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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课文内容课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课文内容课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了知识特训，能力特训等内容，欢迎下载使用。
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中，________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．[提醒] 在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立．
[探究] 基本不等式的两种常用变形方向
2．重要不等式a2＋b2≥________(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0.(1)如果积xy等于定值P，那么当________时，和x＋y有最小值________ (简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y等于定值S，那么当________时，积xy有最大值________ (简记：和定积最大)．
【易错点拨】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”．(1)“一正”就是各项必须为正数．(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的两个项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
【提速能】1．小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度a骑行，后一半路程以速度b骑行，且a>b，其全程的平均速度为v，则下列关系不正确的是( )
2．(2022·山西吕梁三模)已知实数a，b满足ea＋eb＝ea＋b，则ea＋eb的最小值为( )A．2 B．4 C．2e D．6答案：B
[强基础·固知识]1．[易错诊断]判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2答案：D
4．[真题体验](多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1答案：BC
特训点 1 利用基本不等式求最值 【多维考向类】
[锦囊·妙法]拼凑法求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
答案：(1)17 (2)9
[锦囊·妙法]常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．
考向3 消元法典例3 (2022·厦门联考)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．[解题指导]利用已知条件消去部分变量→凑出“和为常数”或“积为常数”→利用基本不等式求最值．答案：6
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
◎思维发散◎1．(变结论)本例条件不变，求xy的最大值．
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
[锦囊·妙法]消元法求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
A．ab>0 B．ab≥0C．ab<0 D．ab≤0
特训点 2 基本不等式的综合应用 【师生共研类】
答案：(1)A (2)C (3)2
又lg2bm＋lg2bn＝lg2(bm·bn)＝6，所以bm·bn＝2m＋n＝26，即m＋n＝6，
因为m，n∈N＋，所以等号取不到．
(3)因为sin2B－sin2C＝sin Asin C，所以b2－c2＝ac，b2＝c2＋ac，又b2＝a2＋c2－2accs B，所以c2＋ac＝a2＋c2－2accs B，即c＝a－2ccs B，所以sin C＝sin A－2sin Ccs B＝sin(B＋C)－2sin Ccs B＝sin Bcs C－sin Ccs B＝sin(B－C)，
利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
特训点 3 基本不等式的实际问题 【师生共研类】
(2)对函数关系式进行整理→运用基本不等式进行求解→结合取等号的条件对k进行分类讨论，求出最值．
若k≥1，则当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．
所以当x＝k时，函数有最大值，即促销费用投入k万元时，厂家的利润最大．综上所述，当k≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当0
(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；(结果精确到0.1小时)
x2－56.5x＋14≤0，解得0.25≤x<4；
即产生有效作用的时间段为0.25≤x≤11，故产生有效作用的时间为11－0.25＝10.75≈10.8小时．
(2)当0≤x<4时，令t＝x＋1，则t∈[1，5)，
则此时u·v在[4，12]上是单调递减的，
综上所述，u·v在[0，12]上的最大值为6.5.
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中，________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．[提醒] 在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立．
[探究] 基本不等式的两种常用变形方向
2．重要不等式a2＋b2≥________(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0.(1)如果积xy等于定值P，那么当________时，和x＋y有最小值________ (简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y等于定值S，那么当________时，积xy有最大值________ (简记：和定积最大)．
【易错点拨】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”．(1)“一正”就是各项必须为正数．(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的两个项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
【提速能】1．小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度a骑行，后一半路程以速度b骑行，且a>b，其全程的平均速度为v，则下列关系不正确的是( )
2．(2022·山西吕梁三模)已知实数a，b满足ea＋eb＝ea＋b，则ea＋eb的最小值为( )A．2 B．4 C．2e D．6答案：B
[强基础·固知识]1．[易错诊断]判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2答案：D
4．[真题体验](多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1答案：BC
特训点 1 利用基本不等式求最值 【多维考向类】
[锦囊·妙法]拼凑法求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
答案：(1)17 (2)9
[锦囊·妙法]常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．
考向3 消元法典例3 (2022·厦门联考)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．[解题指导]利用已知条件消去部分变量→凑出“和为常数”或“积为常数”→利用基本不等式求最值．答案：6
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
◎思维发散◎1．(变结论)本例条件不变，求xy的最大值．
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
[锦囊·妙法]消元法求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
A．ab>0 B．ab≥0C．ab<0 D．ab≤0
特训点 2 基本不等式的综合应用 【师生共研类】
答案：(1)A (2)C (3)2
又lg2bm＋lg2bn＝lg2(bm·bn)＝6，所以bm·bn＝2m＋n＝26，即m＋n＝6，
因为m，n∈N＋，所以等号取不到．
(3)因为sin2B－sin2C＝sin Asin C，所以b2－c2＝ac，b2＝c2＋ac，又b2＝a2＋c2－2accs B，所以c2＋ac＝a2＋c2－2accs B，即c＝a－2ccs B，所以sin C＝sin A－2sin Ccs B＝sin(B＋C)－2sin Ccs B＝sin Bcs C－sin Ccs B＝sin(B－C)，
利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
特训点 3 基本不等式的实际问题 【师生共研类】
(2)对函数关系式进行整理→运用基本不等式进行求解→结合取等号的条件对k进行分类讨论，求出最值．
若k≥1，则当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．
所以当x＝k时，函数有最大值，即促销费用投入k万元时，厂家的利润最大．综上所述，当k≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当0
(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；(结果精确到0.1小时)
x2－56.5x＋14≤0，解得0.25≤x<4；
即产生有效作用的时间段为0.25≤x≤11，故产生有效作用的时间为11－0.25＝10.75≈10.8小时．
(2)当0≤x<4时，令t＝x＋1，则t∈[1，5)，
则此时u·v在[4，12]上是单调递减的，
综上所述，u·v在[0，12]上的最大值为6.5.
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