2023年上海市松江区中考二模数学试卷含详解

2023年松江区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学

（满分150分，完卷时间100分钟

2023.04

考生注意：

1. 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试卷与答题要求．所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．

2. 答题前，务必在答题纸上填写姓名、学校和考号．

3. 答题纸与试卷在试卷编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．

一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．的倒数是（       ）

A．3 B． C． D．

2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（       ）

A． B． C． D．

3．一次函数的图象不经过（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．下列方程中，有实数根的是（       ）

A． B． C． D．

5．下列命题正确的是（       ）

A．三点确定一个圆 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴

C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦

6．如图，点G是的重心，四边形与面积的比值是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共12题）G【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．计算：__________．

8．因式分解：a2﹣3a=_______．

9． 不等式组的解集是        .

10．一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形是正_____边形．

11．在一副扑克牌中拿出2张红桃、3张黑桃共5张牌，从中任取1张是红桃的概率是________．

12．已知点和点在反比例函数的图像上，如果，那么__________．（填“>”、“=”、“<”）

13．抛物线向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为______．

14．如图，已知在矩形中，点在边上，且，设，那么＝________（用、的式子表示）．

15．已知相交两圆的半径长分别为和，如果两圆的圆心距为，且，试写出一个符合条件的的值：________．

16．一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．已知私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时，那么点A的坐标是________．

17．已知中，AB=4，∠ABC与∠DCB的角平分线交AD边于点E，F，且EF=3，则边AD的长为_______．

18．我们定义：二次项系数之和为，图像都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数，那么的友好函数是________．

三、解答题（本大题共7题）

19．计算：

20．解方程组：

21．如图，四边形中，．

(1)如果，求的值；

(2)如果，求四边形的面积．

22．某校对六年级学生进行了一次安全知识测试，按成绩x分（x为整数）评定为A、B、C、D四个等级，其中A等级：，B等级：，C 等级：，D 等级：． 从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分信息缺失）．

请根据所给信息，回答下列问题：

(1)扇形图中，等级所在扇形的圆心角为        ；

(2)此次测试成绩的中位数处在等级        中；（填，、、）

(3)该校决定对等级的学生进行安全再教育，已知是的倍，那么该校六年级名学生中，需接受安全再教育的约有多少人？

23．如图，已知正方形，、分别为边、的中点，与交于点，，垂足为点．

(1)求证：；

(2)连接，求正弦值．

24．在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为．

(1)若抛物线经过点，求抛物线解析式；

(2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标；

(3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值．

25．如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点与点O关于直线对称，射线交半圆O于点D，弦AC交于点E、交于点F．

(1)如图，如果点恰好落在半圆O上，求证：；

(2)如果，求的值；

(3)如果，求的长．

1．D

【分析】

直接利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数即可得出答案．

【详解】

解：的倒数是；

故选：D

【点睛】

本题考查倒数的概念；熟练掌握倒数的求法是解题的关键．

2．B

【分析】

几个二次根式化成最简二次根式后 如果被开方数相同 这几个二次根式叫做同类二次根式.

【详解】

解：A、 与不是同类二次根式；

B、 与是同类二次根式；

C、 与不是同类二次根式；

D、. 与不是同类二次根式；

故选：B.

【点睛】

本题考查了同类二次根式的定义 熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键.

3．C

【分析】

根据一次函数的图象特点即可得．

【详解】

解：∵一次函数y=−2x+3中的k=−2<0 b=3>0

∴它的图象经过第一、二、四象限 不经过第三象限

故选：C．

【点睛】

本题考查了一次函数的图象 熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．

4．A

【分析】

根据一元二次方程根的判别式、二次根式的非负性 以及分式方程的解进行判断即可．

【详解】

A： 方程有两个相等的实根 符合题意；

B： 方程无实根 不符合题意；

C：,∴方程无解 不符合题意；

D： 解得 分式方程的解使分母为0 是原方程的增根 此方程无解 不符合题意．

故答案选：A

【点睛】

本题一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件以及分式方程的定义 掌握相关的定义与计算是解题关键．

5．C

【分析】

根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆的轴对称性对B进行判断；根据圆心角定理对C进行判断；根据垂径定理的推论对D进行判断．

【详解】

A．不共线的三点确定一个圆 故A是假命题；

B．对称是直线 而圆的直径是线段 故B是假命题；

C．弧相等 则弧所对的圆心角相等 故C是真命题；

D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦 故D是假命题．

故选：C．

【点睛】

本题考查了命题、真命题和假命题的概念 任何一个命题非真即假 要说明一个命题的正确性 一般需要推理、论证 而判断一个命题是假命题 只需举出一个反例即可．

6．B

【分析】

连接 根据三角形中位线定理以及中线的性质可得 从而得到 进而得到 继而得到 可得 再由 即可．

【详解】

解：如图 连接

∵点G是的重心

∴点D E分别为的中点

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

即四边形与面积的比值是．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了三角形的重心 相似三角形的判定和性质 三角形中位线定理 熟练掌握三角形的重心 相似三角形的判定和性质 三角形中位线定理是解题的关键．

7．a5

【分析】

分析：根据同底数的幂的乘法 底数不变 指数相加 计算即可．

【详解】

解：a2×a3=a2+3=a5．

故答案为：

【点睛】

熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．

8．a（a﹣3）

【分析】

直接把公因式a提出来即可．

【详解】

解：a2﹣3a=a（a﹣3）．

故答案为a（a﹣3）．

9．.

【详解】

试卷分析：解一元一次不等式组 先求出不等式组中每一个不等式的解集 再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小解不了（无解） 因此

考点：解一元一次不等式组.

10．五

【分析】

根据多边形的外角和等于360°进行解答即可得．

【详解】

解：

故答案为：五．

【点睛】

本题考查了多边形的外角和 解题的关键是熟记多边形的外角和等于360°．

11．

【分析】

让红桃张数除以总张数5即可求得从这5张牌中任取1张牌恰好是红桃的概率．

【详解】

解：因为2张红桃、3张黑桃共5张牌 

所以从中任取1张是红桃的概率是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了用概率公式求概率 解决本题的关键是理解：概率=所求情况数与总情况数之比．

12．

【分析】

先画好的图象 根据题意描出A B两点 根据图象可得答案．

【详解】

解：的图象如图示

当 根据图象可得：

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是反比例函数的图象与性质 熟练的利用数形结合的方法解题是关键．

13．

【分析】

先确定抛物线的顶点坐标为 再利用点平移的规律得到点平移后对应点的坐标为 然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为 把点向左平移1个单位所得对应点的坐标为 所以新抛物线的解析式为．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换 解题关键是熟记求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标 利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标 即可求出解析式．

14．

【分析】

根据矩形的性质得出 根据已知条件得出 根据三角形法则即可求解．

【详解】

解：∵四边形是矩形

∴

∵

∴

∵

∴

故答案为：．

【点睛】

本题考查了矩形的性质 平面向量的线性计算 熟练掌握三角形法则是解题的关键．

15．（答案不唯一）

【分析】

根据相交两圆的半径长分别为和 则 列出不等式即可求解．

【详解】

解：依题意

∴

∴可以是

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d,两圆半径分别为、当两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含．

16．

【分析】

观察图象得：点A的实际意义是两车此时相遇 甲乙两地之间的距离为600千米 再根据两车行驶的路程之和等于600千米 即可求解．

【详解】

解：观察图象得：点A的实际意义是两车此时相遇

甲乙两地之间的距离为600千米

因为私家车的速度是90千米/时 客车的速度是60千米/时

∴

解得

∴点A的坐标是．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了函数图象 明确题意准确从函数图象获取信息是解题的关键．

17．5或11

【分析】

由平行四边形的性质和角平分线的定义证出∠ABE=∠AEB 得出AE=AB=4 同理：DF=CD=4 再分两种情况计算即可．

【详解】

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠CBE

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥CB CD=AB=4

∴∠AEB=∠CBE

∴∠ABE=∠AEB

∴AE=AB=4

同理：DF=CD=4

分两种情况：

①如图1所示：

∵EF=3

∴AD=AE+EF+DF=4+3+4=11；

②如图2所示：

∵EF=4 AE=DF=4

∴AF=1 ∴AD=AF+DF=1+4=5；

综上所述：AD的长为11或5；

故答案为5或11．

【点睛】

此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质 证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．

18．

【分析】

函数的对称轴为设的友好函数是根据二次项系数之和为 图像都经过原点且对称轴相同可列出方程组 解出即可求出．

【详解】

解：函数的对称轴为

设的友好函数是

的友好函数是

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质 解题的关键是读懂“友好对称二次函数”的定义．

19．

【分析】

根据零指数幂 分数指数幂 负整数指数幂 二次根式的混合运算进行计算即可求解．

【详解】

解：

．

【点睛】

本题考查了零指数幂 分数指数幂 负整数指数幂 二次根式的混合运算 熟练掌握以上运算法则是解题的关键．

20．或

【分析】

将原方程组转化为两个二元一次方程组 然后解方程组即可.

【详解】

解：

由②得：

∴或

由①③得

得：

解得：

把代入③得：

∴方程解为；

由①④得

得：

解得：

把代入得：

∴方程解为；

综上所述：原方程解为：或

【点睛】

本题考查了二元二次方程组的解法．把原二元二次方程组降幂 转化为二元一次方程组是解题的关键．

21．(1)1

(2)

【分析】

（1）过点A作于点E 可得四边形是矩形 从而得到 继而得到 再由锐角三角函数 即可求解；

（2）过点A作于点E 可得四边形是矩形 从而得到 设 则  在中 利用勾股定理求出x的值 再根据四边形的面积 即可求解．

【详解】

（1）解：如图 过点A作于点E

∵

∴

∴四边形是矩形

∴

∵

∴

∴；

（2）解：如图 过点A作于点E

∵

∴

∴四边形是矩形

∴

设 则  

在中

∴

解得：

即

四边形的面积．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形 矩形的判定和性质 勾股定理 熟练掌握相关知识点是解题的关键．

22．(1)

(2)

(3)人

【分析】

（1）用乘以即可求解；

（2）根据中位数的定义即可求解；

（3）根据题意求得 然后根据样本估计总体即可求解．

【详解】

（1）解：扇形图中 等级所在扇形的圆心角为

故答案为：．

（2）等级的人数为人 等级的人数为人 频率为

等级的频率为

中位数在等级

故答案为：．

（3）解：总人数为人

∵是的5倍

∴（人）

∴

∴该校六年级名学生中 需接受安全再教育的约有人．

【点睛】

本题考查了频数分布表 中位数的定义 样本估计总体 熟练掌握频数与频率的关系是解题的关键．

23．(1)见解析

(2)

【分析】

（1）证明 进而得出 则 根据平行线分线段成比例即可得证；

（2）根据得出 设 则   在中 进而根据正弦的定义即可求解．

【详解】

（1）证明：∵四边形是正方形

∴

∵、分别为边、的中点

∴

∴

∴

∵,

∴

∴

即

∵

∴

∴

∴；

（2）解：如图所示 连接

∵

又∵

∴

∵

∴

∴

∴

设 则  

在中

∴  

∴

在中

∴．

【点睛】

本题考查了正方形的性质 全等三角形的性质与判定 正切的定义 求角的正弦值 熟练掌握是正方形的性质以及三角函数的定义解题的关键．

24．(1)

(2)

(3)

【分析】

（1）根据一次函数解析式 求得点 代入 即可求解；

（2）过点作轴 垂足为 过点作于点 证明得出 代入抛物线解析式即可求解；

（3）设直线与轴交于点 与轴交于点 过点作 由得出 根据 列方程 解方程即可求解．

【详解】

（1）解：∵直线与轴交于点

当时

∴

若抛物线经过点 则

解得：或（舍去）

∴抛物线解析式为；

（2）∵的顶点为．

∴

如图所示 过点作轴 垂足为 过点作于点

∵旋转

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∵在抛物线上

∴

解得：

∴

（3）解：如图所示 设直线与轴交于点 与轴交于点

由 令 得 则

∴

∴是等腰直角三角形

∵轴

∴是等腰直角三角形

∴ 则

过点作 则是等腰直角三角形 则 则

∴

∵

∴

又

∴

即

∴

解得：或（舍去）

【点睛】

本题考查了二次函数的性质 正切的定义 解一元二次方程 全等三角形的性质与判定 熟练以上知识掌握是解题的关键．

25．(1)见解析

(2)

(3)或．

【分析】

（1）如图：连接 先根据圆的性质和对称的性质说明是等边三角形 然后再说明即可证明结论；

（2）设圆的半径为 则 如图：作于N；先根据对称的性质和等腰三角形的性质可得 然后解直角三角形可得、 最后代入计算即可；

（3）分在半圆O内和圆外两种情况 分别利用面积法解答即可．

【详解】

（1）解：如图：连接

∵点恰好落在半圆O上

∴

∵点与点O关于直线对称

∴,

∴是等边三角形

∴

∴

∴

∴．

（2）解：设圆的半径为 则

如图：作于N

∵

∴

在中 ,

∵

∴

又∵

∴

∴

在中

由轴对称可得： ,

,

∴为等腰直角三角形

∴    

∴．

（3）解：当在半圆O内时  则

由对称性可得：

如图：过F作于N 于M

∴

∴

又∵

即

又∵

∴；

当在半圆O外时 由对称性可得：

如图：作于M 于N

∴

∴

又∵

又∵

∴,即

又∵

∴．

综上 或．

【点睛】

本题主要考查了圆的基本性质、圆周角定理、解直角三角形、对称的性质等知识点 正确作出辅助线是解答本题的关键．