2023届高三数学知识清单（完整版）

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高三年级知识清单
数学





一平面截正方体所得图形

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目录
必修模块 1
第一章集合与常用逻辑用语 1
一.子集 1
二．含有一个量词的命题的否定 1
第二章一元二次函数、方程和不等式 1
第三章函数的概念和性质 1
一.奇函数与偶函数的性质 1
二.函数的对称性 1
1.常用结论 1
2.函数图象的对称与周期关系常见结论 2
三．函数的周期性 2
第四章指数函数与对数函数 2
一.指数与指数函数 2
二．对数与对数函数 2
三.函数的零点 2
第五章三角函数 2
一.扇形 2
二.三角函数的概念 3
三.同角三角函数的基本关系 3
四.两角和与差的正弦、余弦、正切 3
五.二倍角的正弦、余弦、正切 3
六.降幂公式 3
七.辅助角公式： 3
八.诱导公式在△ABC中的应用 3
九.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 4
第六章平面向量及其应用 4
一、向量的定义及表示 4
二、平面向量数量积的性质及其坐标表示 4
三.向量共线定理 5
四．向量夹角的判断 5
五．正余弦定理及其变形 5
1.正弦定理 5
2.余弦定理 5
六.三角形面积公式 5
七.解三角形所涉及的其他知识. 5
1.正三角形 5
2.判断三角形形状 6
第八章立体几何初步 6
一.空间几何体的直观图 6
1.斜二测画法的步骤 6
2.原图与直观图的关系 6
二.简单几何体的表面积与体积 6
1.旋转体的表面积 6
2.柱体、锥体、台体的体积公式 7
三.球的切、接问题（常见结论） 7
四、空间点、直线、平面之间的位置关系 8
1、三个基本事实： 8
2、基本事实1和基本事实2的三个推论 8
3、空间中直线与直线之间的位置关系 8
4、空间中直线与平面的位置关系 8
5、空间中平面与平面之间的位置关系 8
6、空间中的平行问题 9
7、空间中的垂直问题 9
第九章 统计 10
一、四数三差 10
选择性必修模块 11
第一章 空间向量与立体几何 11
一、 共面向量 11
二、空间向量 11
三、空间向量求角 11
四、空间向量求距离 12
第二章 直线与圆知识梳理 12
一、直线方程（知识梳理） 12
1.直线的平行与垂直 12
2.三个距离公式 12
3.解决过定点问题常用的三种方法 12
4.直线系方程 13
二．圆的方程 13
1.圆的方程 13
2.直线与圆 13
3.圆与圆的位置关系 13
4.与圆的代数结构有关的最值问题 14
5.其它结论 14
三.圆的切线方程常用结论 14
1.点与切线 14
2.圆系方程 14
第三章 圆锥曲线的方程 15
一、椭圆知识梳理 15
二、双曲线（知识梳理） 16
三、抛物线（知识点梳理） 17
第四章 数列 19
一.基础知识梳理 19
二.求通项的方法 20
1.公式法 20
2.知与的关系 20
3.累加法： 适用于： 20
4.累乘法： 20
5.形如型的递推式： 21
6.分式型 21
三.求和的方法 21
1.公式法： 21
2.倒序相加法： 21
2.分组转化法 21
3.裂项相消法 22
（1）等差型 22
（2）根式型 22
（3）指数型 22
（5）对数型 22
（6）幂型 22
4.错位相减法 23
第五章 一元函数的导数及其应用 23
一．导数定义： 23
二．导数的几何意义 23
三．常见函数的导数公式: 23
四．导数的四则运算和复合函数的求导法则： 23
五．导数的应用： 24
1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导， 24
2.利用导数求极值： 24
3.利用导数求最值：比较端点值和极值 24
六．导函数与原函数的一些常见关系 24
七.证明不等式 25
八.不等式恒（能）成立问题 25
（1）能分离参数时求参数取值范围的方法： 25
（2）不能分离参数或分离参数后不能求最值—最值转化法 25
（3）含全称、存在量词不等式恒成立问题的解题方法 25
九.常见的构造函数方法有如下几种： 25
(1)利用和、差函数求导法则构造函数 25
(2)利用积、商函数求导法则构造函数 25
(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数 26
第六章 计数原理 26
1.排列数公式： 26
2.排列应用问题的主要方法 26
3.组合数公式： 26
4.组合数性质 26
5.阶乘 26

三． 二项式定理 27
1．二项式定理 27
2．二项式系数的性质 27
3．赋值法 27
第七章 随机变量及其分布 27
1．条件概率的定义 27
2.概率乘法公式 28
3.全概率公式 28
4.离散型随机变量的分布列及其性质 28
5.离散型随机变量的均值与方差 28
6.三种分布（二项分布、超几何分布、正态分布） 28
第八章 成对数据的统计分析 29
1. 样本相关系数 29
2.独立性检验 30
3.一元线性回归模型 30
4.残差与残差分析 30











必修模块
第一章集合与常用逻辑用语
一.子集： 若一个集合含有n个元素，则子集个数为2n个，非空子集个数为（2n-1）个，非空真子集个数为（2n-2）个。
数 集
自然数集 N
正整数集N*(或N＋)
整数集Z
有理数集Q
实数集R

二．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
第二章一元二次函数、方程和不等式
第三章函数的概念和性质
一.奇函数与偶函数的性质
（1） 奇函数与偶函数的定义域一定关于原点对称；
（2） 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；反之亦成立；
（3） 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 相反。
（4） 若奇函数的定义域内包含0，则f(0)= 0
（5） 奇函数的最大值与最小值之和等于0
（6） 若f(x)是偶函数，则
（7） 若函数f(x)的解析式是整式，则奇函数的解析式中没有偶次项 （奇中无偶）；偶函数的解析式中没有奇次项（偶中无奇）
（8）奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数
【注】利用奇偶性求函数解析式的思路：若已知f(x)的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[-b，-a]上的解析式：①设-x∈[a，b]，则x∈[-b，-a]；②将-x代入已知区间[a，b]上的解析式中得f(-x)；根据函数的奇偶性与f(x)、f(-x)的关系求出f(x).
二.函数的对称性
1.常用结论
①若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
③若函数y=f(x+a)是奇函数,即f(-x+a)=-f(x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
„若函数f(-x+a)+f(x+a)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.
2.函数图象的对称与周期关系常见结论
①若函数y=f(x)的两条对称轴方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|;
②若函数y=f(x)的两个对称中心分别为(a,0), (b,0),则函数的一个周期为T =2|a-b|;
③若函数y=f(x)的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4|a-b|.
三．函数的周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
（2）周期性的常用结论
设函数y=f(x),x∈R,a>0.
①若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a. ②若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.
③若f(x+a)=1f(x),则函数的一个周期为2a. ④若f(x+a)=-1f(x),则函数的一个周期为2a.
第四章指数函数与对数函数
一.指数与指数函数
1．正数的分数指数幂:amn＝nam(a＞0，m，n∈N×，n＞1)
2.运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q
二．对数与对数函数
（1）运算性质①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)
（2）换底公式logab＝logcblogca(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)
三.函数的零点
1.概念：对于函数y=f(x)（x∈D），把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y= f(x)（x∈D）的零点。
2.函数零点的意义：
方程f(x)=0有实根 ⇔ 函数y= f(x)的图像与x轴有交点 ⇔ 函数y= f(x)有零点
3.函数零点的求法：
代数法：求方程f(x)=0的实数根
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y= f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
第五章三角函数
一.扇形
弧长公式和扇形面积公式：弧长:l=αR ； 扇形的面积：S=12lR=12αR2
其中R 是扇形的半径，α（0b>0)
图形


顶点


轴
长轴为2a ，短轴为2b
焦点


离心率
（离心率越大，椭圆越扁）
通径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段,最短的焦点弦
焦点三角形
面积：若,则，当 最大时，即为短轴端点时面积最大

周长：L= 2a+2c
三边：（1）

（2）

a+c, a-c.
焦点弦长
（为直线的倾斜角）

中点弦
点差法：, （焦点在x轴上）
周角定理
点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为0，则（焦在X）


椭圆焦半径
，，
巧设方程
1.共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为 ：
。
2.与椭圆共离心率的椭圆方程可设为：
其它：1.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
2.若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则.
3.若过焦点F的直线与椭圆相交与点A,B，且 ,则有 或； （为通径）

二、双曲线（知识梳理）
双曲线
（符号表示）：
x
O
F1
P
B2
B1
F2
的关系：.
标准方程
x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)
图形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1


顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴为2a，虚轴轴为2b
离心率
（离心率越大，开口越大）
渐近线
，焦点到渐近线距离为b.
，焦点到渐近线距离为b.
通径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段），最短的焦点弦
焦点三角形
面积：若,则

周长：，
焦点弦长
（为直线的倾斜角）

中点弦
点差法：,
周角定理
点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为0，则（焦在X）

等轴双曲线
当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；
巧设方程
1.若渐近线方程为双曲线可设为(也是共离心率和共淅近线方程）
（，焦点在x轴上； ，焦点在y轴上）
2.与双曲线共焦点的双曲线系方程是
焦半径公式
PF1=ex0+a，PF2=ex0−a
其它：(1)过双曲线上一点的切线: ： 斜率为。
（2）若过焦点F的直线与椭圆相交与点A,B，则 （为通径）

三、抛物线（知识点梳理）
方程
()
()
()
()
图形
x
O
F
P
y


O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点




准线




焦半径




焦点弦








二级结论
若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线的焦点,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),弦中点为M(x0,y0),则:
(1)x1x2= p24 ，y1y2= -p2 ， 1|AF|+1|BF|为定值2p.
(2)|AB|=2psin2θ(θ为弦AB的倾斜角).S△AOB=p22sinθ(θ为弦AB的倾斜角).
(3)|AB|=x1+x2+p,因为x1+x2≥2x1x2=p,所以当x1=x2时,|AB|取得最小值,最小值为2p,此时弦AB垂直于x轴,所以抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短.
(4)以AB为直径的圆与准线相切.
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直,且交点在准线上..
（7）阿基米德三角形：过抛物线上两点A（x1，y1）B（x2，y2）
作抛物线的切线，交点为P，则△ABC称为抛物线的阿基米德三角形。其中，AB称为阿基米德三角形的底边，P为该阿基米德三角形的顶点。则有性质
（1）切线PA与PB的交点P的坐标为（y1y22p，y1+y22）；
（2）Q为AB中点，则直线PQ平行或重合X轴；















第四章 数列
一.基础知识梳理

等差数列
等比数列
定义
(为常数,)

递推
公式


通项
公式
或
（）或
中项
成等差数列的充要条件：
成等比数列的充要条件：
前n
项和
；


重
要
性
质
①
②等和性：若（、、、），则
③若（、、），则．
④构成等差数列.
①
②等积性：若（、、、），
则
③若（、、），则
④构成的数列是等比数列.
单
调
性：
设d为等差数列的公差，则
d>0是递增数列；
d0,则 (1)
(2)如果B和C是两个互斥事件,则
(3)设和B互为对立事件,则.
2.概率乘法公式：
由条件概率的定义，任意两个事件A与B ,若P(A)>0，则,我们称上式为概率的乘法公式.当事件A与B相互独立时，
概率的加法公式：任意两个事件A与B ，，
当事件A与B互斥时，，
当事件A与B对立时
3.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件B⊆Ω，有，称该公式为全概率公式．
4.离散型随机变量的分布列及其性质
(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)分布列的性质:(1) (2)
5.离散型随机变量的均值与方差
(1)随机变量X的均值或数学期望:.若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)随机变量X的方差: ，若Y＝aX＋b，其中a，b是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有D(aX＋b)＝
6.三种分布（二项分布、超几何分布、正态分布）
（1）若X服从两点分布，则．
（2）重伯努利试验：在相同的条件下重复进行次，各次实验间互不影响，每次实验只有两种结果，要么发生，要么不发生，任何一次实验中发生的概率都是一样的
二项分布： 则
定义：在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：


0
1
…

…




…

…

（3）超几何分布(不放回抽样)：
件产品中含件次品，任意抽取件，期中恰有件次品的概率
k=m,m+1,...,r
设 则 ，
（4）正态分布 ，则
正态曲线的特点：
①非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
②定值性：曲线与x轴之间的面积为1.
③对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
⑤位置：当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
⑥体型：当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
原则：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
第八章 成对数据的统计分析
1. 样本相关系数

样本相关系数r的取值范围为．
‚当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
ƒ当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
注意点：当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系．
‚当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系．
2.独立性检验
解决实际问题的主要环节：
（1）零假设（或原假设）：两个分类变量独立；
（2） 2×2列联表：

y1
y2
合计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c+d
合计
a+c
b＋d
a+b +c+d
(3)公式：χ2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d.
(4)查表（题目中会给出）：常用临界值表如下：

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（5）基于小概率值的检验规则是：
当时，我们推断不成立，即认为不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，即可以认为独立.

3.一元线性回归模型
回归直线方程必过样本点的中心（x，y）
将称为Y关于x的线性回归方程其中
4.残差与残差分析
（1）残差：对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的 称为预测值,观测值减去预测值称为残差，即 .
（2）残差平方和法
残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差.
(3)利用刻画回归效果
决定系数R是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，代表解释变量客户预报变量的能力.，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差。