青岛版七年级下册第13章 平面图形的认识13.2 多边形精品综合训练题

《第9章　多边形》专项拓展训练（三）

专项一  用正多边形铺设地面

类型1   用相同的正多边形铺设地面

1. [2022贵阳期末]某商店出售下列四种形状的地砖,若只选购其中一种地砖铺设地面,可供选择的地砖共有 (　　)

①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形.

A.4种 B.3种 C.2种 D.1种

2. [2022枣庄峄城区期末]若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由3块相同的正多边形组成,此时的正多边形只能是(　　)

A.正三角形 B.正四边形

C.正六边形 D.正八边形

3. 外角等于45°的正多边形　　　　(填“能”或“不能”)铺满地面. 

4. 某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料(如图1),现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形,将其移到如图2所示的位置.为了不浪费材料,你能利用它们铺满地面吗?若不能,请说明理由;若能,请你给出自己的一种设计.

类型2   用多种正多边形铺设地面

5. [2021遂宁期末]小飞家房屋装修时,选中了一种正八边形地砖,建材店老板告诉她,只用一种八边形地砖是不能铺满地面的,但可以与另外一种形状的地砖混合使用,小飞应选择的另一种地砖的形状是 (　　)

A.正三角形 B.正方形

C.正五边形 D.正六边形

6. 学校新建的科技馆计划用三种边长相同的正多边形组合铺地板,现在已经选好了正方形、正十二边形两种地板,那么第三种可以选　　　　地板. 

7. [2022厦门思明区二模]如图是某小区花园内用同一种正多边形(空白部分)和正方形(阴影部分)地砖铺设的小路的局部示意图,四块正多边形地砖围成的中间区域使用一块正方形地砖,则该正多边形的内角和为　　　　. 

8. 如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分(其中有4×3个“基本单位”),其间存有若干个小正方形空隙,边沿上有小三角形空隙,图案的4个角处有更小的三角形空隙.若密铺6×4个“基本单位”的图案,并填满空隙,则需要　  个小正方形,　　个小三角形.(不含图案的4个角) 

9. 如图是某广场地面的一部分,地面的中央是一块正六边形的地砖,周围用正三角形和正四边形的大理石地砖铺设,从里向外共铺了12层(不包括中央的正六边形地砖),每一层的外边界都围成一个多边形.若中央正六边形的地砖的边长为0.5米,求第12层的外边界所围成的多边形的周长.

专项二  三角形中与角度计算有关的三种常见模型

类型1　A字型及其变形

1. [2021吉林长春南关区期末]如图,D是△ABC的AC边上一点,∠A=∠ABD,∠BDC

=150°,∠ABC=85°.则∠A的度数为　　　　;∠C的度数为　　　　. 

类型2　飞镖型

2. [2022黔西南州期中]如图,∠BDC=100°,∠C=35°,∠A=28°,则∠B的度数是 (　　)

A.43° B.33° C.47° D.37°

3. [2022杭州上城区期中]如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　. 

类型3　8字型

4. [2021连云港期中]我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例如,在图1中,△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角,则△AOB与△COD为对顶三角形,根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质:∠A+∠B=∠C+∠D.

(1)【性质理解】如图2,在“对顶三角形”△AOB与△COD中,∠EAO=∠C,∠D=2∠B,试说明:∠EAB=∠B.

(2)【性质应用】如图3,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,∠BOD=∠A,若∠ECD比∠DBE大20°,求∠BDO的度数.

专项三  三角形中与角平分线有关的三种模型

类型1　三角形的一个内角与一个外角平分线的夹角

1. [2022滁州期中]如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,CE为外角∠ACD的平分线,CE交BO的延长线于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,给出下列结论: ①∠1=2∠2;②∠BOC=3∠2;③∠BOC=90°+∠1;④∠BOC=90°+∠2.其中正确的是　　　　.(填序号) 

类型2　三角形的两个内角平分线的夹角

2. (1)如图1,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,若∠A=50°,则∠BOC的度数为　　　　;

(2)如图2,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的三等分线分别对应交于O1,O2,当∠BO2C=2∠A时,求∠A的度数;

(3)如图3,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的n(n≥1)等分线分别对应交于O1,O2,…,,当∠BC=2∠A时,猜想:∠A的度数为　　　(用含n的代数式表示). 

类型3　三角形的两个外角平分线的夹角

3. 已知∠MON,点A,B分别在射线ON,OM上移动(不与点O重合),AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,AD(或其反向延长线)与BC交于点C.

(1)如图1,若∠MON=90°,试猜想∠ACB的度数,并直接写出结果.

(2)如图2,若∠MON=α,问:当点A,B在射线ON,OM上运动的过程中,∠ACB的度数是否改变?若不改变,求出其值(用含α的式子表示);若改变,请说明理由.

参考答案

专项一  用正多边形铺设地面

1. B　①正三角形的每个内角都是60°,6个内角绕一点可构成一个周角,所以可供选择;②正方形的每个内角都是90°,4个内角绕一点可构成一个周角,所以可供选择;③正五边形的每个内角都是180°-360°÷5=108°,不能整除360°,所以不可供选择;④正六边形的每个内角都是120°,3个内角绕一点可构成一个周角,所以可供选择.故若只选购其中一种地砖铺设地面,可供选择的地砖共有3种.

2. C　由题可得,正多边形的一个内角为=120°,设正多边形的边数为n,则(n-2)×180°=120°×n,解得n=6.

3. 不能　正多边形的外角等于45°,则内角等于135°,135°不能整除360°,所以不能铺满地面.

4. 解:能.设计如图所示.(答案不唯一)

5. B　正八边形、正三角形的每个内角分别为135°,60°,不能构成360°的角,所以不能铺满地面,故选项A不符合题意;正八边形、正方形的每个内角分别为135°,90°,由于135°×2+90°=360°,所以能铺满地面,故选项B符合题意;正八边形、正五边形的每个内角分别为135°,108°,不能构成360°的角,所以不能铺满地面,故选项C不符合题意;正八边形、正六边形的每个内角分别为135°,120°,不能构成360°的角,所以不能铺满地面,故选项D不符合题意.

6. 正三角形或正六边形　因为正方形的每个内角是90°,正十二边形的每个内角是150°,所以存在以下两种情况:①因为90°+150°+2×60°=360°,而60°恰好是正三角形的一个内角,所以第三种可以选正三角形地板;②因为90°+150°+120°=360°,而120°恰好是正六边形的一个内角,所以第三种可以选正六边形地板.综上,第三种可以选正三角形或正六边形地板.

7. 1 080°　∵正方形的一个内角是90°,∴正n边形的一个内角=(360°-90°)÷2

=135°,∴正n边形的一个外角=180°-135°=45°,∴n=360°÷45°=8,∴正八边形的内角和为(8-2)×180°=1 080°.

8. 15　16　小正方形的个数为5×3=15,小三角形的个数为5×2+3×2=16.

9. 解:第1层的外边界所围成的多边形的周长是6×正四边形边长+6×正三角形边长;

第2层的外边界所围成的多边形的周长是6×正四边形边长+6×2×正三角形边长;

……

第12层的外边界所围成的多边形的周长是6×正四边形边长+6×12×正三角形边长.

已知正六边形的地砖的边长为0.5米,

所以正四边形的边长为0.5米,正三角形的边长为 0.5米,

所以第12层的外边界所围成的多边形的周长为6×0.5+6×12×0.5=39(米).

专项二  三角形中与角度计算有关的三种常见模型

1. 75°　20°

2. D　如图,延长BD交AC于点E,∵∠BDC=∠C+∠BEC,∠BEC=∠A+∠B,∴∠BDC=∠A+

∠B+∠C.∵∠BDC=100°,∠A=28°,∠C=35°,∴∠B=100°-28°-35°=37°.

3. 180°　如图,连接BC,设BE,CD相交于点O.∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠OBC

=180°,∠DOE=∠BOC,∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB.又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB

=180°,∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.

4. 解:(1)在“对顶三角形”△AOE与△COD中,根据题中性质,可知∠EAO+∠AEO=

∠C+∠D,

∵∠EAO=∠C,∴∠AEO=∠D,

∵∠D=2∠B,∴∠AEO=2∠B,

又∵∠AEO=∠EAB+∠B,

∴∠EAB=∠B.

(2)∵∠ECD比∠DBE大20°,∠ECD+∠BEC=∠DBE+∠BDC,

∴设∠DBE=x,∠BDC=y,则∠ECD=x+20°,∠BEC=y-20°,

∵∠BOD=∠A,

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-∠BOD=x+y,

∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-∠ECD=x+y-(x+20°)=y-20°,

∵∠ABC+∠DCB+∠BDC=180°,

∴y-20°+y=180°,解得y=100°,

∴∠BDO=100°.

专项三  三角形中与角平分线有关的三种模型

1. ①④　∵CE平分∠ACD,BE平分∠ABC,∴∠DCE=∠ACD,∠DBE=∠ABC.∵∠DCE是△BCE的外角,∴∠2=∠DCE-∠DBE=(∠ACD-∠ABC)=∠1,故①正确.∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBC=ABC,∠OCB=∠ACB,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠1)=90°+∠1,故②,③错误.∵CO平分∠ACB,CE平分∠ACD,∴∠ACO=∠ACB,∠ACE=∠ACD,∴∠OCE=(∠ACB+∠ACD)=90°.∵∠BOC是△COE的外角,∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2,故④正确.综上 ,正确的结论是①④.

2. 解:(1)115°

∵OB,OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB),又∵∠A=50°,

∴∠OBC+∠OCB=(180°-50°)=65°,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-65°

=115°.

(2)∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点,

∴∠O2BC+∠O2CB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A).

∵∠BO2C=2∠A,

∴∠BO2C=180°-(∠O2BC+∠O2CB)=180°-(180°-∠A)=2∠A,

∴∠A=45°.

(3)

∵点是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点,∴∠BC+∠CB=×(∠ABC+

∠ACB)=×(180°-∠A),

C=180°-×(180°-∠A),又∵∠BC=2∠A,∴180°-×(180°-∠A)=2∠A,∴∠A=.

3. 解:(1)∠ACB=45°.

提示:因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,

所以∠NAD=∠BAD=∠BAN,∠ABC=∠MBC=∠ABM.

因为∠BAO+∠ABO=180°-∠AOB=90°,

所以∠CAB+∠CBA=(∠BAN+∠ABM)=(360°-90°)=135°,

所以∠ACB=180°-135°=45°.

(2)∠ACB的度数不改变.

因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,

所以∠NAD=∠BAD=∠BAN,∠ABC=∠MBC=∠ABM.

因为∠BAO+∠ABO=180°-∠AOB=180°-α,

所以∠CAB+∠CBA=(∠BAN+∠ABM)=[360°-(180°-α)]=90°+α.

所以∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=90°-α.