2023年上海市嘉定区中考二模数学试卷含详解

2023年上海市嘉定区中考二模数学试卷

（时间100分钟，满分150分）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题；

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题： (本大题共6题， 每题4分，满分24分) ．

[下列各题的四个选项中，有且只有一-个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]

1．下列根式中，与为同类二次根式的是(     )

A． B． C． D．

2．下列关于x的方程一定有实数解的是（     ）

A．  B．  C． (b为常数) D． (b为常数)

3．某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如下表所示：

该投篮进球次数的中位数是（     ）A．2 B．3 C．4 D．5

4．从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（     ）

A． B． C． D．

5．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ）

A．等边三角形 B．等腰梯形 C．矩形 D．正五边形

6．如图，已知点D、E分别在的边、上，，，那么等于（     ）

A． B． C． D．

二、填空题：(本大题共12题，每题4分满分48分)

[请将结果直接填入答题纸的相应位置]

7．计算：_____．

8．如果分式有意义，那么实数x的取值范围是_____．

9．1纳米=0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为________

10．方程- x=1的根是_________．

11．如果反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的解析式为____．

12．如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么____．

13．某区有1200名学生参加了“垃圾分类"知识竞赛，为了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩(得分都是整数)作为样本，绘制成频率分布直方图(如图) ．请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分~ 99.5分的学生有____名．

14．如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个正多边形的边数是______．

15．如图，在中，点D是边上一点，且．设，，那么____ ．(用、表示)

16．如图，在中，，， ，以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是____．

17．新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是____．

18．如图，在Rt中，， ，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点顺时针方向旋转，点、的对应点分别是点、．如果点落在线段上，那么线段____．

三、解答题： (本大题共7题，满分78分)

19．计算：

20．解方程：

21．如图，在中，，，圆O经过A、B两点，圆心O在线段上，点C在圆O内，且．

(1)求圆O的半径长；

(2)求的长．

22．A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．

(1)如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；

(2)如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由．

23．如图，已知、分别是和它的邻补角的角平分线，，垂足为点E，，连接，分别交、于点G、H．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)试猜想与之间的数量关系，并证明你的结论．

24．如图，在直角坐标平面中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，，抛物线经过A、B、C三点．

(1)求点A、B的坐标；

(2)联结、、，当时，

①求抛物线表达式：

②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．

25．在中，， 点P在线段上，，交于点D，过点B作，垂足为E，交的延长线于点F．

(1)如果，

①如图1当点P与点C重合时，求证： ；

②如图，当点在线段上，且不与点、点重合时，问： ①中的“”仍成立吗?请说明你的理由；

(2)如果，如图11，已知 (n为常数)，当点P在线段上，且不与点B、点C重合时，请探究的值(用含n的式子表示)，并写出你的探究过程．

1．A

【分析】

先把二次根式与化为最简二次根式，再进行判断．

【详解】

解：∵=，

∴四个选项中只有 A与被开方数相同，是同类二次根式．

故选A．

2．D

【分析】

根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可．

【详解】

解：A、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意；

B、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意；

C、 (b为常数)的判别式为：，方程不一定有实数解，不符合题意；

D、 (b为常数)的判别式为：，方程一定有实数解，符合题意；

故选D．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程实数根的情况，正确利用根的判别式进行判断是解题关键．

3．B

【分析】

将数据排序后第25，26名学生投篮次数的平均数即为中位数．

【详解】

由中位数的定义得：该投篮进球数据的中位数是数据从小到大排序后，第25和26个数的平均数，即；

故选：B．

【点睛】

本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．

4．C

【分析】

列举法求出所有和的个数，以及和为奇数的个数，利用概率公式进行求解即可．

【详解】

任意取出2个数做加法，出现答案有3，4，5，5，6，7，共6种等可能的结果，其中和为奇数的结果有4种，

∴和为奇数的概率；

故选C．

【点睛】

本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法求概率的方法，是解题的关键．

5．C

【分析】

根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义逐项判断即可．

【详解】

A选项：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；

B选项：等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；

C选项：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；

D选项：正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选C．

【点睛】

本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解定义，会根据定义判断轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．

6．D

【分析】

根据题意得，与是同高，故底之比等于，从而得出面积之比．

【详解】

解： ∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵和的高相同，

∴，

故选：D．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．

7．．

【分析】

根据同底幂相除，底数不变，指数相减计算即可得到答案．

【详解】

解：

8．

【分析】

根据分式有意义的条件进行解答即可．

【详解】

解：∵分式有意义，

∴，

解得：．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了分式意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，分母不等于零．

9．2.5×10−9米.

【分析】

首先根据1纳米=0.000000001米，得出2.5纳米=2.5×0.000000001米=0.0000000025米，再根据科学记数法的表示方法得出答案.

【详解】

∵1纳米=0.000000001米，

∴2.5纳米=2.5×0.000000001米=0.0000000025米=2.5×10−9米；

故答案为:2.5×10−9米.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

10．

【分析】

先对已知方程进行变形．然后结合二次方程即可求解．

【详解】

解：方程整理得，

两边平方得，即，

解得或，

根据二次根式的性质可得，

所以原方程的根是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质以及含有根式方程的一般解法．二次根式的性质：，含有根式方程的一般解法：先移项，然后两边同时平方，再利用一元二次方程的知识求解即可．

11．

【分析】

把点代入反比例函数中，即可得出结果．

【详解】

解：由题意，得：，

∴反比例函数的解析式为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查求反比例函数的解析式．熟练掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键．

12．

【分析】

按照平移的规律得平移后的解析式，再把原点代入求即可．

【详解】

解：函数的图象向左平移2个单位后的解析式为，

将代入，解得，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数图象平移：左加右减，上加下减．

13．180

【分析】

根据，计算求出成绩在89.5分~ 99.5分的学生的频率，然后乘以计算求解即可．

【详解】

解：由频率分布直方图可知，成绩在89.5分~ 99.5分的学生频率为，

∴估计该区本次竞赛成绩在89.5分~ 99.5分的学生有（名），

故答案为：180．

【点睛】

本题考查了频率分布直方图，用样本估计总体．根据频率分布直方图求出频率是解题的关键．

14．10

【分析】

根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．

【详解】

根据正n边形的中心角的度数为，则n=360÷36=10，故这个正多边形的边数为10，

故答案为：10．

【点睛】

本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．

15．

【分析】

根据，计算求解即可．

【详解】

解：由题意知

故答案为：．

【点睛】

本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于明确各向量之间的关系．

16．##

【分析】

求出线段、，再根据点与圆得位置关系判断即可．

【详解】

解：∵在中，，， ，

∴，

∴，

∵以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了点与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据题意求出，．

17．4

【分析】

由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可．

【详解】

解：由题意知，一次函数的“特征值”为，

当时，，

∴一次函数的“特征值”为4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算．

18．

【分析】

根据勾股定理求得，根据旋转的性质得出，，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】

在Rt中，， ，，点、分别是边、的中点，

∴,，

如图所示，点落在线段上，

设旋转角为，

∴，

旋转，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

19．

【分析】

根据二次根式的混合运算法则，特殊角的三角函数值以及零指数幂进行计算即可．

【详解】

．

【点睛】

考查了实数的综合运算能力，负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、特殊角度的三角函数值等考点的运算．

20．，

【分析】

将②式因式分解解两个二元一次方程组即可．

【详解】

解：

由②得或

由①③得：，

把③代入①得：，

解得：，

把代入③得：，

∴方程的解为：；

由①④得：，

把④代入①得：，

解得：，

把代入①得：，

∴方程的解为：.

【点睛】

本题考查二元一次方程组，因式分解；注意将②式因式分解转化为两个方程是本题关键．

21．(1)

(2)

【分析】

（1）延长交圆O于点D，连接，设圆O的半径长为r，则，利用正弦函数列式计算即可求解；

（2）先求得，在，利用三角函数的定义求得和的长，再利用勾股定理求解．

【详解】

（1）解：设圆O的半径长为r，延长交圆O于点D，连接，

因为，，

所以，

解得，

经检验，是方程的解；

（2）解：过点B作的垂线垂足为E，

由（1）得，

则，解得，

，解得，

所以，

所以

【点睛】

本题考查了圆内接三角形，经过圆的直径构造的三角形为直角三角形，添加辅助线再利用三角函数求解．

22．(1)

(2)符合规定，理由见解析

【分析】

（1）根据时间=路程÷速度即可求出答案；

（2）根据题意列分式方程求解即可．

【详解】

（1）解：由题意得：提速前从A城到B城的所用时间为：（小时），

提速后的速度为100千米/小时，

∴提速后从A城到B城的所用时间为：（小时），

∴提速后从A城到B城的行驶时间减少（小时）；

（2）解：设列车提速前速度是每小时x千米，

则

解得： (舍去），，

∴提速后的速度为，符合规定.

【点睛】

本题考查了分式方程应用题，运用路程=速度乘以时间解决问题．

23．(1)见解析

(2)，理由见解析

【分析】

（1）由CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的角平分线可得，由可得，再由于，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得证；

（2）根据矩形的对角线相等且互相平分可得点H是的中点，，得到，由于，故，所以，得到，进而得到．

【详解】

（1）、分别是和的角平分线，

，，

，

，

，

，

，

，

，

四边形是矩形．

（2）四边形是矩形，

，

，

是的角平分线，

，

，

，

，

，

四边形是矩形，

，

．

【点睛】

本题主要考查矩形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形相似的证明与性质．熟练运用矩形的判定与性质是解题的关键．

24．(1)，

(2)①；②存在，或

【分析】

（1）求出抛物线的对称轴为，再根据A的坐标为，，即可作答；

（2）①证明，即有，进而可得，问题得解；②先求出，设点P的坐标为，设抛物线对称轴交于N点，利用待定系数法可求出直线的解析式为：，，则有：，则有，进而可得，解方程即可求解．

【详解】

（1）该抛物线的表达式为，

，

该抛物线的对称轴为，

抛物线经过点A，且点A在y轴的负半轴上，

点A的坐标为，

，对称轴为，

点B的坐标为；

（2）①，，

，，，

，

，

，

，，，

，，

即：，

，

点C在x轴的正半轴上，

点C的坐标为，

将代入中，解得，

该抛物线的表达式为；

②存在，理由如下：

，，

，

，

设点P的坐标为，

如图，抛物线对称轴交于N点，

，，

利用待定系数法可求出直线的解析式为：，

即时，，

即，

则有：，

，

即有：，

解得，或者，

点P的坐标为或．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．

25．(1)①证明见解析；②成立，证明见解析

(2)，过程见解析

【分析】

（1）①由等角对等边可得，证明，则，证明，则，进而可证；②如图1，过作交于，交于，则，同理①可证，，则，同理①可证，，则，；

（2）如图2，过作交于，交于，同理（1）可证：，则，证明，则，证明，则，即，可知，即，进而可得．

【详解】

（1）①证明：∵，

∴，

∵，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴；

②解：仍成立，理由如下：

如图1，过作交于，交于，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

同理①可证，，

∴，

同理①可证，，

∴，

∴；

（2）解：如图2，过作交于，交于，

同理（1）可证：，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∴，即，

∴．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．