备战2023年高考数学考前[必记知识][必会结论][易错剖析]大全word版

这是一份备战2023年高考数学考前[必记知识][必会结论][易错剖析]大全word版，共28页。
重温基础，高考“七分靠实力，三分靠心态”
——备战2023年高考数学考前[必记知识][必会结论][易错剖析]
良好的心态是稳定发挥乃至超常发挥的前提．考前这几天，最明智的做法就是回归基础，巩固基础知识和基本能力；最有效的心态调节方法就是每天练一组基础小题——做到保温训练手不凉，每天温故一组基础知识——做到胸中有粮心不慌．
一　集合与常用逻辑用语
『必记知识』
1．集合
(1)集合的运算性质
①A∪B＝A⇔B⊆A； ②A∩B＝B⇔B⊆A； ③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，
2n－1，2n－2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
数 集
自然数集 N
正整数集N*(或N＋)
整数集Z
有理数集Q
实数集R

2．含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所述：
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，¬p(x)
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)
[提醒]　由于全称量词命题经常省略量词，因此，在写这类命题的否定时，应先确定其中的全称量词，再改写量词和否定结论．
3．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称量词命题
真
所有对象使命题真
否定命题为假
假
存在一个对象使命题假
否定命题为真
存在量词命题
真
存在一个对象使命题真
否定命题为假
假
所有对象使命题假
否定命题为真
『必会结论』
1．集合运算的重要结论
(1)A∩B⊆A，A∩B⊆B；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
2．一些常见词语的否定
正面词语
否定

正面词语
否定

正面
词语
否定
等于
(＝)
不等于
(≠)

是
不是

任意的
存在一个
大于
(>)
不大于(小
于或等于，
即“≤”)

都是
不都是(至
少有一个
不是)

所有的
存在一个
小于
(0时，a≥ a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b≥b，当且仅当a＝b时等号成立．其中称 a2+b22为平方平均数、称a+b2为算术平均数、称ab为几何平均数、称21a+1b为调和平均数，它们分别包含了两个正数的平方之和a2＋b2、两个正数之和a＋b、两个正数之积ab、两个正数的倒数之和1a+1b，只要已知这四个代数式的其中一个为定值，就可以求解另外三式的最值，应用十分广泛，应加以重视．




易错快攻二　解含参数的不等式时分类不当致误
[典例2]　已知函数f(x)＝ax2－x＋a.
(1)若∀x>0，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)已知实数a∈R，解关于x的不等式f(x)≥0.
[听课笔记]










　解含参数的不等式时应注意的问题：(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集，不要忽略二次项系数为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论，若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类时要做到不重不漏；(3)不同参数范围的解集不能取并集，应分类表述．

三　函数、导数
『必记知识』
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为4ac−b24a，+∞，当a0⇔fx1−fx2x1−x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]0，且a≠1)恒过(1，0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝loga x在(0，＋∞)上单调递增；
当00且4(b2－3ac)≤0.
『易错剖析』
易错点1　函数的单调区间理解不准确
【突破点】　对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．
易错点2　判断函数的奇偶性时忽略定义域
【突破点】　一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．
易错点3　用判别式求函数值域，忽视判别式存在的前提
【突破点】　 (1)确保二次项前的系数不等于零．
(2)确认函数的定义域没有其他限制．
(3)注意检验答案区间端点是否符合要求．
易错点4　函数零点定理使用不当
【突破点】　只有函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)0时，不能否定函数y＝f(x)在(a，b)内有零点．
易错点5　不清楚导数与极值的关系
【突破点】　 (1)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号．
(2)已知极值点求参数要进行检验．


易错点6　混淆“切点”致误
【突破点】　注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．
易错点7　导数与单调性的关系理解不准确
【突破点】　(1)f′(x)>0(0，若关于x的方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－23－2，23－2) B．23−2，32 C．32，+∞ D．(23－2，＋∞)
[听课笔记]








　(1)F(g(x))＝0的根的个数问题的解题关键是正确转化所给条件，其转化思路为：先进行整体换元，将F(g(x))＝0转化为方程F(t)＝0(t＝g(x))的根的个数问题，然后转化为t＝g(x)的根的个数问题，再转化为y＝t与y＝g(x)的图象的交点个数问题．
(2)“以形助数”是研究函数问题时常采用的策略，本题在作函数f(x)的图象时，要注意指数函数3x>0.
(3)由关于t的一元二次方程的实根分布情况得到关于a的不等式组是求解本题的一个关键点，注意一元二次方程的实根分布问题一般需要从一元二次方程根的判别式，对应二次函数在区间端点所取值的正负，对应二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系三方面考虑．
易错快攻二　混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”
[典例2]　设函数f(x)＝3x2+axex(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
[听课笔记]








　(1)已知函数的单调性求参数的取值范围问题的常用解法有两种：一种是子区间法，即利用集合思想求解；另一种是恒成立法，即若函数f(x)在区间D上单调递减，则f′(x)≤0在区间D上恒成立(且不恒等于0)．若函数f(x)在区间D上单调递增，则f′(x)≥0在区间D上恒成立(且不恒等于0)．
(2)求函数f(x)的单调递减区间的方法是解不等式f′(x)0)的图象的两种方法

[提醒]　图象变换的实质是点的坐标的变换，所以三角函数图象的伸缩、平移变换可以利用两个函数图象上的特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取离y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点左侧或右侧的第一个对称中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的单位与方向等．
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β
cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
tan (α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.
sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．
cos(α＋β)cos (α－β)＝cos2α－sin2β.
5．二倍角、辅助角及半角公式
(1)二倍角公式
sin2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝2tanα1−tan2α.
①1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2.
②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.
(2)辅助角公式
y＝a sin x＋b cos x＝a2+b2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a2+b2sin (x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝ba(a≠0)确定．
6．正、余弦定理及其变形
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA＝bsinB＝csinC＝2R
a2＝b2＋c2－2bc cos A；
b2＝a2＋c2－2ac cos B；
c2＝a2＋b2－2ab cos C
变形
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A；
(5)a+b+csinA+sinB+sinC＝asinA＝2R
cos A＝b2+c2−a22bc；
cos B＝c2+a2−b22ac；
cos C＝a2+b2−c22ab
[提醒]　在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．
7．平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝a·a
|a|＝x12+y12
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cos θ＝a·bab
cos θ＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|
的关系
|a·b|≤|a||b|
(当且仅当a∥b时等号成立)　　　　　　
x1x2+y1y2≤x12+y12·x22+y22
[提醒]　
(1)要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．
(2)a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；a·b0)或向右(φ0，那么数列{logaan}(a>1且a≠1)必成等差数列．
(3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数列；数列{an}是常数列仅是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件．
(4)如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数．
(5)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，从而分析构成什么样的新数列．
『必会结论』
1．判断数列单调性的方法
(1)作差比较法：an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an0时，则an+1an>1⇔数列{an}是递增数列；00，b＞0)
y2a2−x2b2＝1(a>0，b＞0)
图形


几
何
性
质
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
焦距与实轴长的比值：e∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
a，b，c的关系
a2＝c2－b2
[提醒]　(1)离心率e的取值范围为(1，＋∞)．当e越接近于1时，双曲线开口越小；当e越接近于＋∞时，双曲线开口越大．
(2)满足||PF1|－|PF2||＝2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a＝0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当00)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形




几
何
性
质
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0，0)
焦点
Fp2，0
F−p2，0
F0，p2
F0，−p2
准线方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
离心率
e＝1
『必会结论』
1．与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，
则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，
则|PT|＝x02+y02 +Dx0+Ey0+F；
(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
则切点弦AB所在的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝x0−a2+y0−b2−r2.
2．椭圆中焦点三角形的相关结论
由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．
在椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半径公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e为椭圆的离心率)
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
3S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为x2a2−y2b2＝0，即y＝±bax.
(2)若渐近线的方程为y＝±bax(a>0，b>0)，即xa±yb＝0，则双曲线的方程可设为x2a2−y2b2＝λ.(λ≠0)
(3)若所求双曲线与双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为x2a2−y2b2＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标恒为a.
5．抛物线焦点弦的相关结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋p2＝p1−cosα， |BF|＝x2＋p2＝p1+cosα.
(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.
(4)1FA+1FB＝2p.
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(6)S△OAB＝p22sinα(O为抛物线的顶点)．
『易错剖析』
易错点1　遗漏方程表示圆的充要条件
【突破点】　二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解．
易错点2　解决截距问题忽略“0”的情形
【突破点】　解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：
(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．
易错点3　不清楚直线的倾斜角与斜率关系
【突破点】　在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k的取值范围，再利用三角函数y＝tan x的单调性，借助函数的图象，确定倾斜角的范围．
易错点4　忽视斜率不存在的情况
【突破点】　(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．
易错点5　忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式
【突破点】　凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，一定不能忘记对判别式的讨论．
易错点6　忽视双曲线定义中的条件
【突破点】　双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a0)的一个焦点为F(－1，0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
[听课笔记]









　(1)当直线l的斜率不存在时，可设直线方程为x＝－1；当直线l的斜率存在(显然k≠0)时，可设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的．
(2)本题可将直线方程巧设为x＝my－1，用含m的式子表示出|S1－S2|，并求出其最大值．显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择．
易错快攻二　忽视双曲线定义中的限制条件
[典例2]　点P到曲线E上所有点的距离的最小值称为点P到曲线E的距离，那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点P的轨迹是(　　)
A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．双曲线
[听课笔记]








　认为到两定点距离之差等于常数的点的轨迹一律是双曲线往往是错误的，一定要注意双曲线的定义中的限制条件，尤其是定义中“差的绝对值”这一条件．
【技巧点拨】
双曲线的定义的数学表达式为||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|时，动点轨迹不存在．
八　概率与统计
『必记知识』
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．
3．排列数、组合数公式及其相关性质
(1)排列数公式
Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n−m！m≤n，m，n∈N∗，Ann＝n！＝n(n－1)(n－2)…·2·1(n∈N*)．
[提醒]　(1)在这个公式中m，n∈N*，且m≤n，并且规定0！＝1，当m＝n时，Anm＝n！.
2Anm＝n！n−m！主要有两个作用：①利用此公式计算排列数；②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式．
(2)组合数公式
Cnm＝Anm Amm ＝nn−1n−2…n−m+1m！＝n！m！n−m！(m≤n，n，m∈N*).
[提醒]　(1)公式Cnm＝n！m！n−m！主要有两个作用：①利用此公式计算组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式．
(2)组合数的性质
Cnm＝Cnn−m m≤n，n，m∈N∗，Cn+1m＝Cnm−1 +Cnm(m≤n，n，m∈N*)．
(3)排列数与组合数的联系
Anm＝Cnm Amm.
4．二项式定理
(a＋b)n＝Cn0an+Cn1an−1b1+…+Cnk an−kbk+…+Cnnbn(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数Cnk(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式中的Cnkan－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．
5．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从Cn0，Cn1， ... ，Cnn−1 ，Cnn.
[提醒]　对于二项式定理应用时要注意
(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．
(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.
6．概率的计算公式
(1)古典概型的概率公式 P(A)＝事件A包含的基本事件数m基本事件总数n；
(2)互斥事件的概率计算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)对立事件的概率计算公式 P(A)＝1－P(A)；

7．统计中四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)；
(4)方差与标准差
方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2].
标准差：s＝ 1nx1−x2+x2−x2+…+xn−x2.
8．二项分布
(1)相互独立事件的概率运算
①事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．
②若事件A1，A2，…，An相互独立，则这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
③事件A，B相互独立，则A和B，A与B，A与B也相互独立．
(2)条件概率P(B|A)＝PABPA的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②若B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA＝P(B|A)＋P(C|A)．
③若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
(3)二项分布(伯努利分布）ξ～B(n，p)
如果在每次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
P(ξ＝k)＝Cnk pkqn－k，其中k＝0，1，…，n，q＝1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P
Cn0 p0 qn
Cn1 p1qn－1
…
Cnkpkqn－k
…
Cnnpnq0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并称p为成功概率．
（4）超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
P(X＝k)＝CMkCN−Mn−kCNn，k＝m ，m+1，m+2，…，r，其中r＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布．
9．正态分布X～N(μ，σ2)
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝abφμ，σ (x)d x(即直线x＝a，直线x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π. ④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
[提醒]　P(X≤a)＝1－P(X＞a)；P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)；P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
『必会结论』
1．求解排列问题常用的方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列产生的空中
先整体，后局部
“小集团”排列问题中，先整体，后局部
除法
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
2.二项式系数的性质
(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cnm＝Cnn−m.
(2)增减性与最大值：二项式系数Cnk，当k＜n+12时，二项式系数逐渐增大；当k＞n+12时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Cn0 +Cn1 +…＋Cnn＝2n.
(4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即Cn0 +Cn2＋…＝Cn1 +Cn3＋…＝2n－1.
3．均值与方差的性质结论
(1)均值的性质结论
①E(k)＝k(k为常数) ②E(aX＋b)＝aE(X)＋b ③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(2)方差的相关性质结论
①D(k)＝0(k为常数) ②D(aX＋b)＝a2D(X) ③D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.
(3)两点分布与二项分布的均值与方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
③若随机变量X服从超几何分布，即X～H(N，n，M)，设 则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)
『易错剖析』
易错点1　对统计图表中的概念理解不清，识图不准确
【突破点】　求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．
易错点2　对等可能事件认识不清致误
【突破点】　解与等可能事件相关的题目时，由于对等可能性事件的基本事件构成理解不清，往往计算基本事件或多或少或所划分事件根本不等可能性，从而导致失误．
易错点3　对抽样概念把握不准
【突破点】　解决随机抽样问题时，造成失分原因是分层中不明确有几层，计算比例时找不准比例关系．在学习时应熟练掌握各种抽样方法的步骤，注意系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列，公差即每段的个体数．
『易错快攻』
易错快攻　用频率分布直方图解题时误把纵轴当作频率
[典例]　沃尔玛超市为了了解某分店的销售情况，在该分店的电脑小票中随机抽取200张进行统计，将小票上的消费金额(单位：元)分成6组，分别是[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500)，[500，600]，制成如图所示的频率分布直方图(假设抽到的消费金额均在[0，600]内)．
(1)求消费金额在[300，600]内的小票张数；
(2)为做好2020“双十二”促销活动，该分店设计了两种不同的促销方案．
方案一：全场商品打八五折．
方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．
利用频率分布直方图中的信息，分析哪种方案优惠力度更大，并说明理由．







　此类以频率分布直方图为背景的方案决策型问题的易错点有两处：一是观图算频率出错，需注意频率分布直方图的纵轴表示的是“频率组距”；二是求平均数出错，即利用频率分布直方图估计平均数出错，从而作出错误的决策，需认真审题与认真运算，避开此类错误．









































重温基础，高考“七分靠实力，三分靠心态”（参考答案）
一　集合与常用逻辑用语
[典例1]答案：[1，＋∞)
解析：①当B≠∅时，则有2m≤m+3，2m≥2，m+3≤6，解得1≤m≤3；
②当B＝∅时，2m>m＋3，解得m>3.综合①②，得m≥1，故实数m的取值范围是[1，＋∞).
[典例2答案：B
]解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以应先将存在量词改成全称量词，然后否定结论即可，所以命题p：∃x0，ax2－x＋a≥0即a≥xx2+1恒成立，则只需满足a≥xx2+1max，x>0.
令h(x)＝xx2+1(x>0)，则h(x)＝xx2+1＝1x+1x≤12，当且仅当x＝1时等号成立，
故实数a的取值范围是12，+∞.
(2)不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，
①当a＝0时，f(x)≥0即－x≥0，此时f(x)≥0的解集为(－∞，0].
②当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x＋a的图象的对称轴为直线x＝12a，令ax2－x＋a＝0，则Δ＝1−4a2，
(ⅰ)当a