2023年上海市闵行区中考二模数学试卷含详解

这是一份2023年上海市闵行区中考二模数学试卷含详解，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年第二学期九年级学业质量调研
数学试卷
（练习时间：100分钟,满分：150分）
一、选择题：（本大题共6题,每题4分,满分24分）
1．单项式的次数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．上海某区3月日至3月日的气温（）如下表：
日期
20日
21日
22日
23日
24日
25日
26日
天气
多云
晴
晴
阴
多云
阴
小雨
最低气温
12
15
11
8
9
8
8
最高气温
16
22
23
13
15
13
13

那么这一周最高气温的众数和中位数分别是（     ）A．13,13； B．13,15； C．8,15； D．8,13．
3．一次函数的图像经过第一、二、三象限,它的解析式可以是（     ）
A． B． C． D．
4．下列命题是真命题的是（     ）
A．平行四边形的邻边相等； B．平行四边形的对角线互相平分；
C．平行四边形内角都相等； D．平行四边形是轴对称图形．
5．在平面直角坐标系中,如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线,那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（     ）
A．开口方向相同； B．对称轴相同；
C．顶点的横坐标相同； D．顶点的纵坐标相同．
6．如图,在中,．用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线,那么下列作法一定正确的是（     ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共12题,每题4分,满分48分）
7．计算：______．
8．因式分解：__________．
9．已知关于的方程有两个相等的实数根,那么的值为_________．
10．方程的根是_______．
11．如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,BC=2AD,如果,,那么=_____（用,表示）．

12．2022年10月12日,“天宫课堂”第三课在问天实验舱内开讲．进行的太空实验有①毛细效应；②水球变“懒”实验；③太空趣味饮水；④会调头的扳手．某校1500名学生在线观看了“天宫课堂”第三课,并参与了关于“我最喜爱的太空实验”的问卷调查．如果从中随机抽取45名学生的问卷调查情况进行统计分析,并将调查数据整理成下面的条形图,那么估计该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有________名．

13．为开展“学习二十大,奋进新征程”主题宣讲活动,某学校从甲、乙、丙三位宣讲员中随机抽取两人参加,恰好选中甲、丙两人的概率为________．
14．如果正六边形的半径长为2,那么它的面积为________．
15．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗,醐洒一斗直粟三斗,今持粟三斛,得酒五斗,问清跴酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子,一斗醐洒酒价值3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清洒,醐洒酒各几斗？如果设清酒x斗,那么可列方程为_________．
16．如图,在平面直角坐标系中,点A在直线上,点A的横坐标为1,点P是x轴正半轴上一点,点B在反比例函数图象上,联结和．如果四边形是矩形,那么k的值是__________．

17．如图,在菱形中,,,如果将菱形绕着点D逆时针旋转后,点A恰好落在菱形的初始边上的点E处,那么点E到直线的距离为___________．

18．阅读理解：如果一个三角形中有两个内角、满足,那么我们称这个三角形为特征三角形．
问题解决：如图,在中,为钝角,,,如果是特征三角形,那么线段的长为___________．

三、解答题：（本大题共7题,满分78分）
19．计算：
20．解不等式组,并把解集在数轴上表示出来；

21．如图,在中,,,,点D为的中点,过点B作CD的垂线,交CD的延长线于点E．

(1)求线段的长；
(2)求的值．
22．如图,在修建公路时,需要挖掘一段隧道,已知点A、B、C、D在同一直线上,,,米；

(1)求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；
（参考数据：,,）．
(2)原计划单向开挖,但为了加快施工进度,从B、C两端同时相向开挖,这样每天的工作效率提高了20%,结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？
23．如图,在扇形中,点C、D在上,,点F、E分别在半径、上,,连接、．

(1)求证：；
(2)设点Р为的中点,连接、、,线段交于点M、交于点N．如果,求证：四边形是矩形．
24．在平面直角坐标系中,抛物线经过点、,与x轴的负半轴交于点C．

(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分）,连接．
①如果与线段交于点E,且,求的正切值；
②如果与y轴交于点F,以为半径的,与以为半径的外切,求点D的坐标．
25．如图,在中,,,以为边作（点D、A在直线的异侧）,且满足,．

(1)求证：；
(2)设点E为边的中点,连结并延长交边于点F,当为直角三角形时,求边的长；
(3)设,,求y关于x的函数解析式并写出定义域．

1．C
【分析】
根据单项式次数的定义,即单项式所含字母的指数和为单项式的次数,据此即可解答．
【详解】
解：单项式的次数为：,
故选：C．
【点睛】
本题考查了单项式次数的定义,熟练掌握和运用单项式次数的定义是解决本题的关键．
2．B
【分析】
根据众数和中位数定义解答即可．
【详解】
一周最高气温分别为13、13、13、15、16、22、23
∴众数为13；中位数为15,
故选B．
【点睛】
本题考查了中位数及众数,熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
3．A
【分析】
根据一次函数的图像经过第一、二、三象限可知,然后问题可求解．
【详解】
解：由一次函数的图像经过第一、二、三象限可知,所以符合题意的只有A选项；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像与性质,熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
4．B
【分析】
根据平行四边形的性质可进行求解．
【详解】
解：由平行四边形的性质可知：平行四边形的两组对边相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的对角相等；平行四边形是中心对称图形；
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质及真命题,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．D
【分析】
根据二次函数的平移及性质可进行求解．
【详解】
解：把抛物线向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为,
∴这两条抛物线的开口方向都是向上,对称轴都为直线,顶点的横坐标都为0,顶点的纵坐标一个为0,一个为；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的平移及性质,熟练掌握二次函数的平移及性质是解题的关键．
6．C
【分析】
根据线段垂直平分线的作图、角平分线的作图及直角三角形斜边中线定理可进行求解．
【详解】
解：A、由作图可知,不满足点P是的中点,故不符合题意；
B、由作图可知,不满足点P是的中点,故不符合题意；
C、由作图可知点P是的中点,故符合题意；
D、由作图可知平分,故不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查直角三角形斜边中线定理及线段垂直平分线的作图、角平分线的作图,熟练掌握尺规作图是解题的关键．
7．
【分析】
直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案．
【详解】
解：

．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项,熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
8．
【分析】
根据平方差公式直接进行因式分解即可．
【详解】
解：原式
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解,常用的方法有：提取公因式法,公式法,十字相乘法．
9．4
【分析】
由题意得,,计算求解即可．
【详解】
解：由题意得,,
解得,
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根时,．
10．
【分析】
先把方程两边平方,使原方程化为整式方程,解此一元二次方程得到,,结合二次根式的性质,去掉增根,即可得到答案．
【详解】
方程两边平方得：
∴,
∵
∴
∴不符合题意,故舍去
∴原方程的根为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质,从而完成求解．
11．
【详解】
∵梯形ABCD,AD∥BC,BC=2AD,=,∴=2=2,∵,∴=+=2+．故答案为2+．
12．500
【分析】
根据该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有,计算求解即可．
【详解】
解：由题意知,该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有（名）,
故答案为：500．
【点睛】
本题考查了条形统计图,用样本估计总体．解题的关键在于从条形统计图中获取正确的信息．
13．
【分析】
根据概率公式解答即可．
【详解】
从甲、乙、丙三位宣讲员中随机抽取两人的情况有：甲、乙；甲、丙；乙、丙,共三种情况,恰好选中甲、丙两人的情况只有一种
∴选中甲、丙两人的概率为,
故答案为．
【点睛】
本题考查了概率公式,熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
14．
【分析】
过点O作于点G,证明是等边三角形,求出,得出,即可得出．
【详解】
解：过点O作于点G,如图所示：

∵六边形为正六边形,
∴,,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正多边形的性质,勾股定理,三角形面积的计算,等边三角形的判定和性质,解题的关键是证明是等边三角形,求出．
15．
【分析】
设清酒x斗,则醐洒酒为（5-x）斗,一斗清酒价值10斗谷子,x斗清酒价值10x斗谷子；一斗醐洒酒价值3斗谷子,（5-x）斗醐洒酒价值3（5-x）斗谷子．存在“换x斗清酒和（5-x）斗醐洒酒共用30斗谷子”的等量关系,根据等量关系可列方程．
【详解】
解：设清酒x斗,则醐洒酒为（5-x）斗．
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的实际应用,准确分析出数量关系和等量关系是解决本题的关键．
16．
【分析】
当,,即,如图,连接交于,过作于,则,,是中点,在中,由勾股定理求的值,证明,则,求的值,进而可得的点坐标,将点坐标代入反比例函数解析式求解值即可．
【详解】
解：当,,即,
如图,连接交于,过作于,

∴,,
∵四边形是矩形,
∴是中点,
在中,由勾股定理得,
∵,,
∴,
∴,即,解得,
∴,,
∴,
将代入得,,解得,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合,相似三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．3
【分析】
如图,旋转、菱形的性质可知,,则,,,,根据E到直线的距离为,计算求解即可．
【详解】
解：如图,菱形绕着点D逆时针旋转后为菱形,

由旋转、菱形的性质可知,,
∴,,
∴,
∴,
∴E到直线的距离为,
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质,菱形的性质,等边对等角,三角形内角和定理,正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18．
【分析】
由题意可分：①设,则在上截取一点D,使得,此种情况不符合题意；②设,过点B作于点E,过点C作于点F,然后根据三角函数及勾股定理可进行求解．
【详解】
解：由题意可分：①设,则在上截取一点D,使得,如图所示：

∴,
∵,
∴,
∴为钝角,故不存在；
②设,过点B作于点E,过点C作于点F,如图所示：

∵是特征三角形,即,且,
∴,
∴平分,
∴,
∵,
∴,
设,则有,
∴,
∵,
∴在中,由勾股定理得,
解得：,
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角函数及勾股定理,熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键．
19．0
【分析】
先分别计算绝对值,幂的乘方的逆运算与幂的乘方,负整数指数幂,分母有理化,然后进行加减运算即可．
【详解】
解：



【点睛】
本题主要考查了绝对值,幂的乘方的逆运算与幂的乘方,负整数指数幂,分母有理化．解题的关键在于正确的运算．
20．,数轴见详解
【分析】
根据一元一次不等式组的解法可进行求解,然后再把解集在数轴上表示即可．
【详解】
解：
由①得：,
由②得：,
∴原不等式组的解集为,
在数轴上表示如下：

【点睛】
本题主要考查一元一次不等式组的解法,熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21．(1)
(2)

【分析】
（1）由勾股定理可求得斜边,再由斜边中线可得长度．
（2）通过相似三角形得到比例,求出长度,再通过勾股定理求出长度,再计算比值即可．
【详解】
（1）
中,代入,,
得
D为的中点,

（2）解法1：
D为的中点,


又,




中

解法2：
与中
设得
解得

【点睛】
本题考查几何图形中长度的计算,相似三角形,主要利用勾股定理进行长度关系计算,可以设元列勾股方程或结合相似计算,通常几何长度的求解可采用3中方法（勾股、相似、面积法）,常考直角三角形和含有特殊角度的图形．在计算中灵活利用勾股定理是解题的关键．
22．(1)1200米
(2)原计划单向开挖每天挖100米

【分析】
（1）由题意易得,然后根据三角函数可进行求解；
（2）设原计划单向开挖每天挖x米,根据题意可得方程,然后求解即可．
【详解】
（1）解：∵,
∴,
∵,米,
∴米；
答：隧道两端B、C之间的距离为1200米．
（2）解：设原计划单向开挖每天挖x米,根据题意可得：
,
解得：,
经检验：是原方程的解且满足题意,
答：原计划单向开挖每天挖100米．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形及分式方程的应用,熟练掌握三角函数是解题的关键．
23．(1)见详解
(2)见详解

【分析】
（1）由题意易得,则有,然后可证,进而问题可求证；
（2）由（1）可知：,,然后可得扇形关于对称,则有,进而问题可求证．
【详解】
（1）证明：∵,是公共弧,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴；
（2）解：如图所示：

由（1）可知：,,
∵点Р为的中点,
∴,
∴扇形关于对称,
∴,
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴平行四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查垂径定理、圆的基本性质及矩形的判定,熟练掌握垂径定理、圆的基本性质及矩形的判定是解题的关键．
24．(1),
(2)①；②

【分析】
（1）把点、代入抛物线解析式可求解,然后令可求点C的坐标；
（2）①根据题意作图,则过点E作于点G,然后可得,则根据相似三角形的性质可得点E坐标,进而问题可求解；②由题意可知,然后过点D作于点H,设点,则有,进而问题可求解．
【详解】
（1）解：把点、代入抛物线解析式得：
,
解得：,
∴抛物线的表达式为；
令,则有,
解得：,
∴；
（2）解：①如图所示：

过点E作于点G,
∴,
∴,
∴,
∵点、,
∴,即是等腰直角三角形,
∵,
∴,即,
∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
由（1）可知,
∴,
∴；
②如图所示：

∵以为半径的与以为半径的外切,
∴与相切于点F,即,
过点D作于点H,
∴,,
∴,
∴,
设点,则有,,
∴,
∴,
∴,
∴,
解得：（不符合题意,舍去）,
∴；
当点D在x轴的下方时,显然,所以以为半径的与以为半径的不会外切．
【点睛】
本题主要考查圆与圆的位置关系及二次函数的综合,熟练掌握圆与圆的位置关系及二次函数的综合问题是解题的关键．
25．(1)见详解
(2)或
(3),

【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可知,然后根据三角形内角和可进行求解；
（2）由题意可分：①当时,②当时,然后分别画出图形,进而根据含30度直角三角形的性质及三角函数可进行求解；
（3）过点D作于点M,交于点N,过点N作于点Q,由题意易得,则有,,然后可得,,进而根据相似三角形的性质及三角函数可进行求解．
【详解】
（1）证明：∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴；
（2）解：由题意可分：①当时,

∵点E为边的中点,且,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
在上取一点G,使得,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴；
②当时,

过点C作于点H,
∴,,
由（1）可知,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵点E为边的中点,
∴,
∴,
∵,
∴;
综上所述：当为直角三角形时,或；
（3）解：过点D作于点M,交于点N,过点N作于点Q,如图所示：

由（1）可知,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,即,
∵,,
∴,,
∴,,
∴,
∴,,
∵,由（1）知,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
在中,由勾股定理得：


,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵是斜边,
∴,即．
【点睛】
本题主要考查函数解析式、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数,熟练掌握函数解析式、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．