吉林省长春市实验中学2022-2023学年高三数学下学期模拟考试（五）试题（Word版附答案）

这是一份吉林省长春市实验中学2022-2023学年高三数学下学期模拟考试（五）试题（Word版附答案），共22页。试卷主要包含了已知函数，其导函数记为，则等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度下学期高三年级模拟考试（五）
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.
第I卷
一､选择题：本题包括1至8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（ ）
A. B. C.6 D.8
5.声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色.这都与正弦函数的参数有关.我们一般听到的声音的函数是，对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.是的一个周期 B.关于对称
C.0是的一个极值点 D.关于中心对称
6.将甲､乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲､乙二人去不同社区的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，其导函数记为，则（ ）
A.2 B. C.3 D.
二､多选题：本题包括9至12小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.
9.某商店2022年1月至12月每月的收入､支出情况的统计如图所示，则下列说法中正确的有（ ）
A.第二季度月平均利润为30万元
B.收入的中位数和众数都是50
C.下半年支出比上半年支出稳定
D.利润最高的月份是2月份和11月份
10.如图，一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆.若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，正确的是（ ）
A.短轴为，且与大小无关 B.离心率为，且与大小无关
C.焦距为 D.面积为
11.如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.扇形的面积为
C.
D.当时，四边形的面积为
12.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.以为直径的圆与准线相交
C.设，则
D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题
13.的展开式中，的系数是__________.
14.若曲线在点处的切线方程是，则______.
15.如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______.
16.过曲线与曲线的交点的圆的方程为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.已知数列的前项和，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
19.新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.对前所未知､突如其来､来势汹汹的疫情，习近平总书记亲自指挥､亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争､总体战､阻击战.当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，获得了如下频数分布表.
（1）从该样本中随机抽取名学生，求这名学生均获一等奖的概率；
（2）若该市所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
20.如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，､分别是棱､的中点.
（1）求证：平面；
（2）若二面角为，，求与平面所成角的正弦值.
21.已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左､右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点.
①证明：直线CD过椭圆右焦点；
②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积.
22.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）当时，恒成立，求的取值范围.
绝密★启用前
吉林省实验中学
2022-2023学年度下学期高三年级模拟考试（五）
数学
一､选择题
二､多选题
2.【答案】A
【详解】
因为，故，
因此，的虚部为.
故选：A.
3.【答案】A
【详解】解：因为是无穷等差数列，若为递增数列，
所以公差，
令，解得，
表示取整函数，
所以存在正整数，有，故充分；
设数列为5，3，1，-1，…，满足，但，
则数列是递减数列，故不必要，
故选：A
4.【答案】D
【详解】由题知，，
所以，
又因为为线段上任一点，
所以，
所以
当且仅当时等号成立，此时，.
故选：D.
6.【答案】C
【详解】5个人去4个社区，只能是的形式，分组的情况总数为，
再把这些分组分配到四个不同地方，有种情况，因此基本事件总数为；
甲､乙去相同的社区的情况有：种，
由对立事件可得甲､乙二人去不同社区的概率为：.
故选：C.
7.【答案】B
【详解】如图，取的中点，连接，
在菱形中，，则都是等边三角形，
则，
因为平面平面，
所以即为二面角的平面角，
因为，所以，即，
所以平面平面，
如图，设点为的外接圆的圆心，则在上，且，
设点为三棱锥的外接球的球心，则平面
外接球的半径为，设，
则，解得，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：B.
8.【答案】A
【分析】函数，分析其性质可求的值，再求并讨论其性质即可作答.
【详解】由已知得，
则，显然为偶函数.
令，显然为奇函数.
又为偶函数，所以，
，
所以.
故选：A.
二、多选题
9.【答案】BC
【详解】对于A，第二季度的利润分别为20，20，20万元，所以平均利润为20万元，故A错误，
对于B，收入按照从小到大排列为：30，40，40，50，50，50，50，50，60，60，70，80，故中位数和众数均为50，故B正确，
对于C，下半年的支出分别为20，40，40，20，50，30，平均数为，方差为，上半年的支付分别为：30，60，30，30，10，20，平均数为30，方差为，由于，故下半年支出比上半年支出稳定，C正确，
对于D，利润最高的为3月和10月，故D错误，
故选：BC
11.【答案】AD
【详解】由题意圆的半径
选项A：由题意得
所以
所以，故A正确；
选项B：因为，
所以扇形的面积，
故B错误；
选项C，
故C错误；
选项D：
因为，
所以
故D正确
故选：AD.
12.【答案】ACD
【详解】
抛物线焦点，准线，
由题意，故A正确；
因为，则以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；
抛物线的焦点为，，
当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题
13.【答案】120
【分析】先找出中含的项，再在中找出含的项，相乘即可得到含的系数.
【详解】中含的项为中含的项为，的展开式中含的项为，其系数为120.故答案为：120.
14.【答案】
【详解】
由已知，
则，
由，
又曲线在点处的切线方程是，
，
，
故答案为：.
15.【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到，结合，求出最小值.
【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，，
故
，
因为，所以，
故当，时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
16.【答案】（曲线系来做）
设即因为方程表示圆
则，即为所求
四、解答题
17.【答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.
试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由①
当时，有②，①-②得：化简得：，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.
（2）由（1）得：，∴
∴
18.【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由正弦定理可变形为
，
，即，又
；
（2）由正弦定理，
，
又，，
所以，
即的取值范围是.
19.【详解】（1）解：由题意可知，这名学生中，获一等奖的学生人数为，
因此，从该样本中随机抽取名学生，这名学生均获一等奖的概率为.
（2）解：因为，则，
从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取名学生进行座谈，
设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，则，
所以，，
，
，
.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
由二项分布的期望公式可得.
20.【分析】（1），，由线面垂直的判定定理可得平面，再由三角形中位线定理可得答案；
（2）以为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴的正方向，建立的空间直角坐标系，
求出､平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）因为是圆的直径，所以，
因为垂直于圆所在的平面，平面，所以，
又因为，平面，平面PAC，
所以平面，
因为分别是棱的中点，
所以，从而有平面；
（2）由（1）可知，平面，平面，
所以，平面，平面，所以为二面角的平面角，
从而有，则，
又，得，
以C为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，，
，，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，可取，
设AE与平面ACD所成角为
故，
所以AE与平面ACD所成角的正弦值为.
21.（1）由已知得：，，，
设，
因为M在椭圆上，所以①
因为，
将①式代入，得，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）①设，则，，
所以，，
联立方程，
得，
则.
联立方程，
得，，
则，
椭圆的右焦点为，
，，
因为，
说明C，D，三点共线，即直线CD恒过点.
②因为直线CD恒过点，
所以的周长为，
设内切圆的半径为，
所以的面积，
所以，即，
若内切圆的面积最大，即r最大，也就是最大，
因为三点不共线，
所以直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为，
代入得：，
可得，，
又因为
令，（*）式化为：，
因为函数在上单调递增，
所以当，即时，（*）式取最大值3，
所以，故，
所以得到内切圆面积的最大值为，当时取得.
22.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【解析】
（1）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；
（2）由题意得，讨论根据判定其单调区间；
（3）法一：由题意得，讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案；
法二：原命题等价于在上恒成立，
用参变分离法求出函数最值.
【详解】（1）当时，
，
，
所以切线方程为：，即：；
（2）由题，
可得
由于，的解为，
（1）当，即时，，则在上单调递增；
（2）当，即时，
在区间上，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为.
（3）当，即时，
在区间上，
在区间上，，
则在上单调递增，上单调递减.
（3）解法一：
（1）当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立
（2）当时，，
所以在上单调递增，所以成立.
（3）当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
解法二：
当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.
即在上恒成立.
当时，，所以.
当时，，所以恒成立.
设，则
因为，所以，所以在区间上单调递增.
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.竞赛成绩
人数
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
A
D
D
C
B
A
9
10
11
12
BC
ACD
ACD
ACD