2023年上海市崇明区中考二模数学试卷含详解

2022学年第二学期学业质量调研

九年级数学

（测试时间：100分钟，满分：150分）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

3．考试中不能使用计算器．

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】

1．－6的绝对值是（   ）

A．-6 B．6 C．-  D．

2．下列运算中，计算结果正确的是（       ）

A． B．

C． D．

3．如果函数的图像经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

4．如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（       ）

A．测得的最高体温为37.1℃

B．前3次测得的体温在下降

C．这组数据的众数是36.8

D．这组数据的中位数是36.6

5．下列命题是真命题的是（       ）

A．四边都相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的矩形是正方形

C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

6．已知在中，，，如果以A为圆心r为半径的和以为直径的相交，那么r的取值范围（       ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．的立方根是__________．

8．已知，那么________．

9．不等式组的解集是________．

10．方程的根是_______．

11．已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围为________．

12．已知一个反比例函数图像经过点，则该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而________．（填“增大”或“减小”）

13．在六张卡片上分别写有6，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是________．

14．为了进一步了解某校九年级学生的体能情况，随机抽取50名学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制成不完整的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值），若该校九年级共有450名学生，那么一分钟跳绳次数在120～140次的人数是________．

15．正八边形的每个外角为_________度．

16．已知梯形中，，，设，，那么可用、表示为________．

17．如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么________．

18．如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，将绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在边上时，联结，那么________．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．计算：

20．解方程组：

21．如图，已知在中，，，经过的顶点A、C，交边于点D，，点C是的中点．

(1)求的半径长；

(2)联结，求．

22．在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示．

(1)求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；

(2)该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．

23．已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于E，M是边延长线上的一点，联结，与边交于F，与对角线交于点G．

(1)求证：；

(2)联结，如果，求证：平行四边形是菱形．

24．如图，在直角坐标平面中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)抛物线与x轴的另一个交点为C，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个单位（），使点M落在内，求m的取值范围；

(3)对称轴与直线交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当时，求点Q的坐标．

25．如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与A、C重合），联结，过点C作，分别交、于点E、F．

(1)当时，求的正切值；

(2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；

(3)联结并延长，与边的延长线相交于点G，若与相似，求的值．

1．B

【分析】

在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．

【详解】

负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6．

故选：B．

2．A

【分析】

根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，逐一进行判断即可．

【详解】

解：A、，选项正确，符合题意；

B、，选项错误，不符合题意；

C、，选项错误，不符合题意；

D、，选项错误，不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．

3．C

【分析】

根据一次函数图象的性质进行求解即可．

【详解】

解：∵函数的图像经过第一、三、四象限，

∴，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键．

4．D

【分析】

根据折线图判断最高体温以及上升下降情况，根据众数、中位数的性质判断即可．

【详解】

解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1℃，A选项正确，不符合题意；

B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意；

C、由7组数据可知，众数为36.8，C选项正确，不符合题意；

D、根据中位数定义可知，中位数为36.8，D选项错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查折线统计图、众数以及中位数的定义，正确读懂统计图，正确理解众数、中位数定义是解题关键，注意必须从大到小或者从小到大排列后再求中位数．

5．B

【分析】

根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．

【详解】

解：A、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；

B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意；

C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；

D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题，不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查判断命题的真假．熟练掌握正方形的判定方法，是解题的关键．

6．C

【分析】

首先利用勾股定理求得两圆的圆心距，然后利用两圆相交时两圆的圆心距和两圆的半径之间的关系求解．

【详解】

解：如图，由题意得：，

，

由勾股定理得：，

设的半径为，

根据两圆相交得：

，

解答：，

故选：C．

【点睛】

本题考查两圆之间的位置关系．熟练掌握两圆之间的位置关系的判定方法，是解题的关键．

7．-2

【分析】

根据立方根的定义进行求解即可得．

【详解】

解：∵（﹣2）3=﹣8，

∴﹣8的立方根是﹣2，

故答案为﹣2．

【点睛】

本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．

8．

【分析】

将代入解析式，进行求解即可．

【详解】

解：∵，

∴；

故答案为：．

【点睛】

本题考查求反比例函数的函数值．熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键．

9．##

【分析】

分别求出两个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．

【详解】

解：

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．

10．

【分析】

先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，结合二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案．

【详解】

方程两边平方得：

∴，

∵

∴

∴不符合题意，故舍去

∴原方程的根为

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．

11．

【分析】

根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，

∴，

解得：；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系．熟练掌握时，方程没有实数根，是解题的关键．

12．增大

【分析】

求出反比例函数的解析式，即可得出结论．

【详解】

解：设反比例函数的解析式为：，

∵反比例函数图像经过点，

∴，

∴该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而增大；

故答案为：增大．

【点睛】

本题考查反比例函数的图象和性质．正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键．

13．

【分析】

先求出无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可．

【详解】

解：，

∴6，，3.1415，，0，六个数中，是无理数，共2个；

随机抽取一张卡片，共有6种等可能的结果，其中卡片上的数为无理数，有2种等可能的结果，

∴；

故答案为：．

【点睛】

本题考查概率．熟记特殊角的三角函数值，掌握无理数的定义，概率公式，是解题的关键．

14．135

【分析】

利用样本中一分钟跳绳次数在120～140次的频率，进行求解即可．

【详解】

解：（人）；

故答案为：135．

【点睛】

本题考查利用样本估计总数．熟练掌握频率等于频数除以总数，是解题的关键．

15．45

【分析】

根据正多边形的每个外角相等且外角和等于360度列式计算即可．

【详解】

解：∵正多边形

∴有8个相等的外角且外角和为360°

∴正八边形的每个外角为360°÷8=45°．

故答案为45．

【点睛】

本题主要考查了正多边形的外角的性质和多边形的外角和定理，掌握正多边形的每个外角都相等且外角和为360°是解答本题的关键．

16．##

【分析】

连接，利用三角形法则，进行求解即可．

【详解】

解：连接，

则：，

∵，，

∴，

∴；

故答案为：．

【点睛】

本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．

17．

【分析】

如图，延长交于，由题意得，，则，由，可得，计算求解即可．

【详解】

解：如图，延长交于，

∵点D是的重心，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

∴，

∵和都是等边三角形，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

18．

【分析】

利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出的长，证明，得到，推出，在中，利用勾股定理进行求解即可．

【详解】

解：∵，，，，

∴，，，，

∴，

∴，，

∴，

设，则：，

∴，

在中，，即：，

解得：或（不合题意，舍去）；

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查含30度的直角三角形，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键．

19．5

【分析】

先进行正整数指数幂，零指数幂，分数指数幂以及分母有理化的计算，再进行加减运算．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算．解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算．

20．或

【分析】

利用代入消元法，将方程组转化为一元二次方程，进行求解即可．

【详解】

解：由①得：，

把代入②得：，

整理，得：，

解得：；

当时，；

当时，；

∴方程组的解为：或．

【点睛】

本题考查解二元二次方程组．熟练掌握消元法以及因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．

21．(1)

(2)

【分析】

（1）连接，易得，为等腰三角形，利用三线合一，以及垂径定理，进行求解即可；

（2）过点作，勾股定理求出的长，进而得到的长，等积法求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可．

【详解】

（1）解：连接，则：，

∵点C是的中点，

∴，，

∴，

∴，

∴，

设圆的半径为，则：，

∴，

在中，，即：，

解得：，

∴的半径长为．

（2）解：由（1）知：，

∴，

∴，

过点作于点，

则，即：，

∴，

由（1）知：，

∴．

【点睛】

本题考查弧，弦，圆心角的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌握等弧对等弦对等角，是解题的关键．

22．(1)

(2)选购的甲、乙消毒剂的数量分别为30瓶，60瓶

【分析】

（1）设出函数解析式，根据图象，利用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）设乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元，根据两种消毒剂的数量关系，列出分式方程，进行求解即可．

【详解】

（1）解：设y关于x的函数解析式为，

由图象可知，图象过点，

∴，解得：，

∴；

（2）解：设乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元，由题意，得：，

整理，得：

解得：（负值已舍掉），

经检验，是原方程的解，

∴乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元，

∴甲消毒剂的数量为瓶，乙消毒剂的数量为瓶．

【点睛】

本题考查一次函数的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，列出分式方程．

23．(1)见解析

(2)见解析

【分析】

（1）证明，得到，证明，得到，进而得到，即可得证；

（2）证明，推出，进而得到，即可得证．

【详解】

（1）证明：∵平行四边形，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∴；

（2）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵平行四边形中，对角线、交于E，

∴，

∴，即：，

∴平行四边形是菱形．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定．本题的综合性较强，解题的关键是证明三角形相似．

24．(1)，

(2)

(3)或

【分析】

（1）先求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出点D的坐标即可；

（2）先求出点M的坐标，进而求出在中，当时，y的值即可得到答案；

（3）如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作交于T，证明四边形是平行四边形，推出；再证明，推出此时不可能存在（当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合，设，则，求出，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，解方程即可；如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当时符合题意．

【详解】

（1）解：在中，令，则，令，则，

∴，

把代入中得：，

∴，

∴抛物线解析式为，

∴顶点D的坐标为；

（2）解：在中，当时，则，

解得或，

∵点在抛物线对称轴左侧的图像上，

∴，

在中，当时，，

∵将抛物线向上平移m个单位（），使点M落在内，

∴；

（3）解：如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作交于T，

∵轴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵，

∴；

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴此时不可能存在（当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合，

设，则，

在中，当时，，

∴，

由平行四边形对角线中点坐标相同可知，

解得或（舍去），

∴；

如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当时符合题意，

∴；

综上所述，点Q的坐标为或．

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，二次函数图象的平移等等，灵活运用所学知识是解题的关键．

25．(1)

(2)

(3)或

【分析】

（1）根据同角的余角相等分析可得，然后根据正切的概念求解；

（2）过点F作，，然后结合角的正切值及三角形的面积比分析求解；

（3）分情况讨论，通过证明和利用点四点共圆以及相似三角形的性质分析求解．

【详解】

（1）解：∵，，

∴，

∴，

∴；

（2）过点F作，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

设的边上的高为，则的边上的高为，

∴，

又∵，，，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

∴，

∴，即；

（3）如图：

①当时，,

又∵，

∴，

∴，

∴点四点共圆，且为直径，

又∵，

∴，，

在中，，

∴，

即．

②当时，，

又∵，

∴，

过点F作，

∴，

∵，，

∴，

∴，

解得（负值舍去），

∴，

综上，的值为或．

【点睛】

本题考查余角的性质，锐角三角函数，相似三角形的性质，理解正切的概念，掌握相似三角形的性质，准确添加辅助线是解题关键．