2023年北京燕山初三一模数学试卷含答案解析

这是一份2023年北京燕山初三一模数学试卷含答案解析，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023 北京燕山初三一模数 学
2023 年 4 月

考生须知
1. 本试卷共 6 页，共三道大题，28 道小题。满分 100 分。考试时间 120 分钟。
2. 在试卷和答题纸上准确填写学校名称、班级、姓名和考号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4. 在答题纸上，选择题、画图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
第 1－8 题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一．个．．
1. 下列几何体中，是圆锥的为


A. B． C． D．
2. 近年来，我国充电基础设施快速发展，已建成世界上数量最多、分布最广的充电基础设施网络，有效支撑了新能源汽车的快速发展．2022 年，我国充电基础设施累计数量达到 520 万台左右．将 5 200 000用科学记数法表示应为

A. 2×105
B．5.2×106
C．5.2×107
D．0.52×107

3. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥CD，垂足为 O， C E
若∠BOD＝40°，则∠AOE 的大小为
A. 0° B．120° A O B
D
C．130° D．140°
4. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
a b
-3 -2 -1 0 1 2 3
A．a＞－2 B．b＞3 C．｜a｜＞b D．a＋b＞0 5．若一个多边形的每个外角都是 45°，则该多边形的边数为
A．6 B．7 C．8 D．9
6. 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x + m = 0 有实数根，则 m 的值不．可．能．是．
A．2 B．1 C．－1 D．－2
7. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生宣讲团赴社区宣讲．现从 2 名男生 1 名女生中任选 2 人，则恰
好选中 1 名男生 1 名女生的概率为

A． 2
3
B． 1
2
C． 1
3
D． 1
4

y
O
x
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长 y 与边长 x；
②一个三角形的面积为 5，其底边上的高 y 与底边长 x；
③小赵骑行 10km 到公司上班，他骑行的平均速度 y 与骑行时间 x； 其中，变量 y 与变量 x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）


9. 若
x + 1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 分解因式： 3a2 - 3b2 ＝ ．
2 1

11. 方程
=
x x - 3
的解为 ．

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，若反比例函数 y = k (k ¹ 0) 的图象经过点 P(2，1)和点 Q(－2，m)，则
x
m 的值为 ．
13. 如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，∠AOC＝130°，则∠ABC＝ °．


D
O
A
B
A E D

F
C
成绩/环
10
9
8
7
成绩/环
10
9
8
7

B C 6
0
1 2 3 4 5
6
序号 0
1 2 3 4 5 序号

(第 13 题)
(第 14 题)
甲 乙
(第 15 题)

14. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，EF⊥BD 于点 F ．若 AB ＝ 1 ，EF＝1，则 DE 的长
BC 2
为 ．
15. 甲、乙两名射击爱好者 5 次射击测试成绩(单位：环)的统计图如图所示．记甲、乙两人这 5 次测试成绩
数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，方差分别为 s2 ， s2 ，则 x甲 x乙 ,


s2 s2
甲 乙

(填“＞”，“＜”或“＝”)．

甲 乙
16. 某工厂用甲、乙两种原料制作 A，B，C 三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下：
工艺品型号
含甲种原料的重量/kg
含乙种原料的重量/kg
工艺品的重量/kg
A
3
4
7
B
3
2
5
C
2
3
5
现要用甲、乙两种原料共 31kg，制作 5 个工艺品，且每种型号至少制作 1 个．
(1) 若 31kg 原料恰好全部用完，则制作 A 型工艺品的个数为 ；
(2) 若使用甲种原料不超过 13kg，同时使用乙种原料最多，则制作方案中 A，B，C 三种型号工艺品的个数依次为 ．

三、解答题（共 68 分，第 17－20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23－24 题，每题 6 分，
第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27－28 题，每题 7 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 计算： 4sin 30° +
- 2 + -
1 -1 ．

12
（ ）
4
ì3x - 4 < x，
í5x + 3
18. 解不等式组： ï
> x .
ïî 2
19. 已知 x2 + 3x - 5 = 0 ，求代数式(x + 3)2 + 3x(x + 2) 的值．
20. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． A
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中
点． D E
1
求证：DE∥BC，且DE＝ BC．
2
B C
方法一：
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝
DE，连接FC，DC，AF．

A

D E F

B C
方法二：
证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF＝GE，连接AF．

A F

D E

B G C
21. 如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB＝AD，OB＝OD，点 E 在 AC 上，且∠
A
E
O
C
CED＝∠ECB． D
(1) 求证：四边形 EBCD 是菱形；
(2) 若 BC＝5，EC＝8，sin∠DAE＝ 10 ，求 AE 的长．
10
B

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx + b ( k ¹ 0 )的图象由函数 y = 2x 的图象平移得到，且经过点
A(2，0)．
(1) 求该一次函数的解析式；
(2) 当 x > 2 时，对于 x 的每一个值，函数 y = x + n 的值小于一次函数 y = kx + b ( k ¹ 0 )的值，直接写出 n 的取值范围．

23. 在第四个国际数学日(2023 年 3 月 14 日)到来之际，燕山地区举办了“数学节”，通过数学素养竞赛、数学创意市集、数学名师讲座等活动，展现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从甲、乙两校各随机抽取了 20 名学生成绩(单位：分)的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a. 乙校学生成绩数据的频数分布直方图如右图所示（数据分为四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜
90，90≤x≤100）

b. 乙校学生成绩数据在 80≤x＜90 这一组的是：
80 81 81 82 85 86 88 88
c. 甲、乙两校学生成绩的平均数、中位数、众数如下：

学校
平均数
中位数
众数
甲
79.2
79
78
乙
79.7
m
76
根据以上信息，回答下列问题:
(1) 写出表中 m 的值；
频数/人
8
6
3
3
10
8
6
4
2
0 60 70 80 90 100 成绩/分

(2) 在甲、 乙两校抽取的学生中， 记成绩高于各自学校平均分的人数分别为 p，q, 则
p q (填“＞”，“＜”或“＝”)，理由是
；
(3) 若乙校共有 160 名学生参加了该数学素养竞赛，且成绩不低于 80 分的学生可获得“数学之星”的称号，估计乙校获得“数学之星”称号的学生有 人．
︵
24. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点 D 为BC的中点，连接 AD，过点 D 作 DE⊥AC，交 AC
的延长线于点 E．
E
C
D
O
(1) 求证：DE 是⊙O 的切线；
(2) 延长 ED 交 AB 的延长线于点 F，若 BF＝2，DF＝4，求⊙O 的半径和 DE 的长．
A B



25. 某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，弹珠从箱外投入箱子，弹珠的飞行轨迹可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系(正方形 ABCD 为箱子正 面示意图，x 轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行)．
某 同 学将弹 珠 从 点 P 处 抛 出， 弹珠的竖 直 高 度 y(单位 ：dm)与 水 平距离 x(单 位：dm)近似满足函数关系 y = a( x - h)2 + k (a＜0)．
A
D
y



P
下面是弹珠
O


B C x

的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据：


水平距离 x/dm
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度 y/dm
2.50
4.25
5.50
6.25
6.50
6.25
5.50
(1) 直接写出弹珠竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 y = a( x - h)2 + k (a＜0)；

(2) 若点 B 的坐标为(8，0)，BC＝2dm，则该同学抛出的弹珠 投入箱子
(填“能”或“不能”)．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax2 - 4ax + 5(a ¹ 0) 与 y 轴交于点 C．
(1) 求点 C 的坐标及抛物线的对称轴；
(2) 已知点(－1， y 1 )，(2， y 2 )，(6， y 3 )在该抛物线上，且 y 1 ， y 2 ， y 3 中有且只有一个小于 0，求 a 的取值范围．
27. 如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 为边 BC 上一点(不与点 B，C 重合)，连接 AD，过点 C
作 CE⊥AD 于点 E，过点 B 作 BF⊥CE，交直线 CE 于点 F．
D
C
(1) 依题意补全图形；用等式表示线段 CE 与 BF 的数量关系，并证明；
(2) 点 G 为 AB 中点，连接 FG，用等式表示线段 AE，BF，FG 之间的数量关系，并证明．
A B




y
M

O 1
P
x
N
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1，M 为⊙O 上一点，点 N(0，－2)．
对于点 P 给出如下定义：将点 P 绕点 M 顺时针旋转 90°，得到点 P′，点 P′关于点 N 的对称点为 Q，称点 Q 为点 P 的“对应点”．
(1) 如图，已知点 M(0，1)，点 P(4，0)，点 Q 为点 P 的“对应点”．
①在图中画出点 Q；
2
②求证：OQ＝ OM；
(2) 点 P 在 x 轴正半轴上，且 OP＝t (t＞1)，点 Q 为点 P 的 “对应点”，连接 PQ，当点 M 在⊙O 上运动时，直接写出 PQ 长的最大值与最小值的积(用含 t 的式子表示)．

参考答案
阅卷须知：
1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可。
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

第一部分 选择题
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
D
C
A
A
B

第二部分 非选择题

二、填空题（共 16 分，每题 2 分）

9． x ³ -1
10. 3(a - b)(a + b)
11. x = 6


5
12. －1 13．115 14．
15．＞； ＝ 16．(1) 3； (2) 2，1，2
三、解答题（共 68 分，第 17－20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23－24 题，每题 6 分，
第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27－28 题，每题 7 分）
17．(本题满分 5 分)

3
解：原式＝ 4´ 1 + 2 + 2 - 4
2

… 4 分

3
＝ 2
18．(本题满分 5 分)
． 5 分

ì3x - 4 < x， ①
ï

解：原不等式组为í5x + 3 > x . ②

ïî解不等式①，得解不等式②，得
2
x < 2 ， 2 分
x > -1 ， 4 分

∴原不等式组的解集为-1 < x < 2 ． 5 分

19．(本题满分 5 分)
解： (x + 3)2 + 3x(x + 2)

＝ x2 + 6x + 9 + 3x2 + 6x
＝ 4x2 +12x + 9
＝ 4(x2 + 3x) + 9
∵ x2 + 3x - 5 = 0 ，
… 2 分


… 3 分

∴ x2 + 3x = 5 ， 4 分
∴原式＝29． 5 分
20．(本题满分 5 分)

方法一
证明：如图，延长 DE 到点 F，使 EF＝DE，连接 FC，DC，AF．
D
E
∵点D，E分别是AB，AC边的中点， A
∴AE＝EC，AD＝BD，
∴四边形 ADCF 是平行四边形， F
＝
CF∥AD，
B C
＝
∴CF∥BD，
∴四边形 DBCF 是平行四边形，
＝
DF∥BC．

1
又∵DE＝
2

DF，

1

∴DE∥BC，且 DE＝
2
方法二
BC． 5 分

证明：如图，取 BC 中点 G，连接 GE 并延长到点 F，使 EF＝GE，连接 AF．
∵点D，E分别是AB，AC边的中点，

∴AE＝EC，AD＝BD．又∵∠AEF＝∠CEG，
∴△AEF≌△CEG，
∴AF＝CG，∠F＝∠CGE，
∴AF∥CG．
∵BG＝CG，
＝
∴AF∥BG，
∴四边形 ABGF 是平行四边形，
＝
∴AB∥FG．
A F



D
E
B G C

1
∵DB＝
2
1
AB，GE＝
2

GF，

＝
∴DB∥GE，
∴四边形 DBGE 是平行四边形，
1

∴DE∥BC，且 DE＝BG＝
2
21．(本题满分 6 分)
BC． 5 分

(1) 证明：在△OED 和△OCB 中，
OB＝OD，∠DOE＝∠BOC，∠OED＝∠OCB，
∴△OED≌△OCB，
∴OE＝OC．
又∵AB＝AD，OB＝OD，
∴AO⊥BD 于点 O，
∴四边形 EBCD 是菱形． 3 分

(2) 解：∵四边形 EBCD 是菱形，
1
∴CD＝BC＝5，OE＝OC＝
2


EC＝4．

∵CE⊥BD 于点 O，∴∠DOC＝∠DOA＝90°，
CD2 - OC 2
∴在 Rt△OCD 中，OD＝ ＝3．

在 Rt△AOD 中，由 sin∠DAO＝ OD ＝ 3
＝ 10 ，


10
得 AD＝ 3
AD2 - OD2
∴AO＝

，
＝9，
AD AD 10

∴AE＝AO－OE＝9－4＝5． 6 分
22．(本题满分 5 分)
解：(1) ∵一次函数 y = kx + b ( k ¹ 0 )的图象由函数 y = 2x 的图象平移得到，
∴k＝2．
将点 A(2，0)的坐标代入 y = 2x + b 中，得0 = 2 ´ 2 + b ，解得b = -4 ，
∴该一次函数的解析式为 y = 2x - 4 ． 3 分
(2) n ≤ -2 ． 5 分
23．(本题满分 6 分)
解：(1) 由题意可知，乙校学生成绩数据的中位数
m = 80 + 81 = 80.5 ． 2 分
2
(2) p＜q，理由：答案不唯一，如
甲校成绩数据的中位数为 79 低于平均数 79.2，而乙校成绩数据的中位数 80.5 高于平均数
79.7，故乙校成绩高于平均数的人数更多． 4 分
(3)88． 6 分
24．(本题满分 6 分)
(1) 证明：如图，连接 OD，
E
C
D
1
3
2
O
︵
∵点 D 为BC的中点，
∴∠1＝∠2．
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3． A B
∴∠1＝∠3，
∴OD∥AE．
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD．
又∵OD 是⊙O 的半径，
∴DE 是⊙O 的切线． 3 分
(2) 解：如图，设⊙O 的半径为 r，则 OD＝OB＝r，
在 Rt△ODF 中，∠ODF＝90°，OD＝r，OF＝r＋2，DF＝4，

E
C
D
A
O
B F
由 OF 2 ＝ OD2 ＋ DF 2 ，得 (r + 2)2 ＝ r 2 ＋ 42 ，解得 r＝3，
即⊙O 的半径为 3，
∴OF＝OB＋BF＝5．
∵OD∥AE，
∴ FO = FD ，
OA DE
即 5 = 4 ，
3 DE
∴DE＝ 12 ． 6 分
5
25．(本题满分 5 分)
解：(1) 弹珠竖直高度的最大值为 6.5dm，由题意可知 y = a( x - 4)2 + 6.5 ，
∵当 x＝0 时，y＝2.5，
∴ a(0 - 4)2 + 6.5 = 2.5 ，解得 a＝ -0.25 ，
∴函数关系为 y = -0.25(x - 4)2 + 6.5 ． 4 分
(2) 能． 5 分
26．(本题满分 6 分)
解：(1) 由题意，抛物线与 y 轴交于点 C(0，5)．
对称轴为直线 x = - -4a = 2 ． 3 分
2a
(2) ∵抛物线的对称轴为直线 x = 2 ，
∴点(－1， y 1 )关于对称轴的对称点为(5， y 1 )，
点(2， y 2 )在对称轴上，点(5， y 1 )，(6， y 3 )在对称轴右侧．当 x＝－1 时， y 1 ＝ a + 4a + 5 ＝ 5a + 5 ，
当 x＝2 时， y 2 ＝ 4a - 8a + 5 ＝ -4a + 5 ，当 x＝6 时， y 3 ＝ 36a - 24a + 5 ＝12a + 5 ．
当 a > 0 时，抛物线在对称轴右侧（即 x ³ 2 时）y 随 x 的增大而增大，
∴ y 2 ＜ y 1 ＜ y 3 ．
∵ y 1 ， y 2 ， y 3 中有且只有一个小于 0，
∴ y 2 ＜0，且 y 1 ≥0，
í
ì-4a + 5 < 0，
即
î5a + 5 ³ 0，
解得 a > 5 ．
4
当 a < 0 时，抛物线在对称轴右侧（即 x ³ 2 时）y 随 x 的增大而减小，
∴ y 3 ＜ y 1 ＜ y 2 ．
∵ y 1 ， y 2 ， y 3 中有且只有一个小于 0，
∴ y 3 ＜0，且 y 1 ≥0，
即í
ì12a + 5 < 0
î5a + 5 ³ 0，

解得 -1 £ a < - 5 ．
12
5 5
综上所述， a > 或-1 £ a < - ． 6 分
4 12

27．(本题满分 7 分)
解：(1)依题意补全图形，如图．
线段 CE 与 BF 的数量关系：CE＝BF． C
证明：∵∠ACB＝90°，
D
∴∠CAE＋∠CDE＝90°．
∵CE⊥AD， E
∴∠CED＝90°， A B
∴∠DCE＋∠CDE＝90°， F
∴∠CAE＝∠DCE． 在△ACE 和△CBF 中，
∠AEC＝∠CFB＝90°，∠CAE＝∠BCF，AC＝BC，
∴△ACE≌△CBF，
2
∴CE＝BF． 3 分

(2)线段 AE，BF，FG 之间的数量关系：AE－BF＝证明：连接 CG，EG，设 CF 与 AB 交于点 H．
FG．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点 G 为 AB 中点，
1
∴CG⊥AB，CG＝BG＝ AB．
2
∵∠CGH＝∠BFH＝90°，
∠CHG＝∠BHF，
∴∠GCH＝∠FBH．
由(1)得△ACE≌△CBF，
∴AE＝CF，CE＝BF．在△GCE 和△GBF 中，
CG＝BG，∠GCE＝∠GBF，CE＝BF，
∴△GCE≌△GBF，
∴GE＝GF，∠CGE＝∠BGF，


C

D
E

A G H B F

∴∠EGF＝∠EGB＋∠BGF＝∠EGB＋∠CGE＝∠CGB＝90°，
∴△GEF 是等腰直角三角形，
2
∴EF＝ FG．
∵CF－CE＝EF，CF＝AE，CE＝BF，
2
∴AE－BF＝ FG． 7 分

28．(本题满分 7 分)
解：(1)①如图，点 Q 即为所求；
②证明：方法一：如图 1，过点 P′作 P′T⊥y 轴于点 T，
∵将点 P 绕点 M 顺时针旋转 90°，得到点 P′，

y
M
O
1
Q
P
x
N
P'
∴MP′＝MP，∠P′MP＝90°，
∴∠P′MT＋∠OMP＝90°．
∵∠MOP＝90°，
∴∠OMP＋∠OPM＝90°，
∴∠P′MT＝∠OPM，
∴△P′MT≌△PMO，
∴MT＝OP＝4，P′T＝OM＝1，
∴P′(－1，－3)．
∵点 P′关于点 N(0，－2)的对称点为 Q，
∴Q(1，－1)，

2
∴OQ＝
∵OM＝1，
2
∴OQ＝
．


OM．


y M
O
P
x
Q
N
P'
T
y

M
O
1
Q
P
x
N
P'
G


(图 1) (图 2)
2
方法二：如图 2，设点 G(0，－4)，连接 P′G，PG，PP′，由题意可知，△MP′P 和△OGP 都是等腰直角三角形，

∴ PP ' ＝ PG ＝
，∠MPP′＝∠OPG＝45°，

MP OP
即∠OPM＋∠OPP′＝∠OPP′＋∠GPP′，
∴∠OPM＝∠GPP′，
∴△OPM∽△GPP′，

∴ GP ' ＝
OM
2
即 GP′＝
，

2
OM．

又∵P′N＝NQ，∠GNP′＝∠ONQ，GN＝NO，
∴△P′NG≌△QNO，
∴GP′＝OQ，
2
∴OQ＝ OM． 5 分
(2) PQ 长的最大值与最小值的积为2t 2 - 8t +14 ． 7 分