2023年高考数学押题卷02（江苏卷）（含考试版、全解全析、参考答案、答题卡）

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2023年高考押题预测卷02 数学·全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D． 【答案】A【解析】由题意可得，，即，所以则，故选:A2．复数在复平面内所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，所以，所以，复数在复平面内所对应的点为，所以，复数在复平面内所对应的点位于第四象限.故选：D.3．如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则①；，则②；①②两式相加，，即，故选：C.4．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（    ）A． B． C． D． 【答案】D【解析】如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F,因为MN平行于地面，故 ，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，故 ,在中， ，即圆柱的底面半径为，所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为的圆柱体积的一半，即为，故选：D.5．四位爸爸、、、相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则的小孩与交谈的概率是（    ）A． B． C． D． 【答案】A【解析】设、、、四位爸爸的小孩分别是、、、，则交谈组合有种情况，分别为：，，，，，，，，，的小孩与交谈包含的不同组合有种，分别为：，，，的小孩与交谈的概率是．故选：A.6．函数在的图像大致为A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．7．已知函数为的零点，为图象的对称轴，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，当取最小值时（    ）A．在上是增函数 B．在上是增函数C．在上是减函数 D．在上是减函数【答案】B【解析】已知函数为的零点，为图象的对称轴，则①，②，由①②可得：，又，则或；又存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则，故，又，且，则，由②得此时则，函数在上的增区间满足，所以，则的增区间为，所以在上是增函数.故选：B.8．设，，，则（    ）A． B． C． D． 【答案】C【解析】由，令且，所以，令且，则，即递减，所以，故在上恒成立，则在上递减，所以，即，则；由，令且，所以在上递增，故，故在上递增，，即，则；综上，.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知由样本数据，，2，3，，组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是（    ）A．相关变量，具有正相关关系B．去除两个样本点和后，回归直线方程为C．去除两个样本点和后，随值增加相关变量值增加速度变小D．去除两个样本点和后，样本的残差为0.1【答案】AB【解析】对于A，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3，，则相关变量，具有正相关关系，故A正确；对于B，由代入得，则去除两个样本点和后，得到新的，，，故去除样本点后的回归直线方程为，故B正确；对于C，由于斜率为，故相关变量，具有正相关关系且去除样本点后，随值增加相关变量值增加速度变大，故C错误，对于D,当时，，则样本的残差为，故D错误.故选：AB.10．如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，，现将沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）A． B．存在点P，使得C．存在点P，使得 D．三棱锥的体积最大值为【答案】ACD【解析】依题意，，则四边形为平行四边形，有，而，，即有，因此，即，因此，A正确；因为，，因此不平行，即不存在点P，使得，B错误；连接，当时，因为，即，则，而，平面，因此平面，又分别为的中点，即，于是平面，而平面，则，C正确；在翻折过程中，令与平面所成角为，则点到平面的距离，又的面积，因此三棱锥的体积，当且仅当，即平面时取等号，所以三棱锥的体积最大值为，D正确.故选：ACD11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点N在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（    ）A．离心率e的取值范围为B．存在点N，使得C．当时，的最大值为D．的最小值为1【答案】AC【解析】A：由已知可得，，所以，即，则，故，正确；B：由知，共线，故必为椭圆的右顶点，而，即，则，所以，不合A分析结果，错误；C：由已知且，所以，.又，则.根据椭圆的定义可得，所以，如上图示，当且仅当三点共线时取得等号，正确；D：因为.所以，当且仅当，即时等号成立.所以，的最小值为，错误.故选：AC12．已知函数及其导函数的定义域均为．，，当时，，，则（    ）A．的图象关于对称B．为偶函数C．D．不等式的解集为【答案】BCD【解析】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，由得，由得，故为偶函数，故B正确，由可得，所以，又为偶函数，所，即，故C正确，由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，又当时，，可知在单调递减故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：由性质结合图可知：当时，，由得，故 ，当且时，此时无解，当时，，解得，当且时，由得综上可得的解集为，故D正确，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中，的系数为______．【答案】【解析】二项式的通项公式为，所以的系数为，故答案为： 14．过点且与圆：相切的直线方程为__________【答案】或【解析】将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为是圆的切线，满足题意；当过点的直线斜率存在时，可设直线方程为，即，利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，即此直线方程为，故答案为：或 ．15．已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】设分别为函数的图像上关于直线对称的两点，不妨设，则.所以，所以所以.所以当时，.所以.而，所以.所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.16．已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为____________．【答案】【解析】因为点在抛物线上，则，解得，即抛物线方程为，显然过点A作圆的两条切线斜率存在，设此切线方程为，即，于是，解得，设点，不妨令直线的斜率分别为，于是，，同理，直线的斜率，而点，直线BC的方程为，即.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知为等差数列，且．（1）求的首项和公差；（2）数列满足，其中、，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，则，由可得，即，所以，，解得，.（2）因为，则，所以；；.因此，.18．（12分）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足．（1）求证：；（2）求的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）∵，∴，∴，∴．（2）由（1）可得：，且C为钝角，即，即，，，当且仅当，即时取等号．故的最大值为．19．（12分）如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面．（1）证明：为圆柱底面的直径；（2）若M为中点，N为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接，在直三棱柱中，，∴四边形为正方形，∴又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴又平面，平面，∴．又，,平面，∴平面，又平面，∴，∴为圆柱底面的直径．（2）由已知平面，，∴以为正交基底建立空间直角坐标系，∴，，，，，．∵为，中点，∴，．设平面的一个法向量为．则，又，，∴，取，得，，∴，设平面的一个法向量为．则，又，，∴，取，得，．∴，∴，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20．（12分）党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理．东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人，其中有22人从事采桑工作，另外88人没有从事采桑工作．（1）为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调查，得到以下数据： 采桑不采桑合计患皮炎4  未患皮炎 18 合计  25①请完成上表；②依据小概率值的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？（2）为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查，将其中采桑的人数记作，求的分布列和期望．附：，其中， 0.150.100.050.0250.0100.005 2.0722.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）① 填表见解析；②认为患皮炎与采桑之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005（2）分布列见解析；期望为【解析】（1）① 采桑不采桑合计患皮炎426未患皮炎11819合计52025②零假设为：患皮炎与采之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得到,根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为患皮炎与采桑之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.（2）用表示抽取的4人中采桑的工作人员人数，的取值为：2，3，4,，，随机变量X的分布列为： 234    则．21．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点．（1）求双曲线的方程；（2）过点作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，则，由双曲线的定义可得，所以，，则，因此，双曲线的方程为.（2）证明：设点、、，则，可得，设，则，其中，即，整理可得，所以，，，将代入可得，将代入可得，即，所以，点恒在直线上.22．（12分）已知函数．（1）若函数在上是单调递增，求实数的取值范围；（2）若对于任意，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明．【答案】（1）；（2）；证明见解析【解析】（1）则由题意可得当时恒成立构建，则当时恒成立∴在上单调递增，当时恒成立则即（2）构建，则∵且在区间连续则在区间上存在极值点即存在正实数，使得，即设，，当时恒成立则函数在上单调递增，则，即，则，由（1）可知函数在上单调递增，则，即．