而，故，则，则周期，再令，则，故的递减区间为.【小问2详解】可知因为，故，则在即取最小值，其最小值为.19. 自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．（1）试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时）（2）由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1）【答案】（1）小时    （2）6.5【分析】（1）由求出，分、，解不等式可得答案；（2）当时，令，，再令，面积由基本不等式求得最值； 当时，，利用单调性可得的最大值，再比较可得答案．【小问1详解】由于，则，当时，，解得，当时，，即产生有效作用的时间段为，故产生有效作用的时间为小时．【小问2详解】当时，令，则，同时，再令，则，面积，由基本不等式，，当且仅当时等号成立，则在上的最大值为，当时，，则此时在是单调递减的，则最大值时取到，，综上所述，在上的最大值为6.5．20. 已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．（1）若的坐标为，求四边形的面积；（2）若与椭圆相切于且，求的值；（3）作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）    （2）    （3）存在；；【分析】（1）根据点斜式方程可得，再联立椭圆方程得到，再根据求解即可；（2）设，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到，再根据，化简可得，进而得到，再根据直角三角形中的关系求解的值即可；（3）设，表达出，再根据列式化简可得，结合与椭圆的方程即可求得和直线的方程【小问1详解】由题意，，故，所以与椭圆方程联立 ，可得：，即，又由题意，故解得，代入椭圆方程可得，故且则【小问2详解】由于直线PN的斜率必存在，则设与椭圆方程联立，可得：由相切，，则同时有韦达定理，代入有，化简得，故而，解得则，所以轴，故直角三角形中，【小问3详解】由于N与，与是两组关于原点的对称点，由对称性知四边形是平行四边形，则与是平行的，故上的任一点到的距离均为两条平行线间的距离d．设，其中，易验证，当时，与之间的距离为，不合要求，设，则，即，发现当时，，即，整理得代入得：，代入整理得，即由于，所以，代入椭圆方程有，故，则的直线方程为21. 设有数列，若存在唯一的正整数，使得，则称为“坠点数列”．记的前项和为．（1）判断：是否为“坠点数列”，并说明理由；（2）已知满足，且是“5坠点数列”，若，求的值；（3）设数列共有2022项且．已知．若为“坠点数列”且为“㞷点数列”，试用表示．【答案】（1）不是；理由见解析    （2）    （3）【分析】（1）列出数列的前几项，再利用作差法判断数列的单调性，根据所给定义一一判断即可；（2）首先可得，再依题意中只存在，即可得到当且仅当时，，其余均为，从而求出，再利用数列极限的概念计算可得；（3）首先判断，利用反证法证明，即可得到，从而得解；【小问1详解】解：对于，由于，则存在，不满足定义，故不是坠点数列．对于，容易发现，即在前4项中只有．而对于起，由于，即对于是恒成立的．故是“3坠点数列” ．【小问2详解】解：由绝对值定义，．又因为是“5坠点数列”，则中只存在且．则当且仅当时，，其余均为故可分类列举：当时，，当时，，…，分组求和知：当时，，则当时，则当时，则【小问3详解】解：结论：经过分析研究发现：下利用反证法予以证明．不妨设，首先研究．由于为“q坠点数列”，则只存在，即而对于且，则有，即故在中有且仅有一项，其余项均大于0又因为为“p坠点数列”，则有且仅有同时，，这与是矛盾的，则且则，故．