2023年北京大兴初三一模数学试卷含答案解析

这是一份2023年北京大兴初三一模数学试卷含答案解析，共14页。试卷主要包含了 x≥1， x  6， 32， 5，证明，P2等内容，欢迎下载使用。

2023 北京大兴初三一模数 学
2023．5


考生须知
1. 本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分，考试时间 120 分钟。
2. 在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域。
3. 题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效。
4. 在答题纸上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 练习结束，请将答题纸交回。
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
第 1－8 题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个．
1. 如图所示的圆柱，其俯视图是



A. B． C． D．



2．2022 年 10 月 12 日，“天宫课堂”第三课在距离地球约 400 000 米的中国空间站开讲，数据 400 000 用科学记数法表示为
A．40×104 B．4×105 C．4×106 D．0.4×106
3. 已知 M，N，P，Q 四点的位置如图所示，下列结论正确的是
Q
60 110100
50
70 80 90 100 110
80 70 120
P
120
40 130
60 130
50 140
150
20160
10170
0180
30 140
40 150
30
20160
M
10170 N
O
0 180


A. ∠NOQ＝40° B．∠NOP＝140°
C．∠NOP 比∠MOQ 大 D．∠MOQ 与∠MOP 互补
4. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是



A．a＜ - 2 B．b＞2 C．b - a＜0 D．a＞ - b

5. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求两次摸出小球的标号相同的概率是

A． 1
3
B． 2
3
C． 1
9
D． 2
9

6. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋m＝0 有实数根，则实数 m 的取值范围为
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
7. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J 是网格线交点，△ABC 与△DEF 关于某点成中心对称，则其对称中心是
A

B
G H
I
J
E
C





F

D

A．点 G B．点 H C．点 I D．点 J
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①面积一定的等腰三角形，底边上的高 y 与底边长 x；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量 y 与放水时间 x；
③计划从 A 地到 B 地铺设一段铁轨，每日铺设长度 y 与铺设天数 x．
其中，变量 y 与变量 x 满足反比例函数关系的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）

x -1
9. 若 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
10. 分解因式： 3m2 + 6m + 3 = ．

11. 方程 1
x - 3
= 2 的解为 ．


x

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，若反比例函数 y = k (k ¹ 0) 的图象经过点 A（2，3）和点 B (-2，m) ，则 m 的值
x

为 ．
13. 九年级（1）班同学分 6 个小组参加植树活动，此活动 6 个小组的植树棵数的数据如下：5，7，3，x，
6，4（单位：株）．若这组数据的众数是 5，则该组数据的平均数是 ．
14. 如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点， AB = BC ，若∠AOB=68°，则∠BDC= °．



第 14 题图 第 15 题图
15. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上一点，且 AE=2DE,连接 CE 交对角线 BD 于点 F.若 BD=10,则 DF 的长为 ．
16. 某校需要更换部分体育器材，打算用 1800 元购买足球和篮球，并且把 1800 元全部花完．已知每个足
球 60 元，每个篮球 120 元，根据需要，购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的 2 倍，写出一种满足条件的购买方案 ．
三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题， 每小题 6 分，第 27-28 题，每小题 7
分）
3
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 计算： 2sin 60° -
12 + -
+ (p -1)0


ìx + 3( x - 2)≥4
18. 解不等式组： ï
ï
í x -1 < x + 1.
î 3

19. 已知 x2 + x -1 = 0 ，求代数式(2x + 1)(2x -1) - x(x - 3) 的值．
20. 下面是用面．积．关．系．证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明．
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． c
已知：如图，直角三角形的直角边长分别为 a，b，斜边长为 c． a
求证： a2 + b2 = c2 ．
方法一
如图，大正方形的边长为（ a + b ），小正方形的边长为 c.
a b
a
b c c
c
c b
a
b a
证明：
方法二
如图，大正方形的边长为 c，小正方形的边长为（ b - a ）.
c
a b a
c b b c a b a
c
证明：

21. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 的交于点 O，延长 CB 到 E，使得 BE=BC．连接 AE．过点 B 作 BF//AC，交 AE 于点 F，连接 OF．
（1） 求证：四边形 AFBO 是矩形；
（2） 若∠ABC=60°，BF=1，求 OF 的长．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = kx + b(k ¹ 0) 的图象经过点（1，1），（2，3）.
（1） 求该函数的解析式；
（2） 当 x > -1 时，对于 x 的每一个值，函数 y = mx(m ¹ 0) 的值大于一次函数 y = kx + b(k ¹ 0) 的值，直接写出 m 的取值范围．
23. 某校为了解九年级学生周末家务劳动时长的情况，随机抽取了 50 名学生，调查了这些学生某一周末家
务劳动时长（单位：分钟）的数据，并对数据（保留整数）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息： a．学生家务劳动时长的数据在 70≤x＜80 这一组的具体数据如下： 72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，79
b．学生家务劳动时长的数据的频数分布直方图如下：

根据以上信息，回答下列问题：
（1） 补全频数分布直方图；
（2） 学生家务劳动时长的数据的中位数为 ；
（3） 若该校九年级有学生 500 人，估计该校九年级学生家务劳动时长至少 90 分钟的有 人．
24. 如图，AB 是☉O 的直径，C 为圆上一点，连接 AC，BC，过点 O 作 OD⊥AC 于点 D．过点 A 作☉O 的的切线交 OD 的延长线于点 P，连接 CP．
（1） 求证：CP 是☉O 的切线；
4
（2） 过点 B 作 BE⊥PC 于点 E，若 CE=4，cos∠CAB= 5 ，求 OD 的长．



25. 羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如 图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系式： y = a(x - h)2 + k (a ¹ 0) ．

某次发球时，羽毛球的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下：

水平距离 x/m
0
2
4
6
8
…
竖直高度 y/m
1
3

2
5

3
3

2
1
…
请根据上述数据，解决问题
（1） 直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
y = a(x - h)2 + k (a ¹ 0) ；
（2） 已知羽毛球场的球网高度为 1.55m，当发球点 O 距离球网 5m 时羽毛球 （填“能”或 “不能”）越过球网．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，点(-2，y ) ， (2，y ) (3，y ) 在抛物线 y = x2 - 2tx + t 2 + 1上．
1 2 ， 3
（1） 抛物线的对称轴是直线 （用含 t 的式子表示）；
（2） 当 y1 = y2 ，求t 的值；
（3） 点(m，y3 )(m ¹ 3) 在抛物线上，若 y2＜y3＜y1 ，求 t 取值范围及 m 的取值范围．
27. 在△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，点 D 为射线 CB 上一动点（不与 B，C 重合），连接 AD，点 E 为 AB
延长线上一点，且 DE=AD，作点 E 关于射线 CB 的对称点 F，连接 BF，DF．
（1） 如图 1，当点 D 在线段 CB 上时，
①依题意补全图形，求证：∠DAB=∠DFB；
②用等式表示线段 BD，BF，BC 之间的数量关系，并证明；
（2） 如图 2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，请直接用等式表示线段 BD，BF，BC 之间的数量关系．

D
B
E
B
D
A A




C C






图 1 图 2
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于△ABC 与⊙O，给出如下定义：若△ABC 的一个顶点在⊙O 上，除这个顶点外△ABC 与⊙O 存在且仅存在一个公共点，则称△ABC 为⊙O 的“相关三角形”．
（1） 如图 1，⊙O 的半径为 1，点 C（2，0），△AOC 为⊙O 的“相关三角形”．
在点 P1（0，1），P2，（ 1 ， 3 ） P3（1，1）这三个点中，点 A 可以与点 重合；
2 2



图 1 图 2
（2） 如图 2，⊙O 的半径为 1，点 A（0，2），点 B 是 x 轴上的一动点，且点 B 的横坐标 xB 的取值范围是- 1 3
（3） ⊙O 的半径为 r，直线 y = - 3x + 与⊙O 在第一象限的交点为 A，点 C（2，0）,若平面直角坐标系

xOy 中存在点 B（点 B 在 x 轴下方），使得△ABC 为等腰直角三角形，且△ABC 为⊙O 的“相关三角形”．直接写出 r 的取值范围.



备用图

参考答案

一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
D
A
B
C
B

二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）

9． x≥1
11． x = 6
10． 3(m +1)2
12． -3

13．5 14．34

15． 5
2

16．答案不唯一， 9 个篮球，12 个足球；8 个篮球，14 个足球

三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27-28 题，每小题 7
3
3
分）

3
17．解：原式=
- 2
+ +1
… 4 分

=1． 5 分
ìx + 3(x - 2 )≥ 4 , ①
18. 解： ï
í x - 1 < x + 1. ②
ïî 3
解不等式①，得 x ≥ 5 ． 2 分
2
解不等式②，得 x ＞-2 ． 4 分
∴不等式组的解集为 x ≥ 5 ． 5 分
2
19. 解： (2x + 1)(2x - 1) - x(x - 3)
= 4x2 -1 - x2 + 3x 2 分
= 3x2 + 3x - 1． 3 分
∵ x2 + x - 1 = 0 ，
∴ x2 + x = 1 ， 4 分
∴ 3x2 + 3x = 3 ，
∴原式
= 3 - 1 = 2 ．…………………………………………………………………………………………………………
………5 分
20. 选择方法一．
证明：∵（a+ b）2 = 4 ´ 1 ab + c2 ， 3 分
2

∴ a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 ， 4 分
∴ a2 + b2 = c2 ． 5 分
选择方法二．
证明：∵（b - a）2 + 4 ´ 1 ab = c2 ， 3 分
2
∴ b2 -2ab + a2 + 2ab = c2 ， 4 分
∴ a2 + b2 = c2 ． 5 分
21．（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AO=OC，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°．
∵BE=BC，
∴OB∥AE． 又∵BF∥AC，
∴四边形 AFBO 是平行四边形．又∵∠AOB=90°，
∴四边形 AFBO 是矩形． 3 分
（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABO= 1 ∠ABC．
2
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°．
∵四边形 AFBO 是矩形，
∴OB∥AF，OF=AB，∠BFA=90°，
∴∠FAB=∠ABO，
∴∠FAB=30°．
又∵在△ABF 中，∠BFA=90°，BF=1，
∴AB=2BF=2，
∴OF=2． 5 分
í2k + b = 3.
22．（1）解：依据题意，得ìk + b = 1， 1 分
î

í
ìk = 2,
解得
îb = -1.

… 3 分

∴该函数的解析式为 y = 2x - 1．
（2） 2≤m≤3 ． 5 分
23．解：（1）如图










… 2 分
（2）74.5； 4 分
（3）40． 6 分

24．（1）证明：连接 OC．
∵AP 是⊙O 的切线，
∴AP⊥OA，
∴∠PAO=90°．
∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
∴AP=CP，
又∵OA=OC，OP=OP，
∴△AOP≌△COP，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∴OC⊥PC.
又∵点 C 在⊙O 上，

P





C
D
O
A B

∴CP 是⊙O 的切线． 3 分
C
D
O
B
（2） 解：∵AB 是⊙O 的直径， P
∴∠ACB=90°．
E
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∵CP 是⊙O 的切线， A
∴∠OCE=90°，
∴∠OCB+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠OCA．
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠CAB=∠ECB．
∵cos∠ 4
CAB= 5 ,
∴cos∠BCE= 4 ．
5

∵BE⊥PC，
∴∠CEB=90°．
在△BCE 中，∵CE=4，cos∠BCE= CE = 4 ，


∴CB=5．
∵OA=OB，AD=CD，
CB 5

∴OD= 1
2
BC= 5
2

． 6 分

25. 解：（1）最大值是 5 m． 1 分
3
根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为（4 5 ，
，）
3
∴ h = 4, k = 5 ，
3
∴ y = a ( x - 4)2 + 5 (a ¹ 0) ．
3
∵当 x = 0 时， y = 1 ，
∴ a (0 - 4)2 + 5 = 1
3
解得 a = - 1 ，
24
∴函数关系为 y = - 1 ( x - 4)2 + 5 ． 4 分
24 3
（2）能． 6 分
26. 解：（1） x = t ． 1 分
（2）∵点(-2，y1 ) ， (2，y2 ) 在抛物线上，且 y1 = y2 ，
∴ 2 - t = t - (-2) ．
解得t = 0 ． 3 分
（3） ∵点(-2，y ) ， (2，y ) (3，y ) 在抛物线 y = x2 - 2tx + t 2 + 1上，
1 2 ， 3

∴ y1
= 4 + 4t + t 2 + 1， y
= 4 - 4t + t 2 + 1 ， y
= 9 - 6t + t 2 + 1 ．


2
3
由 y2＜y3 ，得

由 y3＜y1 ，得
t＜ 5 ．
2
t＞ 1 ．
2

∴ 1 ＜t＜ 5 ． 5 分
2 2
∵点(m，y3 )(m ¹ 3) 在抛物线上，
∴点（m，y3），（3，y3）关于抛物线的对称轴 x = t 对称，且 m < t ．

∴ 3 - t = t - m ，解得 m = 2t - 3 ．
∴ -2 < m < 2 ． 6 分
27.（1）①补全图形，如下图． 1 分

证明：
∵DE=AD，
∴∠DAB=∠DEA．
∵点 E 关于射线 CB 的对称点为 F，
∴△DBF≌△DBE，
∴∠DFB=∠DEB，

A



F


C D B

E

∴∠DAB=∠DFB． 3 分


② BC = BD +
2 FB ． 4 分
2

F
D
B
G
E
A
证明：设 EF 与射线 CB 交于点 G．
∵点 E 关于射线 CB 的对称点为 F，
∴△DBF≌△DBE，EF⊥CB，
∴∠BDF=∠BDE，DF=DE，∠DFB=∠DEB． C
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠BAC=∠CBA=45°，
∴∠ABC=∠BDE+∠DEB=45°，
∴∠DFB+∠BDF=45°．
∵∠CAD+∠DAB=45°，
又∵∠DAB=∠DFB，
∴∠CAD=∠BDF．
∵DE=AD，DF=DE，
∴AD=DF．
∵∠C=90°，EF⊥CB，
∴∠C=∠FGD=90°，
∴△ACD≌△DGF，
∴CD=FG．
∵∠FBG=∠DFB+∠BDF=45°，
∴△FBG 为等腰直角三角形，

∴ FB =

∴ FG =
2FG ，
2 FB ，
2

∴ CD =
2 FB ．
2

∵BC=BD+CD，


∴ BC = BD +

（2） BC =
2 FB ． 6 分
2

2 FB - BD ． 7 分

2
28．（1） P2
（2）

； 1 分


3

2 A

1
D C
–3 –2 B–1 O （B） 1 2
3
–1


–2


–3
y y






3

2 A

1 C
–3 –2 B–1 O E 1D 2 3

–1


–2


–3
x x







图 2-1 图 2-2
解：由条件可知，点 C 在⊙O 上，
如图 2-1 所示，当 B（-1，0），D（1，0）时，连接 AD，与⊙O 交于点 C，
∴BD 为⊙O 直径，
∴∠BCD=∠ACB=90°．
∵在 Rt△AOD 中，∠AOD=90°，

5
由勾股定理得 AD= ．
∵在 Rt△BCD 中，cos∠CDB= DC ，
BD
在 Rt△AOD 中，cos∠CDB= OD ，
AD
∴ DC = OD ，
BD AD
1
5
∴ DC = ，
2

2 5
5
∴ CD = ．

过点 C 作 CE⊥BD．

1
5
∴在 Rt△CED 中，cos∠CDB= DE = ，
CD

∴ DE= 2 ．
5
∵OD=1，
∴ OE= 3 ，
5


∴ xC
= 3 ． 3 分
5

如图 2-2 所示，当 B 位于原点，AC 与圆 O 相切时，过点 C 作 CD⊥y 轴于点 D．
∵AC 与⊙O 相切，
∴∠ACO=90°，

3
∴在 Rt△AOC 中，由勾股定理得 AC= ．
∵在 Rt△DCA 中，sin∠DAC= DC ，
AC
在 Rt△OCA 中，sin∠DAC= OC ，
AO
∴ DC = OC ，
AC AO
3
∴ DC = 1 ，
2

∴ DC = 3 ．
2

3
∴ xC = 2 ．


3 3
综上所述， 5＜xC ≤ 2

． 5 分


（3）r 的取值范围 3 ≤r≤1 ． 7 分
2