2023年北京房山高三二模数学试题含答案解析

这是一份2023年北京房山高三二模数学试题含答案解析，共11页。

2023 北京房山高三二模数 学
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。

第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A = {x | x ≥ 0}， B = {1，2，3，4，5} ，则


（A） A Í B
B = B
（C） A
（2） 在复平面内，复数 2 + 3i
i
（B） B Í A
B =Æ
（D） A
对应的点位于


（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3） 已知等比数列{an } 的各项均为正数，{an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 = 21 ， S2 = 9 ，则 a1 的值为
（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
（4） 已知正方形 ABCD 的边长为2 ，点 P 满足 AP = 1 ( AB + AC) ，则 AP × AB 的值为
2

2
（A） 2 （B） - 4 （C） 4 （D） 2

（5） 下列函数中，是偶函数且有最小值的是


（A） f (x) = x2 - 2x
（C） f (x) = x sin x
（B） f (x) = |ln x|
（D） f (x) = 2x + 2-x


（6） 已知圆C 的圆心在抛物线 y2 = 4x 上，且此圆C 过定点(1，0) ，则圆C 与直线 x + 1 = 0 的位置关系为
（A） 相切 （B）相交 （C）相离 （D）不能确定
（7） 一个高为 H0 ，满缸水量为V0 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出. 若鱼缸水深为 H 时，鱼缸里的水的体积为V ，则函数V = f (H ) 的大致图象是




（A） （B） （C） （D）

（8） 已知双曲线C 的方程为值范围是
x2 - 2


y
4
= 1 ，点 P ， Q
分别在双曲线的左支和右支上，则直线 PQ
的斜率的取

(-
1 1
（A） ，)
2 2
（C） (-¥，- 1) (1 ，+ ¥)
2 2
（B） (-2，2)

(2，+ ¥)
（D） (-¥，- 2)


ì2x 2 + ax - 3，x ≤1，

í
（9） 已知函数 f (x) = ï
2 则“ a ≤ 0 ”是“ f (x) 在 R 上单调递减”的

ïî2ax 2 + x ，
x > 1.


（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）设集合 A = {(x，y) | x - y ≥ 0，ax + y ≥ 2，x - ay ≤ 2} ，则

（A）当 a = 1 时， (1，1) Ï A
（C）当 a < 0 时， (1，1) Ï A
（B） 对任意实数 a ， (1，1) Î A
（D） 对任意实数 a ， (1，1) Ï A
第二部分（非选择题 共 110 分）



二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）若(2x -1)4 = a x4 + a x3 + a x2 + a x + a ，则a + a + a + a + a


= .

4 3 2 1 0 0 1 2 3 4

（12） 已知角a 终边过点 P(1，2) ，角 b 终边与角a 终边关于 y 轴对称，则tana = ； cos(b - a ) = .
（13） 已知函数 f (x) ，给出两个性质：
① f (x) 在 R 上是增函数；
②对任意 x Î R ， f (x) 1 .

写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式， f (x) .

π
（14） 若函数 f (x) = sin(2x - π)，x Î[0， ] 的图象与直线 y = a 有两个交点，则这两个交点横坐标的和
4 2
为 .

（15） 如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， M 是棱 AA1 上一点，平面 MBD1 与棱
CC1 交于点 N .给出下面几个结论：
①四边形 MBND1 是平行四边形；
②四边形 MBND1 可能是正方形；
③存在平面 MBND1 与直线 BB1 垂直；
④任意平面 MBND1 与平面 ACB1 垂直；
⑤平面 MBND 与平面 ABCD 夹角余弦的最大值为 6 .
1 3

其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
在 △ABC 中， cos 2B =- 1 ， c = 8 ， b = 7 ．
2

（I） 求sin C ；
（II） 若角C 为钝角，求 △ABC 的周长．

（17）（本小题 14 分）
如图，已知直三棱柱 ABC - A1 B1C1 中， AB = AC = 2 ， D 为 BC 中点， AA1 = 2 ，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：
（I） 证明： AB1 ^ BC1 ；
（II） 求直线 BC1 与平面 A1 B1 D 所成角的正弦值.条件①： B1D ^ BC1 ；
2
条件②： BC = 2 .

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

（18）（本小题 13 分）
2021 年 3 月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中
学生人数
睡眠时间（时）
睡眠时间（时）
学生人数
生每天睡眠时间应达到8 小时. 某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各 40 名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.
（高一） （高二）
（I） 从该校高一年级学生中随机抽取1 人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于8 小时的概率；
（II） 从该校高二年级学生中随机抽取2 人，这2 人中平均每天的睡眠时间为8 小时或
8.5 小时的人数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望 E( X ) ；
（III） 从该校高一年级学生中任取1 人，其平均每天的睡眠时间记为Y1 ，从该校高二年级学生中任取1 人，其平均每天的睡眠时间记为Y2 ，试比较方差 D(Y1 ) 与 D(Y2 ) 的大小.（只需写出结论）

（19）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = sin x .
x
（I） 求曲线 y = f (x) 在 x = π 处的切线方程；
（II） 当 x Î (0，π] 时，求函数 f (x) 的最小值；
（III） 证明： sin 1 > 1 .
3 π
（20）（本小题 15 分）
x2 y2

3
已知椭圆 E : a2 + b2
= 1(a > b > 0) 的一个顶点为(0，1) ，焦距为2
. 椭圆 E 的左、右顶点分别为 A，B ，


P 为椭圆 E 上异于 A，B 的动点， PB 交直线 x = 4 于点T ， AT 与椭圆 E 的另一个交点为Q ．
（I） 求椭圆 E 的标准方程；
（II） 直线 PQ 是否过 x 轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由.

（21）（本小题 15 分）


若 项 数 为
k (k Î N *，k ≥ 3)
的 有 穷 数 列 {an }
满 足 ：
0≤ a1 < a2 < a3 < × × × < ak
， 且 对 任 意 的


i ，j (1≤ i ≤ j ≤ k ) ， a j + ai 或 a j - ai 是数列{an } 中的项，则称数列{an } 具有性质 P ．
（I） 判断数列0,1,2 是否具有性质 P ，并说明理由；
（II） 设数列{an } 具有性质 P ， ai (i = 1，2， ，k ) 是{an } 中的任意一项，证明： ak - ai 一定是{an } 中的项；
（III） 若数列{an } 具有性质 P ，证明：当 k ≥ 5 时，数列{an } 是等差数列.

参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）B （2）D （3）C （4）C （5）D
（6）A （7）B （8）A （9）B （10）C
二、填空题(（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）

（11）1 （12） 2 ； 3
5
（13） ex + 1 (答案不唯一)

（14） 3π
4
（15） ①④⑤

三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）解：（Ⅰ）
方法一：（使用二倍角公式）
在△ABC中，因为cos 2B = - 1 ，所以1 - 2sin2 B = - 1 .
2 2
因为0 < B < π， sin B > 0，所以sin B = 3 .
2

由 b
sin B
= c ，
sin C

得 7 =
3
2
8


sin C
，解得sin C = 4 3 .
7

方法二：（使用特殊角）
在△ABC中，因为c > b，所以C > B. 所以0 < B < π， 0 < 2B < π.
2
因为cos 2B = - 1 ，所以2B = 2π ,B = π，所以sin B = 3 .

2 3 3 2
（以下同方法一）
1 -（4 3 ）2
7
（Ⅱ） 方法一： (使用角C 余弦定理)

因为sin2 C + cos2 C = 1， C为钝角， 所以cos C = -


= - 1 .
7

由c2 = a2 + b2 - 2ab cos C 得82 = a2 + 72 - 2a × 7（× 1 .
- ）
7
整理得 a2 + 2a - 15 = 0 ，解得 a = 3或a = -（5 舍），所以a = 3 .
所以△ABC 的周长为 a + b + c = 3 + 7 + 8 = 18 .
方法二：(使用角 B 余弦定理)
在△ABC中，因为cos 2B = - 1 ，所以2 cos2 B -1 = - 1 ， cos B = 1 .
2 2 2
由b2 = a2 + c2 - 2ac cos B，得72 = a2 + 82 - 2a × 8 × 1 .
2
整理得 a2 - 8a + 15 = 0 ，解得 a = 5或a = 3 .
b 2 + a 2 - c 2 72 + 32 - 82
当 a = 3 时， cos C = = < 0 . 角C 为钝角.

2ab
72 + 52 - 82
2ab

72 + 82 - 52

当 a = 5 时， cos C = > 0 . cos A = > 0 不符合题意.
2ab 2ab
所以 a = 3 ， △ABC 的周长为 a + b + c = 3 + 7 + 8 = 18 .
（17）（本小题 14 分）
2
选条件②： BC = 2 .

（I） 证明：
2
在△ABC中，AB = AC = 2，BC = 2
\ BC 2 = AB2 + AC 2.
\ÐBAC = 90 ，即AB ^ AC.

在直三棱柱ABC - A1B1C1中
\ AA1 ^ AB ， AA1 ^ AC.
侧棱AA1 ^ 底面ABC

以点 A 为原点，分别以 AC，AB，AA1 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则
B（0，2，0) ， C（1 2，0，2) ， B1 (0，2，2) .
\ AB1 = (0，2，2) ， BC1 = (2，- 2，2) .
\ AB1 × BC1 = 0 × 2 + 2 × (-2) + 2 × 2 = 0 .
\ AB1 ^ BC1.
（II） B1 (0，2，2) ， C（1 2，0，2) ， A1 (0，0，2) ， D(1，1，0) ， B(0，2，0)
\ A1 B1 = (0，2，0) ， A1D = (1，1，- 2) ， BC1 = (2，- 2，2) .
ìï n × A1B1 = 2 y = 0，
设平面 A1 B1 D 的法向量为 n = (x，y，z) ，则í
ïîn × A1D = x + y - 2z = 0.

令 z =1 得， n = (2，0，1) .
BC , n > = |BC1 × n| =
1
n × BC1
6
5 × 2 3
直线BC1与平面A1B1D所成角q 的正弦值为:
sinq = cos <

若选择条件①: B1D ^ BC1 .


= 15
.
5

（I） 证明： 连结AD . 在直三棱柱ABC - A1B1C1中
\CC1 ^ AD .
在△ABC中，AB = AC，D为BC中点，
\ BC ^ AD .
又BC CC1 = C ，
\ AD ^ 平面BB1C1C .
又BC1 Ì 平面BB1C1C ，
\ AD ^ BC1 .
由①B1D ^ BC1 ，AD B1D = D ，
\ BC1 ^ 平面AB1D .
AB1 Ì 平面AB1D ，
\ AB1 ^ BC1 .
CC1 ^ 底面ABC
AD Ì 面ABC ，


（Ⅱ）
（方法一）在Rt△BB D 中，由 B D ^ BC ，得 B B2 = BO × BC
1 1 1 1 1
3
又 BO = 1 BC ，所以 BC = 2 ， BC=B C =2 2 .

3 1 1 1 1
（方法二）由 B1D ^ BC1 ，得ÐB1 DB =ÐC1 BB1 ，
△DBB ∽△BB C ，得 DB = BB1 .


1 1 1

1
BB1 B1C1

又 DB= 2 B1C1 ，所以 BC1 = 2
， BC=B1C1 =2 2 .

3
（方法三） 设B1D BC1 = O，BD = x ，

\OB = 1 BC = 1 (2x）2 + 22，OB

= 2 B D = 2

x2 + 22 .

3 1 3
1 3 1 3

在Rt△OBB 中，B B2 = OB2 + OB2 ， 22 = 1 (4x2 + 22 ) + 4 (x2 + 22 ) .

1 1 1 9 9
2
2
解得 x = .\ BC = 2 .
（以下同选择条件②）

（18）（本小题 13 分）
（I） 记事件 A 为“从该校高一学生中随机抽取1 人，该生平均每天的睡眠时间不少于8 小时”，样本中高一学生人数为： 3 + 16 + 14 + 7 = 40 ，其中平均每天的睡眠时间不少于 8 小时的人数为 37 ， 则：
P( A) = 37 .
40
（II） 从高二年级学生中随机抽取 1 人，其平均每天的睡眠时间为 8 小时或 8.5 小时的概率为
P = 16 + 14 = 3 .
40 4
X 的可能取值为0，1，2.

P( X = 0) =
0 3 0
1 2 = 1 ；
P( X = 1) =
1 3 1
1 1 =
6 = 3；

C2 ( 4) ( 4) 16
P( X = 2) = C3 ( 3)2 (1)0 = 9 .

C2 ( 4) ( 4)


16 8

2

X 的分布列为
4 4 16



X
0
1
2
P
1
3
9
16
8
16

E( X ) = 0 ´ 1 + 1´ 3 + 2 ´ 9 = 3 .
16 8 16 2
（III） D(Y1) = D(Y2 ) .
（19）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ） f '(x) = (sin x)' x - (sin x)x ' = cos x × x - sin x .
x 2 x 2
所以 f '(π) =- 1 .斜率为k = - 1 .
π π

f (π) = sin π = 0 ，切点为(π，0) .
π
所以， f (x) 在点 x = π 处切线的方程为

y = - 1 x + 1 .
π

（II） 当 x Î (0，π] 时， f (x) = sin x ， f '(x) = cos x × x - sin x .

x x 2
令 g(x) = cos x × x - sin x ，
则 g '(x) = (cos x) '× x + cos x × x '- cos x = -sin x × x .
当 x Î (0，π) 时， g '(x) < 0 ，所以 g(x) 在(0，π) 单调递减.所以 g(x) < g(0) = 0 .
所以 f '(x) < 0 .函数 f (x) 在(0，π) 上单调递减.函数 f (x) 在(0，π] 上单调递减.
所以 f (x) ≥ f (π) = 0 ，即函数 f (x) 的最小值为0 .
（III） 证明：由（Ⅱ）可知 f (x) 在(0，π) 上单调递减.
又因为0 < 1 < π < π，
3 6
>
1 π
所以 f ( ) f ( ) .
3 6

sin 1 sin π
所以 3 > 6 ，即sin 1 > 1 .

1 π


3 6
（20）（本小题 15 分）

3 π


3
ì 2c = 2 ，

í
í
（Ⅰ）解：由题意可得： ï b = 1 ， 解得ìïa = 2 ，

î
ïïa2 = b2 + c2 .
îï c = 3.

所以椭圆 E 的标准方程为
x2 + 2


y
4
= 1 .

（Ⅱ）设 P (x1 ，y1 )，Q (x2 ，y2 ) ， T (4，m) ，由题可知， A（ - 2，0），B（2，0）
则直线 PB 的方程为 y = m (x - 2) .
2
ì y = m (x - 2)，

ï 2 2 2 2 2

x2
由í
ï
ï + y2 = 1，
î 4
整理得（1 + m ）x
- 4m x + 4m
- 4 = 0 .

则 2x1 =
4m2 - 4


1 + m2
，即 x1 =
2m2 - 2
1 + m2 .

2m 2m2 - 2 2m

则 y1 =-
1 +
m2 ， P( 1 + m2
，- ) .
1 + m2

K = K
= m - 0
= m，


AQ AT
4 - (-2) 6

直线 AT 的方程为 y = m (x + 2) .
6
ì y = m (x + 2) ，

ï 6 2 2 2 2

x2
由í
ï
ï + y2 = 1 ，
î 4
整理得（9 + m ）x
+ 4m x + 4m
- 36 = 0 .

则-2x2 =
4m2 - 36


9 + m2
，即 x2 =
-2m2 + 18 9 + m2 .

18 - 2m2 6m

得Q(
9 + m2
， ) .
2
9 + m

18 - 2m2
当
9 + m2
= 2m2 - 2 1 + m2
，即 m2 = 3 时，

直线 PQ 方程为 x = 1 ，直线 PQ 过点(1，0) .

18 - 2m2
当
9 + m2
¹ 2m2 - 2 1 + m2
时，即 m2 ¹ 3 时，

+
6m 2m
2 2 -
\ K = 9 + m 1 + m = 2m .

PQ 18 - 2m2
9 + m2
- 2m2 - 2 1 + m2

m2 - 3

所以直线 PQ 方程为 y + 2m =
-2m
(x -
2m2 - 2
) ，


1 + m2 m2 - 3 1 + m2

即 y = -
2m m2 - 3
(x -1) ，此时直线 PQ 过定点(1，0) .

综上，直线 PQ 过 x 轴上定点(1，0) .
（2）方法二：
①当直线 PQ 斜率不存在时，设直线 PQ 为 x = t(t ¹ ±2) .

设 P（t, y0），Q（t, - y0）， A（ - 2，0），B（2，0），

直线 PB 方程为 y =
y0 (x - 2) .
t - 2

令 x = 4 ，得 y = 2 y0 .
t - 2

\T (4
2 y
0
， ) .
t - 2

\ AT = (6 2 y0 )， AQ = (t + 2，- y ) .
，
t - 2 0
因为 A，T，Q 三点共线，

所以
+ 2 2 y0
+ 6 y
= 0 .


\ +
é（2 t + 2） ù
6 y


= 0 .
）
AT ∥ AQ，（t
t - 2 0

êë t - 2 úû 0
因为 y0 ¹ 0，所以t = 1 .
此时直线 PQ 方程为 x = 1 ，直线 PQ 过点（1，0）.
②当直线 PQ 斜率存在时，
设 P（x1 ，y1），Q（x2 ，y2）， T（4，m），由题可知， A（ - 2，0），B（2，0）
则直线 PB 的方程为 y = m (x - 2) .
2
ì y = m (x - 2)，

ï 2 2 2 2 2

x2
由í
ï
ï + y2 = 1.
î 4
整理得（1 + m ）x
- 4m x + 4m
- 4 = 0 .

则 2x1 =
4m2 - 4


1 + m2
，即 x1 =
2m2 - 2
1 + m2 .

2m 2m2 - 2 2m

则 y1 =-
1 +
m2 ， P( 1 + m2
, - ) .
1 + m2

K = K
= m - 0
= m，

AQ AT

4 - (-2) 6

直线 AT 的方程为 y = m (x + 2) .
6
ì y = m (x + 2)，

ï 6 2 2 2 2

x2
由í
ï
ï + y2 = 1.
î 4
整理得（9 + m ）x
+ 4m x + 4m
- 36 = 0

则-2x2 =
4m2 - 36


9 + m2
，即 x2 =
-2m2 + 18
，
9 + m2

18 - 2m2 6m

得Q(
9 + m2
， ) ，
2
9 + m

+
6m 2m
2 2 -
\ K = 9 + m 1 + m = 2m .

PQ 18 - 2m2
9 + m2
- 2m2 - 2 1 + m2

m2 - 3

所以直线 PQ 方程为 y + 2m =

-2m
(x -
2m2 - 2
) .

1 + m2 m2 - 3 1 + m2
当 x = 1 时 y = 0 ，此时直线 PQ 过定点（1，0）.综上，直线 PQ 过 x 轴上定点（1，0）.
（21）（本题满分 15 分）

解：
（I） 数列0，1，2 具有性质 P ．
因为0 - 0，1 - 0，2 - 0，1 -1，2 -1，2 - 2 ，均是数列0，1，2 中的项，所以数列0，1，2 具有性质 P ．
（II） 证明：设数列{an } 所有的项组成集合 M .
1. 因为 ak > 0 ，所以 ak + ak > ak ， ak + ak Ï M ，
所以 ak - ak Î M ，即 0 Î M .所以 a1 = 0 ， ak - a1 Î M .
2. 当2 ≤ i ≤ k ，因为 ai > 0 ，所以 ak + ai Ï M ， ak - ai Î M ．
（III） 因为0 = ak - ak < ak - ak -1 < ak - ak -2 < × × × < ak - a2 < ak - a1 = ak ．且0 ≤ a1 < a2 < a3 < × × × < ak -1 < ak ，
所以 ak - ak = a1 ， ak - ak -1 = a2 ， ak - ak -2 = a3 ，…， ak - a2 = ak -1 ， ak - a1 = ak ，
即 ak - ak-i = ai+1 (1≤i ≤ k - 1) ． ①
当3≤ i ≤ k - 2 时，则 ak -1 + ai > ak -1 + a2 = ak ，所以 ak -1 + ai Ï M ，得 ak -1 - ai Î M ．由0 = ak -1 - ak -1 < ak -1 - ak -2 < × × × < ak -1 - a3 < ak - a3 = ak -2
及0 ≤ a1 < a2 < a3 < × × × < ak -3 < ak -2 ，
可得 ak -1 - ak -1 = a1 ， ak -1 - ak -2 = a2 ， ak -1 - ak -3 = a3 ，…， ak -1 - a3 = ak -3 ．

所以 ak -1 - ak -i = ai
(1≤i ≤ k - 3) ．

因为 k ≥ 5 ， ak -1 - ak -1 = a1 ，且
ak -1 - ak -2 = a2 ，

所以 ak -1 - a1 = ak -1 ，且 ak -1 - a2 = ak -2 ，

所以 ak -1 - ak -i = ai
(1≤i ≤ k - 1) ． ②

① ②两式相减得 ak - ak-1 = ai+1 - ai (1≤i ≤ k - 1) .
所以，当 k ≥ 5 时， a1 ，a2 ，a3 ，×××，ak 是等差数列．